Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного

интеграла»

Учитель математики Гурова Ольга Валериевна ГБОУ СОШ № 1652

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Устная работа 1. Выразите с помощью интеграла площади фигур,

изображенных на рисунках:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

2. Вычислите интегралы:

10,5

1

64

1

1).

2).

3).

4).

Немного истории

«Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690г.) «восстанавливать» от латинского integro «целый» от латинского integer

«Примитивная функция»,

от латинского primitivus – начальный, ввел Жозеф Луи Лагранж (1797г.)

Интеграл в древности

Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен.

Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.

Архимед

Евдокс Книдский

Исаак Ньютон (1643-1727)

Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчислений содержится в «Методе флюксий...» (1670–1671, опубликовано в 1736).

Переменные величины - флюенты(первообразная или неопределенный интеграл)

Скорость изменения флюент – флюксии (производная)

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716)

Символ образовался из буквы S — сокращения слова summa (сумма)

впервые использован Лейбницем в конце XVII века

Определенный интеграл

Г. Лейбниц

И. Ньютон

Формула Ньютона - Лейбница

Где

y = f (x), y = g (x), x = a, x = b, f(x) > g(x)

SABCD = SaDCb – SaABb =

C

D

B

A

Пример

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.

y

5

y = x

B

C

D

A

y = 5 - x

0

1

2

5

x

S = S1 + S2

Задание1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 3 – x2, y = 1+ | x |

y

y = 1 + |x|

S1

S2

Y = 3 – х2

0

Х

3

1

-1

1

Задание 2. С помощью определенного интеграла записывают формулы для

вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунках

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Подберите из данных формул для вычисления площади фигуры ту, которая

подходит к одному из шести чертежей.

S1 =

5

S2 =

3

S3 =

1

S4 =

6

S5 =

2

S6 =

4

Задание 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y =

0,5x2 + 2, касательной к этому графику в точке с абсциссой х = -2 и прямой х = 0.

Решение: 1. Составим уравнение касательной. 2. Построим графики функций. 3. Найдем площадь фигуры.

y

А

B

C

Х

4

У = 0,5х2 + 2

1

-2

-1

0

1

2

У = -2х

Итоги урока

Спасибо за урок

Домашнее задание: 1. п.4 стр.228 - 230; 2. № 1025(в, г), № 1037(в, г), № 1038(в, г)