№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Динамика точкиЛекция 2: интегрирование одномерного уравнения движения точки |
2 |
 |
1. Прямолинейное движение материальной точкиПусть материальная точка движется вдоль оси x. Тогда во время движения y=z=0. Необходимые условия движения по прямой Эти условия не достаточны! (см. пример) Для того, чтобы материальная точка двигалась по прямой необходимо и достаточно, чтобы действующая на нее сила была все время параллельна начальной скорости движения точки. Д-во достаточности: Ось x направим по начальной скорости, а начало координат совместим с начальным положением точки. |
3 |
 |
2. Прямолинейное движение: решения в квадратурахВ силу нелинейности дифференциального уравнения, определение его решения в общем случае возможно только численно (приближенно). Однако существуют частные случаи, в которых нахождение решения уравнения при выполнении начальных условий сводится к квадратурам – взятию интегралов. Выделим три таких случая: |
4 |
 |
3. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ f(t) |
5 |
 |
4. Пример: гармонически изменяющаяся сила |
6 |
 |
5. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ f(x) |
7 |
 |
6. Пример : падение земли на солнце |
8 |
 |
7. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ f(dx/dt)Способ 1 Способ 2 |
9 |
 |
8. Пример: падение тела с квадратичным сопротивлениемПриближенное решение |
10 |
 |
9. Безразмерные переменныеИсходная задача Единицы измерения Исходная задача |
11 |
 |
10Преимущества безразмерных переменных Проще решать. Не нужно таскать константы, труднее ошибиться Задачу нужно решить лишь один раз, а не для каждого набора параметров. Все остальное делается простым растяжением координат x и t Свойства изучаемого процесса проще анализировать если решение есть функция одной переменной Лучше чем |
12 |
 |
11Пример: падение тела с линейным сопротивлением Можно было бы решать как и предыдущую. Но рассматриваемое уравнение имеет огромное достоинство: оно принадлежит классу линейных диф. уравнений с постоянными коэффициентами. Метод их решения чрезвычайно прост и общ. Рассмотрим вначале однородное диф. уравнение второго порядка с постоянными к-ми Для построения его общего решения достаточно найти два частных решения. Если и -такие решения, то в силу линейности -общее решение. Частные решения легко предъявляются. -Корни квадратного ур-ния Общее решение однородного уравнения Для построения общего решения неоднородного уравнения достаточно найти какое либо его частное решение . В силу линейности общим решением будет . Общий алгоритм построения будет дан в курсе ДУ. Но во многих случаях просто угадывается |
13 |
 |
12Пример: падение тела с линейным сопротивлением 1) Переходим к безразмерным переменным По-прежнему черточки над и для простоты записи опущены 2) Угадывем частное решение 3) Решаем характеристическое уравнение 4) Выписываем общее решение 5) Находим произвольные константы из начальных условий 6) Выписываем окончательный результат |
«Динамика точки» |