В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления

В.П.Ермаков

Цели и задачи проекта:

изучить различные способы решения уравнений в целых числах. научиться решать диофантовы уравнения, используя имеющиеся алгоритмы. выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и заданий олимпиад разных лет.

Уравнения вида f(x, y, …) = 0, переменные в котором считаются

целочисленными, называются уравнениями в целых числах или диофантовыми уравнениями. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды

У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

Решение:

Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39. Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3.

Алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax + by = c

• если НОД(a, b) = d>1 и c:d, то

2. Разделить почленно уравнение ax + by = c на d, получив при этом уравнение a1x + b1y= c1, в котором НОД(a1, b1) = 1.

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b:

• если НОД(a, b) = d>1, и c не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

3. Найти целое решение (x0, y0) уравнения a1x + b1y= c1 путем

представления 1 как линейной комбинации чисел a и b.

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения: x = x0c + bt y = y0c - at

Методы решения некоторых нелинейных неопределенных уравнений

Метод разложения на множители

Метод испытания остатков

Другие методы решения

1. Метод разложения на множители

Задание: Решить уравнение в целых числах y3 - x3 = 91. Решение: 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители: (y - x)(y2 + xy + x2) = 91 (1) 2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91 3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число y2 + yx + x2 ? y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ? 0, следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений: 4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют. Ответ: Уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

2. Метод испытания остатков

Пример. Решить в целых числах x? - 3y? - 9z? = 0 Решение. 1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0). 2)Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду: x? = 3y? + 9z? Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, следовательно, так как 3 - число простое, х делится на 3, т.е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (3): 27k3 = 3y? + 9z?, откуда: 9k3 = y? + 3z? следовательно, y? делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (4): 9k3 = 27m? + 3z?, откуда 3k3 = 9m? + z? В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3. Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

Другие методы решения уравнений

При решении следующего уравнения применяется неравенство Коши, справедливое для любых положительных чисел:

Решить в целых числах уравнение

Решение: 1) Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Поэтому к сумме, стоящей слева, применим неравенство Коши, получим: = Откуда, xyz = 1. 2) Исследуем возможные наборы трех целых чисел, которые в произведении дают 1. Это могут быть тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Непосредственной проверкой убеждаемся, что каждая из них является решением исходного уравнения. Ответ: (1,1,1); (1,-1,-1); (-1,-1,1); (-1,1,-1).

Решение уравнений в целых числах из Единого Государственного Экзамена

(задания С6).

Решение: Первое решение. Разложим 10/7 в цепную дробь =1+ Из уравнения х + = получим х + = 1 + и из единственности разложения рационального числа в цепную дробь следует х=1, у=2, z=3.

Пример 1. Решить в натуральных числах уравнение х+ =

Второе решение

Преобразуем уравнение х + = 1 + Тогда х - целая, - дробная часть, поэтому Из второго уравнения следует или у + = 2 + откуда x=1, у = 2, z = 3. Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.

Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение х + y + z = xyz

Решение: Пусть х =< y =< z, тогда х + у + z =< 3z, а так как x + y + z = xyz, то xyz =< 3z или ху =< 3. Если бы х = у = z, то z3= 3z или z2= 3, что невозможно при целом z. Значит, хотя бы два из чисел х, у, z неравные, поэтому ху < 3, т.е. ху = 2, либо ху = 1. Если ху = 2, то х = 1, у = 2, и из исходного уравнения найдем z =3. Если бы ху = 1, то х = у = 1, и из исходного уравнения получим 2 + z = z, что невозможно. Из найденного уравнения х = 1, у = 2,z = 3 найдем остальные перестановками. Ответ: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3),(2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1).

Выводы:

при решении неопределенных уравнений в целых числах применяются свойства, оценка выражений, входящих в уравнение; выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби; метод разложения многочлена на множители, метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; для линейных уравнений с двумя переменными, т.е. уравнения вида ax+by=c, существует алгоритм решения; диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, заданиях Единого государственного экзамена развивая логическое мышление, повышая уровень математической культуры, прививая навыки самостоятельной исследовательской работы в математике.

Список используемой литературы:

Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972 Васильев, Н.Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – М., 1998. Материалы для подготовки к ЕГЭ Ресурсы Интернет