Презентация на тему «Теоретическая часть»

Теоретическая часть

Определение: уравнение, содержащее тригонометрические функции, называется тригонометрическим уравнением

Основные методы решения тригонометрических уравнений

1. Простейшие. К ним относятся уравнения вида

Формулы решений этих уравнений имеют следующий вид (здесь и в

дальнейшем означает, что n- целое число):

Необходимо повторить частные случаи решения уравнений при а=0, а=1 и а= -1

Уравнения вида

- Любые действительные числа) также относятся к простейшим

Их следует решать сразу по формулам (1)-(4), заменив на t

Необходимо помнить, что:

Можно напомнить формулы корней уравнений вида:

2.Общий прием

Он заключается в том, что все тригонометрические функции, которые входят в уравнение, выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента

3. Методы группировки

Путем группировки слагаемых уравнение привести к виду, когда левая часть разложена на множители, а правая часть равна нулю. Уравнение распадается на несколько более простых уравнений. При решении уравнений этим методом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно исключить из полученных значений неизвестного те, для которых заданное уравнение не имеет смысла

4. Уравнения, решаемые понижением степени

Если тригонометрическое уравнение содержит в четвертой степени, то применим формулы понижения степени

5. Универсальная подстановка

При решении уравнений вида удобно применять универсальную подстановку . Тогда , а . Уравнение становится рациональным. После нахождения его решения надо проверить, не удовлетворяют ли исходному уравнению числа

6. Однородные уравнения и приводимые к ним

Однородные уравнения, т. е. уравнения вида:

И т. Д. (У всех слагаемых сумма показателей одинакова) приводятся к алгебраическим относительно путем деления обеих частей уравнения на соответственно

Некоторые уравнения можно сделать однородными путем замены 1 на с

помощью различных преобразований функций, входящих в уравнение и т. д.

Получили однородное уравнение второй степени

Например:

7. Способ подстановки

Рассмотрим уравнения, для которых удобно применять различные подстановки: 1) 2)

8. Введение вспомогательного угла

Суть метода в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргумента , а затем производят тригонометрические преобразования

Покажем, что любое линейное уравнение, , где можно решить этим методом

Разделим обе части уравнения на

Так как , то точка с координатами лежит на единичной окружности

Следовательно, существует такое число (такой угол ), что

Поэтому уравнение можно записать в виде:

Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим, решение которого известно

Практическая часть

Решение

Последнее уравнение можно решать разными способами

Решим его, перейдя к функции :

(берем «+», т. к. слева выражение положительное). Возведя обе части в квадрат, получим:

2. Воспользуемся универсальной подстановкой :

3. Сведем его к однородному уравнению

Разделим обе части последнего уравнения на , получим:

4. Решим с помощью введения вспомогательного угла:

Разделим обе части уравнения на :

Поэтому уравнение можно записать в виде:

Проверяем, является ли решением данного уравнения:

значит, не является. Ответ. или

Замечание: сравнивая найденные ответы 2 и 3 с ответами 1 и 4, видим

лишь внешнее различие. Но если то

Решите уравнение

Решение

В примере встречаются разность синуса и косинуса и их произведение. Обозначим Отсюда следует Уравнение примет вид: Решая его, получаем корни 3 и . Стало быть, или

Первое уравнение не имеет решений, так как

Второе решим с помощью введения вспомогательного угла, т. е. . Отсюда

Ответ.

Замечание: Так как Можно было бы сразу уравнение переписать в виде: