Интегралы
<<  §2. Тройной интеграл Приближённые вычисления интегралов  >>
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла
Понятие определенного интеграла
2. Построение интегральной суммы
2. Построение интегральной суммы
3. Предельный переход
3. Предельный переход
ЭВМ
ЭВМ
Криволинейная трапеция
Криволинейная трапеция
Методы вычисления
Методы вычисления
Основной принцип:
Основной принцип:
Метод трапеций
Метод трапеций
Метод средних прямоугольников
Метод средних прямоугольников
Метод Симпсона
Метод Симпсона
Проблемы точного вычисления
Проблемы точного вычисления
Сравнение результатов расчетов
Сравнение результатов расчетов
Результаты
Результаты
Нахождение значения
Нахождение значения
Источники
Источники

Презентация на тему: «Вычисление определенного интеграла». Автор: Yuri. Файл: «Вычисление определенного интеграла.ppt». Размер zip-архива: 283 КБ.

Вычисление определенного интеграла

содержание презентации «Вычисление определенного интеграла.ppt»
СлайдТекст
1 Определенный интеграл

Определенный интеграл

И некоторые методы приближенного вычисления определенного интеграла с помощью ЭВМ (методы трапеций, средних прямоугольников и метод Симсона)

2 Понятие определенного интеграла

Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). Построение понятия определенного интеграла от этой функции по отрезку [a,b] состоит из трех этапов. 1. Разбиение отрезка [a,b] на части. Разобьем отрезок [a, b] на части точками так что длина i-го «кусочка» максимальная из этих длин.

3 2. Построение интегральной суммы

2. Построение интегральной суммы

. Построение интегральной суммы. Выберем на каждом отрезке произвольным образом некоторую точку так что ( «средняя точка»), и составим величину, которая называется интегральной суммой Геометрический смысл интегральной суммы

4 3. Предельный переход

3. Предельный переход

. Предельный переход. Найдем теперь предел Определение. Если существует и он не зависит а) от способа разбиения отрезка на части б) от способа выбора средней точки, то говорят, что есть определенный интеграл от функции f(x) по отрезку [a, b]. Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b], a и b - нижний и верхний пределы интегрирования соответственно.

5 ЭВМ

ЭВМ

Почему удобно использовать ЭВМ для расчетов ОИ ?

При решении многих задач необходимо быстро получить достаточно точное значение определенного интеграла, что не всегда удобно сделать по формуле Ньютона-Лейбница. ЭВМ также быстро находит значение интегралов, для которых первообразная непрерывной функции f(x) не выражается через элементарные функции. В этом случае использование формулы Ньютона-Лейбница весьма затруднительно.

6 Криволинейная трапеция

Криволинейная трапеция

Известно, что определенный интеграл функции Типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=f(x), x=a, x=b и y=0

То есть, вычислив площадь криволинейной трапеции, мы получим значение определенного интеграла. На этом основаны методы вычисления определенного интеграла с помощью ЭВМ.

7 Методы вычисления

Методы вычисления

Некоторые методы вычисления определенного интеграла с помощью ЭВМ

Метод трапеций Метод средних прямоугольников Метод Симпсона Метод Монте-Карло и другие…

8 Основной принцип:

Основной принцип:

I=

In=

f(x)

f(a)

f(b)

x

Xn+1-xn=h xn – узел {xny – расчетная сетка f(xn)=f(n) – сеточная функция

h

a x1 x2 x3 x4 ... b

Криволинейная трапеция делиться на n трапеций с основанием h. Интеграл высчитывается как сумма интегралов In при достаточно малом h (то есть при фактически h 0)

I= In

0

n

9 Метод трапеций

Метод трапеций

Метод Трапеций

Соответственно площадь всей криволинейной трапеции можно рассчитать по формуле:

Интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность).

10 Метод средних прямоугольников

Метод средних прямоугольников

Этот метод принципиально аналогичен методу трапеций

Соответственно площадь всей криволинейной трапеции:

Интеграл равен сумме площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине.

11 Метод Симпсона

Метод Симпсона

Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1,x2], заменим площадью криволинейной (пораболической) трапеции, которая ограничена параболой, проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось, ll оси Оу. Уравнение параболы с осью, ll Оу, имеет вид y = Ax*х + Bx + C. Коэффициенты А, В и С однозначно определяются по трем точкам. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла. Формула Симпсона: , где уi=f(xi)

12 Проблемы точного вычисления

Проблемы точного вычисления

Проблемы точного вычисления определенных интегралов.

13 Сравнение результатов расчетов

Сравнение результатов расчетов

На [0; ]

На [0;1] при различных n

n=1000

На [0;1] n=1000

Из этих трех методов более точные результаты дает метод Симпсона. Однако, изменяя n мы можем получить достаточно точный результат с помощью любого метода.

14 Результаты

Результаты

Еще несколько примеров

9.6775

8.7463

n=10

n=100

n=500

N=1000

5.737

5.9702

6.02

5.99

8.528

8.937

?(x+1)dx = 6 на [1;3] ; ? (x*x)dx = 9 на [0;3]; (По формуле Ньютона-Лейбница). Результаты, полученные на ЭВМ с использованием метода трапеций:

Функция

f(x)=1 + x

f(x)=x * x

15 Нахождение значения

Нахождение значения

Заключение и выводы.

В настоящее время ЭВМ решают множество задач, для которых необходимо нахождение значения определенного интеграла. Способы решения подобных задач подсказал сам метод введения понятия ОИ. Очевидно, что вычисление определенных интегралов методами трапеций, средних прямоугольников и методом Симпсона не дает нам точного значения, а только приближенное. Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции), тем точнее результат получаемый машиной. При этом, число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления. Использование для вычисления одновременно нескольких методов позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении этих методов. Следовательно при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по всем методам стремятся друг к другу и все - к точному результату.

16 Источники

Источники

«Лекции по программированию. Язык программирования С.» Белошапкин В.В. Copyright © Красноярский государственный университет, 2002 г. «Основы математического анализа », Ильин В.А., Позняк Э.Г., Физический факультет МГУ, изд. Физматлит, 2002 г. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С., «Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС». Минск.: 1989 г. Зуев Е.А. «Язык программирования Turbo Pascal». М.1992 г. Белорусский Аграрный Технический Университет, Кафедра вычислительной техники, Курсовая работа: “Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников” студента 2-го курса, Полушкина О.А., Минск, 1997 г. Магнитогорский Государственный Технический Университет, Курсовая работа: «Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Парабол (Формула Симпсона)» студента группы ФГК-98, Григоренко М.В., Магнитогорск, 1999 г.

«Вычисление определенного интеграла»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/vychislenie-opredelennogo-integrala-55074.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Интегралы > Вычисление определенного интеграла