Введение вероятностно-статистической линии

Введение вероятностно-статистической линии в школьный курс математики

5-6 классов

учитель математики МОУ «Лицей №1 пос. Львовский», Бабайлова Елена Николаевна

На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной универсальность

вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. И ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизни. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех,– все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления и развития личности. Подготовку человека к таким проблемам и осуществляет школьный курс математики.

Принципиальные решения о включении вероятностно-статистического

материала как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики 5-9 классов. Продолжение изучения этой линии предполагается в старших классах.

Обязательный минимум содержания образовательных программ

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

Множества и комбинаторика

Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения. Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Среднее результатов измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий. Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Требования к уровню подготовки выпускников

В результате изучения математики ученик должен знать / понимать: вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов;

Уметь:

Извлекать информацию представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики Решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения Вычислять среднее значения результатов измерений Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные Находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях

Использовать для:

Анализа реальных числовых данных, представления в виде диаграмм, графиков, таблиц Решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов Сравнения шансов наступления случайных событий, оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией Понимания статистических утверждений

5-6 классы – подготовительный 7-9 – основной 10-11 – повышенный

Этапы изучения курса:

5 класс: планирование (12 ч)

Введение в ТВ. Достоверные, случайные и невозможные события (3 ч) Сравнение шансов. Шкала вероятностей. Как сравнивать события? (3 ч) Комбинаторика. Решение задач (4 ч) Соцопрос. Таблицы. Круговые диаграммы (2 ч)

Основными задачами на этом этапе являются:

Выработка умений и навыков работать с таблицей, извлекать из таблиц информацию и анализировать ее. Выработка умений заполнять в таблице пустые графы (строки, столбцы). Формировать умения читать диаграммы, извлекать необходимую информацию. Формировать умения и навыки в составлении, выборе и упорядочении комбинаторных наборов. Формирование умений подсчета комбинаторных объектов, методом непосредственного перебора. Формирование представления о том, какое событие является достоверным, какое невозможным, и какое событие мы можем назвать случайным. Формирование у учащихся понимания степени случайности в различных событиях и явлениях и использование для ее оценки адекватных вероятностных терминов («достоверно», «маловероятно» и т.д.).

Задачи о событиях

№1.Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, какие невозможными, а какие случайными, и почему вы так считаете: А) вы станете президентом России; Б) бутерброд упадет маслом вниз - «закон бутерброда»; В) при бросании кубика вы получите четное число; Г) 30 февраля будет снег; Д) вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее; Е) Маша П. получит «2»; Ж) Дима получит по математике хорошую отметку; З) вашу учительницу математики зовут Екатерина Анатольевна; И) директор нашей школы – женщина; К) в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце .

№2 Рома задумал натуральное число

Какие из следующих событий будут достоверными, невозможными и случайными и почему вы так считаете. А) Задумано четное число; Б) Задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; В) Задумано нечетное число; Г) задумано число, являющееся четным или не четным.

№3 Определите вид следующих событий: 1. Выпадение «орла» или «решки»

при подбрасывании монеты. 2. Зашли в темную комнату, включили свет, загорелась лампочка. 3. Если опрокинуть стакан с водой, вода выльется. 4. В жаркий летний день пошел снег.

№4 Определите вид следующих событий: а) выигрыш 3 млн. в лотерее; б) камень, брошенный в воду, поплыл по реке; в) выходишь на улицу, а навстречу идет слон; г) летом у школьников будут каникулы; д) на этой неделе выпадет снег.

Задачи по комбинаторике

№1Три друга, Дима, Рома и Владик, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол? №2 Диме, Роме и Владику повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

№3 Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3

№4 В 5«А» классе в понедельник 4 урока: математика, ОБЖ, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на понедельник?

Соцопросы

Таблицы. Диаграммы.

Итого

5

9

8

10

19

10

15

10

7

12

6

11

Погода

Погода

Месяц

Месяц

Месяц

Месяц

Итого

Итого

Декабрь

Январь

Февраль

Март

Ясно

Пасмурно

Переменная облачность

Заполните последний столбец и последнюю строку

Используя таблицу, ответьте на следующие вопросы: в каком месяце было больше всего ясных дней? В каких месяцах было одинаковое число пасмурных дней? Сколько всего пасмурных дней было за четыре месяца Сколько ясных дней было за всю зиму? Какая погода преобладала в феврале?

Опрос «Какие мероприятия в школе вы хотели бы провести

82

29

60

25

11

16

223

Мероприятия

Подсчет голосов

Кол-во уч-ся

Дискотека

3+13+22+12+10+10+12

Предметные недели

3+5+10+2+5+1+3

Спорт. соревнования

3+7+10+15+10+5+10

Поход

20+1+0+0+0+3+1

Экскурсии

6+0+0+1+3+1+0

Ничего

4+0+0+5+7+0+0

Итого

39+26+42+35+35+20+26

6 класс: планирование (11 ч)

Комбинаторика. Дерево всевозможных вариантов (4 ч) Эксперименты со случайными исходами. Абсолютная и относительная частота. Таблицы частот (3 ч) Гистограммы. Линейные диаграммы (2 ч) Статистическое определение вероятности (2 ч)

Основными задачами на этом этапе являются:

Отрабатывать умения и навыки в составлении и подсчете числа комбинаторных наборов. Показать учащимся как можно решать комбинаторные задачи с помощью рассуждений. Познакомить учащихся с правилом умножения при подсчете числа возможных вариантов, сформировать умения по его применению. Познакомить с правилом суммы. Познакомить с понятиями статистической частоты и вероятности, с методом оценки вероятности через статистические испытания.

Задачи на частоту

Диаграммы.

Задание №1. 50 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки». Составить таблицу частот. Построить по полученной таблице гистограммы частот. Задание №2. 20 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх. Составить таблицу частот. Построить по полученной таблице гистограммы частот. Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв. Составить таблицу частот. Построить по полученной таблице гистограммы частот. Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста (можно несколько различных текстов). Подсчитайте сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю. Составить таблицу частот. Построить по полученной таблице гистограммы частот.

2

4

4

0,111

20

4

4

0,111

21

3

3

0,083

17

3

3

0,083

27

3

3

0,083

18

2

2

0,056

23

4

4

0,111

24

8

8

0,222

53

1

1

0,028

11

2

2

0,056

31

2

2

0,056

№ Автобуса

Кол-во

Абсолютная частота

Относительная частота

Итого

36

36

1

Задачи по комбинаторике

Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг. Сколькими способами из класса, в котором учатся 25 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя? Сколькими способами из класса, в котором учатся 25 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 20 девочек и 5 мальчиков?

Задачи о событиях

1) Винни-Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве «всех-всех-всех» событие «Винни и Пятачок будут сидеть рядом» является достоверным, а при каком случайным? 2) В школе учится N учеников. При каких N событие: «В школе есть ученики с совпадающими днями рождения» является случайным, а при каких – достоверным?

Учебники, включающие элементы комбинаторики, статистики, теории

вероятностей: 5–6 классы 1. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. — М.: Просвещение, Дрофа, 2000–2003. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. — М.: Дрофа, Просвещение, 2000–2003. 2. Арифметика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 1999–2002. Арифметика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2000–2002. 3. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2002. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2003. 4. Математика: Учебник собеседник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И. О. Коряков, М. В. Волков. — М.: Просвещение, 2000–2002. Математика: Учебник-собеседник для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И. О. Коряков, М. В. Волков. — М.: Просвещение, 2000–2002.

Вопросы статистики и комбинаторики можно вводить на базе учебников и

учебных пособий Виленкина Н.Я., Жохова В.И., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и др. “Математика 5” и “Математика 6” (М.: Мнемозина, 1996 и далее), которые сейчас наиболее распространены в школах России. Так, предлагается в практически каждой теме решать с детьми комбинаторные задачи при изучении натуральных чисел, операциях над ними, обыкновенных, десятичных дробей, операций над десятичными дробями (5 кл.); при изучении делимости чисел, умножение и деление натуральных и отрицательных чисел, при решении уравнений (6 кл.), далее эта линия усложняется введением элементов статистики и теории вероятностей (систематизация и подсчёт данных в частотных таблицах, столбчатые диаграммы, среднее значение и мода как характеристики совокупности числовых данных (5 кл.); нахождение частот данных по их относительным частотам в выборке заданного объёма и обратно, систематизация и представление данных в частотных таблицах, представление распределения данных в выборке в виде полигона частот (6 кл.).

Спасибо за внимание