Ряды динамики

Ряды динамики

Понятие и виды рядов динамики

Ряд динамики

- это числовые значения статистического показателя, представленные во временной последовательности. Он состоит из двух граф: в первой указываются периоды (или даты), во второй - показатели, характеризующие изучаемый объект за эти периоды (или на эти даты).

Показатели второй графы носят название уровней ряда: первый показатель

называется начальным уровнем, последний – конечным Уровни ряда могут быть выражены абсолютными, средними или отностительными величинами.

Ряды динамики могут быть двух видов: интервальные и моментные В

интервальном ряду приводятся данные, характеризующие величину показателя за определенные периоды (месяц, квартал, год и т.п.):

Объем продаж АО «Норма» (млн

крон)

Год

Год

Всего продаж

Всего продаж

В том числе

В том числе

В Россию

На европейский рынок

2001

520

300

220

2002

410

190

220

2003

460

240

220

2004

490

270

220

Особенность интервальных рядов из абсолютных величин

Их уровни можно суммировать, получая новые численные значения объема явления, относящиеся к более длительным периодам.

Моментный ряд динамики

характеризует размеры явления на определенные моменты (даты) времени. Уровни моментных динамических рядов суммировать нельзя; сумма не имеет смысла, так как каждый последующий уровень полностью или частично включает в себя предыдущий уровень

На начало года

2000

2002

2004

Число автомобилей

1200

2500

3800

Количество легковых автомобилей, зарегестрированных частными лицами в Харьюском уезде.

разность уровней моментного ряда имеет смысл, характеризуя увеличение

или уменьшение уровня ряда между датами учета. Например, за период с 2000 по 2002 год в Харьюском уезде зарегестрировано 2500 – 1200 = 1300 автомобилей

К числу основных задач, возникающих при изучении ряда динамики относят

следующие:

Характеристика интенсивности развития явления от периода к периоду, от даты к дате; определение средних показателей временного ряда за тот или иной период; выявление основных закономерностей динамики исследуемого явления на отдельных этапах и в целом за рассматриваемый период; выявление факторов, обусловливающих изменение изучаемого объекта во времени; прогнозирование развития явления на будущее.

Аналитические показатели динамики

Для характеристики развития явления во времени применяются следующие показатели: абсолютный прирост; коэффициент роста; темп прироста; абсолютное значение одного процента прироста.

Абсолютный прирост (

Определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда показывает, насколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения.

Абсолютный прирост (

Базисный прирост где уi - уровень сравниваемого периода; уо - уровень базисного периода.

Цепной прирост где уi-1,- уровень периода, предшествующего сравниваемому

Абсолютный прирост объема продаж АО Норма

С переменной базой

С постоянной базой

Коэффициент роста (К)

определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень данного ряда. Цепной: Базисный:

Коэффициенты роста АО Норма

Цепные

Базисные

Темпы роста

Если коэффициент роста выражают в процентах, то их называют темпами роста (Т):

Темпы роста АО Норма

Цепные

Базисные

Средняя геометрическая

Применяется для расчета среднего темпа роста где ПК - произведение цепных темпов роста (в коэффициентах); n - число К.

Среднегодовой темп роста

Расчет среднегодового темпа роста на основе базисных темпов роста где

Кб - базисный коэффициент роста m - число учетных единиц времени в изучаемом периоде

Среднегодовой базисный темп роста АО «Норма»

В среднем за год имеет место снижение объема продаж на 0,98-1=0,02 или 0,02*100%=2%

Если в качестве исходных данных выступают абсолютные уровни ряда, то

средние темпы роста расчитываются Где yn - конечный уровень ряда; yo - базиный уровень ряда m - число учетных единиц времени в изучаемом периоде.

Или 98%

Это означает, что по сравнению с 2001 ежегодно в среднем объем продаж снижался на 2%

Темп прироста (

Т)

показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного периода. ?Т = Т - 100% или

Абсолютное значение одного процента прироста

получают как отношение абсолютного прироста на темп прироста. Имеет смысл расчет только цепным методом и показывает скорость изменения уровней ряда в единицу времени:

Средние по рядам динамики

Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от вида временного ряда. Для интервального ряда абсолютных показателей с равными интервалами средний уровень за определенный период определяется по формуле простой арифметической:

Средний уровень моментного динамического ряда

Если интервалы между датами равны, то средний уровень рассчитывается по формуле средней хронологической:

1.01

1.02

1.03

1.04

242

251

213

186

Остатки материалов на складе, тыс. крон

Средние остатки за месяц будут равны:

За январь За февраль За март

Средний остаток за квартал определяется как простая средняя

арифметическая:

Или

Или

Для определения среднего уровня моментного ряда с неравномерными

промежутками между временными датами вычисляется средняя арифметическая взвешенная. В качестве весов принимается продолжительность промежутков времени между моментами, в которые происходят изменения в уровнях динамического ряда:

Средняя арифметическая взвешенная

Даты времени

Стоимость оборудования, млн у.е.

Число месяцев, в течение которых стоимость не изменилась

1.01

75

3

1.04

75+2=77

2

1.06

77-7=70

4

1.10

70+8=78

3

Итого

-

12

Среднегодовая стоимость оборудования равна:

Средний абсолютный прирост

или средняя скорость роста где n - число уровней ряда; Аi - абсолютные изменения по сравнению с предшествующим уровнем.

На примере "Норма"

Это значит, что за период 2001 - 2004 г объем продаж снижался в среднем на 10 млн крон за год.

Формулу расчета можно преобразовать в следующий вид:

Компоненты классической мультипликативной модели временных рядов

Основное предположение: факторы, влияющие на исследуемый объект в настоящем и прошлом, будут влиять на него и в будущем. Таким образом, основные цели анализа временных рядов заключаются в идентификации и выделении факторов, имеющих значение для прогнозирования.

Компоненты мультипликативной модели

Долговременная тенденция называется трендом (trend). Тренд является компонентой временного ряда. Циклический компонент (cyclical component) описывает колебание данных вверх и вниз. Его длина изменяется в интервале от 2 до 10 лет.

Компоненты мультипликативной модели

Любые наблюдаемые данные, не лежащие на кривой тренда и не подчиняющиеся циклической зависимости, называются случайными компонентами (random component)

Фактический валовой доход компании WWC за период с 1982 по 2001 годы

Классическая мультипликативная модель временного ряда для ежегодных

данных

Ti – значение тренда; ci – значение циклического компонента в i-том году ii – значение случайного компонента в i-том году

Сглаживание годовых временных рядов

Долговременная тенденденция повышения доходов затемнена большим

количеством колебаний. Таким образом визуальный анализ графика не позволяет утверждать, что данные имеют тренд. В таких случаях можно применить методы скользящего среднего и экспоненциального среднего

Скользящие средние

Movin average подвижная динамическая средняя, которая исчисляется по ряду при последовательном передвижении на один интервал, т.Е. Сначала вычисляют средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа членов, начиная со второго.

Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3, следующие:

И т.Д.

Для того, чтобы исключить циклические колебания, длина периода должна

быть целым числом, кратным средней длине цикла. Для трехлетнего периода невозможно выполнить вычисления для первого и последнего года, а при пятилетнем периоде сглаживания - первых двух и последних двух лет.

Скользящие средние для доходов Cabot Corporation

Экспоненциальное сглаживание

Exponential smoothing Этот метод позволяет делать краткосрочные прогнозы (в рамках одного периода), когда наличие долговременных тенденций остается под вопросом. При экспоненциальном сглаживании веса, присвоенные наблюдаемым значениям, убывают со временем, поэтому после выполнения вычислений наиболее часто встречающиеся значения получат наибольший вес, а редкие величины - наименьший

Вычисление экспоненциально сглаженного значения в i-том периоде

времени

Где Ei- значение экспоненциально сглаженного ряда, вычисленное для i-го периода; Ei-1- значение экспоненциально сглаженного ряда, вычисленное для предшествующего периода Yi- наблюдаемое значение временного ряда в i-ом периоде; W – субъективный вес или сглаживающий коэффициент (0<W<1)

Экспоненциально сглаженный временной ряд для доходов Cabot Corporation

Допустим, что коэффициент сглаживания равен 0,25

Первое наблюдаемое значение Y1982 = 1587,7 одновременно является первым сглаженным значением E1982 = 1587,7. Используя значение временного ряда для 1983 года получаем: E1983 = WY1983+(1-W)E1982 = = 0,25*1558,0+0,75*1587,7 = 1580,3

Сглаженное значение временного ряда для 1984 года: E1984 = WY1984 +

(1-W)E1983 = = 0,25*1752,5+0,75*1580,3 = 1623,3 и т.д. Этот процесс продолжается до тех пор пока не будут сглажены все значения вариационного ряда.

Прогнозирование значений для (i+1)-го интервала

Для предсказания доходов компании Cabot Corporation в 2002 году можно использовать сглаженное значение, вычисленное для 2001 года