Полупроводники
<<  Полевые транзисторы Биполярные транзисторы  >>
Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках 2 задачи (1)
Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках 2 задачи (1)
5.2. Распределение Ферми-Дирака
5.2. Распределение Ферми-Дирака
Невырожденные полупроводники
Невырожденные полупроводники
5. 4. Эффективная масса плотности состояний Если закон дисперсии
5. 4. Эффективная масса плотности состояний Если закон дисперсии
5.6 Плотность состояний в квантующем магнитном поле
5.6 Плотность состояний в квантующем магнитном поле
5.7 Электроны и дырки на локальных уровнях 5.7.1 Однозарядные центры
5.7 Электроны и дырки на локальных уровнях 5.7.1 Однозарядные центры
----Учет возбужденных состояний _ Ec
----Учет возбужденных состояний _ Ec
Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц Внутри
Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц Внутри
Если не важно, в каком основном или возбужденном состоянии находится
Если не важно, в каком основном или возбужденном состоянии находится
5.8 Определение положения уровня Ферми Если известна концентрация, то
5.8 Определение положения уровня Ферми Если известна концентрация, то
В легированном полупроводнике n-типа NA=0 nh<<ne
В легированном полупроводнике n-типа NA=0 nh<<ne
Гл
Гл
Для невырожденного полупроводника
Для невырожденного полупроводника
Рассмотрим общий случай, т.е. используем формулу (6
Рассмотрим общий случай, т.е. используем формулу (6
В металлах Ф
В металлах Ф
Контакт металл- металл 1) нет контакта между незаряженными металлами –
Контакт металл- металл 1) нет контакта между незаряженными металлами –
6.6 Распределение электронов и потенциала в слое объемного заряда
6.6 Распределение электронов и потенциала в слое объемного заряда
То плотность тока через контакт можно выразить через nk и n(x=0)
То плотность тока через контакт можно выразить через nk и n(x=0)
6.8 Обогащенный контактный слой euk<0; | euk >>kT|; Рассмотрим
6.8 Обогащенный контактный слой euk<0; | euk >>kT|; Рассмотрим
6.9 Истощенный контактный слой Предельный случай сильного обеднения –
6.9 Истощенный контактный слой Предельный случай сильного обеднения –
Контакт двух полупроводников (p) и (n) типа- p-n переход Толщины слоев
Контакт двух полупроводников (p) и (n) типа- p-n переход Толщины слоев
6.10 Токи, ограниченные пространственным зарядом Токи через границу
6.10 Токи, ограниченные пространственным зарядом Токи через границу
Классический слабо легированный барьер j1
Классический слабо легированный барьер j1
Концентрация электронов в глубине
Концентрация электронов в глубине
Глава 7. Неравновесные электроны и дырки 7.1 Неравновесные носители
Глава 7. Неравновесные электроны и дырки 7.1 Неравновесные носители
7.2 Время жизни неравновесных носителей
7.2 Время жизни неравновесных носителей
7.3 Уравнение непрерывности Включим в рассмотрение электрический ток В
7.3 Уравнение непрерывности Включим в рассмотрение электрический ток В
Заметим, что с учетом очевидного тождества уравнения (7
Заметим, что с учетом очевидного тождества уравнения (7
I(x) ? световой поток на единицу поверхности g
I(x) ? световой поток на единицу поверхности g
Стационарный случай
Стационарный случай
Глава 8. Проблемы обоснования зонной теории 8.1 Вопросы зонной теории
Глава 8. Проблемы обоснования зонной теории 8.1 Вопросы зонной теории
Энергия взаимодействия
Энергия взаимодействия
8.4 E(R)
8.4 E(R)
8.3 Приближение малых колебаний (амплитуда колебаний мала по сравнению
8.3 Приближение малых колебаний (амплитуда колебаний мала по сравнению
8.4 Сведение многоэлектронной задачи к одноэлектронной
8.4 Сведение многоэлектронной задачи к одноэлектронной
При этом U’ не задано априори
При этом U’ не задано априори
8.4 Электроны и дырки как элементарные возбуждения многоэлектронной
8.4 Электроны и дырки как элементарные возбуждения многоэлектронной
8.5. Выход за пределы одноэлектронного приближения 8.5.1 Экситон
8.5. Выход за пределы одноэлектронного приближения 8.5.1 Экситон
Где
Где
Глава 9. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 9.1 Межзонное
Глава 9. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 9.1 Межзонное
Связанный с поглощением фотона для перехода из валентной зоны в зону
Связанный с поглощением фотона для перехода из валентной зоны в зону
9.2 ЭКСИТОННЫЙ ВКЛАД В ПОГЛОЩЕНИЕ 9.2.1 Одноэлектронное приближение
9.2 ЭКСИТОННЫЙ ВКЛАД В ПОГЛОЩЕНИЕ 9.2.1 Одноэлектронное приближение
НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ Переход из состояния i в состояние j
НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ Переход из состояния i в состояние j
9.2.2 Экситонное поглощение РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
9.2.2 Экситонное поглощение РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
9.3 ЭКСИТОННЫЕ МОЛЕКУЛЫ 9.3.1 Излучение ЭМ
9.3 ЭКСИТОННЫЕ МОЛЕКУЛЫ 9.3.1 Излучение ЭМ
9.3.2 Разрушение молекул магнитным полем: Молекулы в основном
9.3.2 Разрушение молекул магнитным полем: Молекулы в основном
Причина
Причина
Экспериментальное наблюдение излучения металлической e-h жидкости в
Экспериментальное наблюдение излучения металлической e-h жидкости в
9.5 Бозе-Эйнштейштейновская конденсация экситонов в импульсном
9.5 Бозе-Эйнштейштейновская конденсация экситонов в импульсном
9. 6 Экситонные поляритоны
9. 6 Экситонные поляритоны
Квазидвумерный свет
Квазидвумерный свет
Квазидвумерные экситонные поляритоны
Квазидвумерные экситонные поляритоны
LP
LP
Квазидвумерные экситонные поляритоны
Квазидвумерные экситонные поляритоны
Статистика электронов и дырок в полупроводниках
Статистика электронов и дырок в полупроводниках
Статистика электронов и дырок в полупроводниках
Статистика электронов и дырок в полупроводниках

Презентация: «Статистика электронов и дырок в полупроводниках». Автор: VDK. Файл: «Статистика электронов и дырок в полупроводниках.ppt». Размер zip-архива: 3276 КБ.

Статистика электронов и дырок в полупроводниках

содержание презентации «Статистика электронов и дырок в полупроводниках.ppt»
СлайдТекст
1 Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках 2 задачи (1)

Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках 2 задачи (1)

Нахождение числа возможных квантовых состояний электронов (дырок) (2) Нахождение распределения электронов по этим квантовым состояниям в условиях термодинамического равновесия 5.1. Плотность состояний в зонах Состояние электронов (дырок) в зонах характеризуется 1) квазиимпульсом

2) номером зоны l Объем в зоне на каждое значение

, где V – объем кристалла Отсюда число состояний в элементе объема

?

На единицу объема кристалла

2 - Вырождение по спину Перейдем к энергиям ? от E до E+dE Число состояний N(E)dE Если известно

нет проблем Вблизи края зоны

Или

Объем в

-Пространстве

Аналогично для дырок:

2 5.2. Распределение Ферми-Дирака

5.2. Распределение Ферми-Дирака

Для электронов

Для дырок

F>0 электронный газ вырожден - Функция распределения Ферми-Дирака Если F<0 и

Распределение Больцмана (Максвелла-Больцмана)

Электронный газ не вырожден 5. 3. Концентрация электронов и дырок в зонах

- Химический потенциал электронов

? ? эффективная интеграл плотность состояний Ферми-Дирака

Аналогично для дырок ? подсчитываем пустые места в валентной зоне

Где

3 Невырожденные полупроводники

Невырожденные полупроводники

(E), f(E.T) и dn/dE Случай сильного вырождения

Схематический вид функций

(E), f(e.T) и dn/de

Схематический вид функций

4 5. 4. Эффективная масса плотности состояний Если закон дисперсии

5. 4. Эффективная масса плотности состояний Если закон дисперсии

отличен от изотропного?!

Если имеется ? долин.

Для невырожденного газа

Т.Е. Эффективная масса плотности состояний

В общем случае масса плотности состояний не равна массе электропроводности Так в Ge

5 5.6 Плотность состояний в квантующем магнитном поле

5.6 Плотность состояний в квантующем магнитном поле

По правилам статистики число электронов N в объеме V

? - Совокупность квантовых чисел, от которых зависит энергия электрона el,

- кратность вырождения. В магнитном поле

и проекция спина на ось 0z (+,-) Кратность вырождения была найдена нами ранее

Т.Е.

Где

E – четная функция

, Где плотность состояний

? осциллирует – Осцилляции Шубникова – де Гааза (магнитосопротивления ) - де Газа- Ван Альфена (Магнитной восприимчивости)

6 5.7 Электроны и дырки на локальных уровнях 5.7.1 Однозарядные центры

5.7 Электроны и дырки на локальных уровнях 5.7.1 Однозарядные центры

_____________________ Ec Невырожденные состояния примеси

Ed? либо заполнен одним электроном -------------------------------- ed либо пустой

? Заполнено

? Пустые

Если состояние вырождено: то нужно ввести кратность вырождения

- Заполненных;

- Пустых

(На центре только 1 электрон !!! всегда)

Отсюда находим

Если полупроводник не вырожден, то концентрация электронов в зоне

И

Где

? Энергия связи электрона на примеси

7 ----Учет возбужденных состояний _ Ec

----Учет возбужденных состояний _ Ec

---Учет возбужденных состояний ____________________ Ec

Вероятность того, что ------------------------------ ek электрон находится на уровне k ------------------------------

- Кратность вырождения k- уровня ____________________ ed

Полная вероятность, что электрон находится на одном из уровней

Отношение концентрации центров с электроном к концентрации пустых центров равно

Отсюда

5.7.2 Многозарядные центры а) Пустой уровень

б) Уровень

- заполнен Появляется уровень

в) Уровень

заполнен Появляется

и т. д. Подчеркнем отличие от нескольких однородных центров, когда. все уровни существуют всегда !!! Распределение Ферми в простом виде к многозарядным центрам неприменимо – нужен более общий подход

8 Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц Внутри

Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц Внутри

среды с объемом V0, полным числом частиц N0 и энергией E0=const выделим тело с объемом V, находящееся в термодинамическом равновесии и с возможностью перехода частиц из V0 в среду V и обратно Допустим, что в тело V перешло j частиц Новое число частиц в V – N+j

Частицы заняли энергии

Т.Е. Новая энергия тела стала

Вероятность перехода j частиц в состояние m

, (5.1) где А – нормировочный множитель

- изменение энтропии среды При этом изменение свободной энергии в условиях термодинамического равновесия (Т=const)

? Свободная энергия на одну частицу т.Е.

При V=const производная

? распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц Применим эту формулу к многозарядному центру Условие нормировки

И из (5.1)

Где M ? максимальное число электронов

9 Если не важно, в каком основном или возбужденном состоянии находится

Если не важно, в каком основном или возбужденном состоянии находится

электрон, то

Где

E(j)? энергия центра с j электронами в основном состоянии bjm? кратность вырождения соответствующих уровней ? ? называется химическим потенциалом. часто отсчитывается от края зоны проводимости Если есть электрическое поле, то

электрохимический потенциал ? дополнительная потенциальная энергия электрона в поле. Очевидно, что Формула Гиббса применима к обычному однородному примесному центру j ? либо 0 либо 1.

Т.Е.

10 5.8 Определение положения уровня Ферми Если известна концентрация, то

5.8 Определение положения уровня Ферми Если известна концентрация, то

все просто

Если известна концентрация ND и NA Из классической электродинамики известно, что заряд рассасывается за время

(максвелловское время релаксации) В полупроводниках с характерными величинами e=10; s~ 1 oм-1см-1

т.е. можно считать полупроводник электронейтральным и уровень Ферми нужно находить из условия

В собственном полупроводнике

Т.Е.

Или

11 В легированном полупроводнике n-типа NA=0 nh<<ne

В легированном полупроводнике n-типа NA=0 nh<<ne

(5.2) ? Невырожденный полупроводник

Для невырожденных полупроводников из (5.2) следует, что

Где

При низких температурах эта формула сводится к

EF

При T~0 уровень Ферми располагается посередине между Ec и ED С ростом температуры он уходит на середину запрещенной зоны

12 Гл

Гл

6 Явления в контактах (Монополярная проводимость) 6.1 Потенциальные барьеры Разные химпотенциалы в разных веществах - потенциальные барьеры Вблизи контакта электронейтральность нарушается – искривление зон В случае металлов толщина барьеров меньше длины волны де-Бройля благодаря большой концентрации электронов Поэтому электроны свободно проходят через барьер в результате туннельного эффекта В полупроводниках картина противоположная и роль контатных эффектов необычайно велика 6.2 Плотность тока; Соотношение Эйнштейна n=n(x); ток состоит из дрейфа электронов в электрическом поле + диффузия (?

).

(6.1) Для дырок:

В изотропной среде или в кубических кристаллах в отсутствие магнитного поля

13 Для невырожденного полупроводника

Для невырожденного полупроводника

(6.2) Чтобы понятие диффузии имело смысл, изменение n на длине свободного пробега должно быть мало

;

- Радиус экранирования заряда

- Контактная разница потенциалов

? Зависят друг от друга так как они определяются одной величиной t

И

; То из 6.1 и 6.2 следует, что

Если

Для невырожденного полупроводника

(6.3) В общем случае:

(6.4) 6.3 Условие равновесия контактирующих тел электрохимический потенциал = const введем

14 Рассмотрим общий случай, т.е. используем формулу (6

Рассмотрим общий случай, т.е. используем формулу (6

4)) для De Находим

?Электрохимический потенциал

Контакт металл ? n велико,

Мал барьер

Металл-полупров.

велик Высота барьера, равная

Полупров.?N мало,

вся в полупроводнике. 6.4 Граница полупроводник-вакуум; Равновесие: Электроны «испаряются» из полупроводника в вакуум n электронов/сек; столько же должно возвращаться Электронный газ в вакууме не вырожден: скорость по Максвеллу

, Где

?

Или

Где

? Для всех веществ !!!

Ф называется термоэлектронной работой выхода из полупроводника или металла

15 В металлах Ф

В металлах Ф

работа по удалению электрона с поверхности Ферми. В полупроводниках: На уровне EF нет электронов Удаление электронов ?перераспределение электронов зонах по энергиям В металлах Ф=const В полупроводниках (1) Ф зависит от легирующей примеси !!! (2) От примесей на поверхности, которые ведут к искривлению зон т.е. определение Ф для полупроводника - деликатная задача !!! 6.5 Контактная разность потенциалов Измерение работы выхода – - нагрев до высокой температуры - что проблематично для многих кристаллов - измерение контактной разности потенциалов – между несоприкасающимися кристаллами в электронном равновесии - (равновесие с помощью соединения металлическим проводником)

16 Контакт металл- металл 1) нет контакта между незаряженными металлами –

Контакт металл- металл 1) нет контакта между незаряженными металлами –

поле между ними Е=0. электрический потенциал j=const термоэлектронная работа выхода равна F1=E0-F1, F2=E0-F2 2) соединяем - F1=F2 поле Е не равно нулю – появятся заряды на поверхности. электрический потенциал j=const по определению – контактная разность потенциалов – разность потенциалов между точками 1 и 2 вне металлов, но находящимися в непосредственной близости от их поверхностей. -euk=-e(j1-j2)=F2-F1=F1-F2 Контакт металл-полупроводник до контакта после соединения Электрическое поле частично проникает в полупроводник Полная разность потенциалов

Распределяется между зазором и слоем объемного заряда в полупроводнике

17 6.6 Распределение электронов и потенциала в слое объемного заряда

6.6 Распределение электронов и потенциала в слое объемного заряда

Одномерный случай вдоль x

Невырожденный полупроводник n-типа для определенности 3 уравнения: (1)

? соотношение Эйнштейна использовано (2)

? уравнение Пуассона (3)

? Уравнение непрерывности

Стационарное решение: т.е.

И

Пусть

В этом случае

(6.5)

(6.6) n0 - равновесная концентрация в глубине полупроводника Положим, что контакт при x=0 и j(x=0)=0 n(x=0)=nk При

-- j=uk+u n=n0 Здесь u внешняя разность потенциалов В отсутствие тока nk связано с n0 соотношением

18 То плотность тока через контакт можно выразить через nk и n(x=0)

То плотность тока через контакт можно выразить через nk и n(x=0)

тепловой поток электронов из полупроводника в металл ~n(x=0) обратно ~nk (так же, как и в отсутствие тока) т.Е.

Если

И можно считать, что

Даже для относительно больших токов

Можно оценить границы применимости: для nk=1013 cм-3 и vT=102 см/с ? ? evTnk~10

При j=0 из (6.5 ) имеем

Подставляем в (6.6) и получаем уравнение

(6.7) Из которого можно найти распределение потенциала в полупроводнике j(x) 6.7 Длина экранирования Если искривление зон мало, т.е.

, Разлагаем exp в ряд находим из (6.7)

(6.8) где

- длина экранирования Дебая Решение

LD~1/n ? для n=1015 cм-3 при комнатной температуре LD=10-5 см Уменьшаем n - величина LD – растет, пока не станет существенным вклад от зарядов на остаточных примесях

19 6.8 Обогащенный контактный слой euk<0; | euk >>kT|; Рассмотрим

6.8 Обогащенный контактный слой euk<0; | euk >>kT|; Рассмотрим

отдельно области вблизи контакта (1) и в объеме полупроводника, где зоны уже не искривлены (2) область (1)

И из уравнения (6.7)

Умножаем обе части уравнения на dj/dx и интегрируем по j

Постоянная интегрирования из граничных условий j= uk ; dj/dx=0 т.е.

В силу условия euk<<ej ? величиной с можно пренебречь, т.е

(6.8) т.к. обогащенный слой, который мы рассматриваем – - электронный j<0 и |j| ? растет с x. т.е. решение со знаком -. Интегрируя (6.8) от 0 до ? получаем

.

, Где

Т.Е.

, где в LD стоит nk Потенциал изменяется по логарифмическому закону

Область (2) вдали от контакта j= uk

Таким образом, электропроводность слоистых структур металл-диэлектрик-металл может быть велика, даже если электропроводность диэлектрика мала.

20 6.9 Истощенный контактный слой Предельный случай сильного обеднения –

6.9 Истощенный контактный слой Предельный случай сильного обеднения –

запорный контакт Контакт металл-полупроводник К контакту приложено внешнее напряжение u, создающее обедненный слой. В первом приближении считаем, что в слое толщиной d зарядов свободных нет, только заряженные центры т.е. euk >0 (запорный слой)

И уравнение (6.7) имеет вид

Принимая во внимание граничные условия x=0: j=0 x=d: j=u+ euk dj/dx=0 интегрируем d2j/dx2=0 два раза и получаем

Где

- Толщина запорного слоя

21 Контакт двух полупроводников (p) и (n) типа- p-n переход Толщины слоев

Контакт двух полупроводников (p) и (n) типа- p-n переход Толщины слоев

dn и dp зависят от концентрации доноров и акцепторов Резкий p-n переход

Объемный заряд равен p - область

N-область

Положим, что j=0 на границе x=-dp: j=up, dj/dx=0 x=dn: j=un, dj/dx=0

U- внешнее напряжение источника

22 6.10 Токи, ограниченные пространственным зарядом Токи через границу

6.10 Токи, ограниченные пространственным зарядом Токи через границу

металл-полупроводник во внешнем электрическом поле Картина различна для контактов с обогащенным и обедненным слоями в полупроводниках (1) случай обогащенного слоя Край Ec - без тока ? -ej увеличивается по логарифмическому закону в области объемного заряда и равен const вне этой области ток диффузии = току дрейфа Если прикладывается + к полупроводнику Энергия электронов в объеме понижается.

В точках максимума ( x’) напряженность электрического поля =0 т.е. ток дрейфа равен нулю и весь ток определяется диффузией в точке x’э поле растет, точка x’ приближается к контакту – в область с большей концентрацией электронов – растет ток Очень большое напряжение ? везде есть дрейф. Такой контакт называется антизапорным или омическим. Металлический контакт – выступает в качестве катода – т.е. в роли эмиттера электронов (2) блокирующий контакт; Выпрямление в контакте Влияние барьера зависит от соотношения между шириной барьера LD и длиной волны электрона l: LD << l? туннелирование LD > l ? только через барьер n0=1015 cм-3; 300 K ? LD~10-5 см - классический барьер (l (300K) ? ~10-6 см). n0=1018 -1019 cм-3 ? нужно учитывать туннельный ток

23 Классический слабо легированный барьер j1

Классический слабо легированный барьер j1

ток электронов из полупроводника в металл j2 ? ток электронов из металла в полупроводник Расчет тока 2 случая: (1) длина свободного пробега l >>LD (2) длина свободного пробега l <<LD Ge

300 K; l~10-5 см ~LD при n~ 1015 cм-3; n> 1015 cм-3 ? диодная теория n <1015 cм-3 ? диффузионная теория Диодная теория ( число соударений в запорном слое мало, l >>LD) В полупроводнике преодолеть барьер могут электроны с энергией

из больцмановского хвоста Ранее мы нашли, что плотность тока термоэмиссионной эмиссии из металла равна

В нашем случае работа выхода

Т.е.

Электроны из полупроводника

24 Концентрация электронов в глубине

Концентрация электронов в глубине

Средняя тепловая скорость

Отсюда

, Где

, a=e/kT В реальности есть сопротивление объема, т.е. u=v-ir диффузионная теория ( число соударений в запорном слое велико, l <<LD) В диффузионной теории нужно исходить из уравнений:

При этом после вычислений опять же получаются формула

Только

В диффузионной теории ток меньше, чем в диодной!

25 Глава 7. Неравновесные электроны и дырки 7.1 Неравновесные носители

Глава 7. Неравновесные электроны и дырки 7.1 Неравновесные носители

тока В условиях термодинамического равновесия V12=v21 ? для всех переходов ( Принцип детального равновесия ) Это означает, что частоты переходов из зоны проводимости в валентную зону и обратно равны. Внешнее дополнительное воздействие нарушает термодинамическое равновесие

;

И

В равновесии: При внешнем воздействии появляются

26 7.2 Время жизни неравновесных носителей

7.2 Время жизни неравновесных носителей

(7.1) ge,h ? генерация за счет внешнего воздействия (кроме тепла!) Ri=ri-gi,T - темп рекомбинации свободных электронов (i=e) и дырок (h) где ri - полный темп ухода из зоны i, gi,T ? генерация за счет тепла Можно ввести среднее время жизни одного избыточного носителя Ri=dni/ti; и (7.1) записать в виде ddni/ti =gi-dni/ti В стационаре dni/ti=0 В случае отсутствия тока находим установившееся стационарное значение dni=giti В общем случае ti зависит от n, T и т.д. Если ti не зависит от концентрации dni=giti - Cexp (-t/ ti ) Если при t=0 было термодинамическое равновесие, т.е. dni(0)=0, то dni=giti (1- exp (-t/ ti ) ) (7.2) Если при t=0 выключена генерация, т.е. dni(0)=(dni)1 dni(0)=(dni) exp (-t/ ti ) (7.3) т.е. 1/ ti - вероятность рекомбинации

27 7.3 Уравнение непрерывности Включим в рассмотрение электрический ток В

7.3 Уравнение непрерывности Включим в рассмотрение электрический ток В

объеме DV:

Токи электронов и дырок

Где

(7.4)

Где

Полные темпы изменения концентраций электронов и дырок

(7.5) (7.5) – это уравнения непрерывности для электронов и дырок При нарушении термодинамического равновесия изменяются и концентрации связанных электронов и дырок Возникает объемный заряд

Электрическое поле в (7.4) определяется уравнением Пуассона

И граничными условиями.

28 Заметим, что с учетом очевидного тождества уравнения (7

Заметим, что с учетом очевидного тождества уравнения (7

5) дают обычное выражение для заряда r

В общем случае нужно решать всю задачу. Однако в целом ряде случаев использование уравнения Пуассона может оказаться излишним Возникновение заряда приводит к появлению токов диффузии и дрейфа, которые стремятся уничтожить изменение объемного заряда Если диффузионно-дрейфовое равновесие устанавливается быстрее, чем термодинамическое - объемный заряд успевает обратиться в нуль за время tM (максвелловское время релаксации), которое много меньше te,th. В этом случае можно положить на частотах w<<1/ tM r~0; При этом

Из уравнения Пуассона подставив r имеем:

Второе слагаемое – ток смещения Максвелла т.е. линии полного тока – конвекционного j и тока смещения Максвелла - непрерывны Таким образом, рассматриваемый случай div j=0 означает, что токи смещения малы. Из написанных уравнений два важных следствия (1) Если

, то из условия dr~0 ? dne = dnh (2) Если генерация только зона-зона, тогда

И следовательно

29 I(x) ? световой поток на единицу поверхности g

I(x) ? световой поток на единицу поверхности g

коэффициент поглощения -di=i(x)gdx ? число поглощенных фотонов в слое dx i(x)g ? число поглощенных фотонов в единице объема

Где n(w) - квантовый выход электрон (дырка) имеют энергию при t=0 ? E0 время релаксации по энергии te<<te - время жизни

При однородной генерации divj=0 (собственная фотопроводимость)

7.5 Фотопроводимость Фотовозбуждение неравновесных электронов и дырок Собственная генерация пар примесная генерация пар

30 Стационарный случай

Стационарный случай

Если tфп=const

После выключения при

7.6 Квазиуровни Ферми В равновесии

Фотовозбуждение

Ток при неоднородном возбуждении

: ?

31 Глава 8. Проблемы обоснования зонной теории 8.1 Вопросы зонной теории

Глава 8. Проблемы обоснования зонной теории 8.1 Вопросы зонной теории

Мы рассматриваем одноэлектронное приближение Электрон в периодическом поле

Где

Но ядра тоже движутся. Движение ядер и фононы. (1) Можно ли движение электронов рассматривать отдельно от движения ядер? (2) Можно ли пренебречь взаимодействием электронов с фононами ? рассматривая задачу об энергетическом спектре электронов (3) Электронов много ? когда можно пренебречь их взаимодействием? 8.2 Адиабатическое приближение Оправдывает раздельное рассмотрение движения электронов и тяжелых частиц (ядер) Физическая причина: различие масс. Электроны движутся быстро и характер их движения определяется мгновенным расположением ядер. Ядра движутся медленно и поэтому «замечают» лишь среднее расположение электронов. Квантовомеханическое оформление этих соображений: Электроны i,j… их радиус-вектор ri, масса m0 Ядра…a,b…………их радиус-вектор Ra, ….масса Ma r={r1….) R={R1…}

32 Энергия взаимодействия

Энергия взаимодействия

Уравнение Шредингера

Ищем волновую функцию в виде

Желательно, чтобы в c(r,R) переменные R можно было считать параметрами, т.е. чтобы по R не было дифференцирования

8.1 В третьей строке производные от c по координатам ядер они существенно меньше, чем в первой строке, т.е. в первом приближении можно положить, что

8.2 и

8.3 (8.2) ? уравнение Шредингера для системы электронов, взаимодействующих друг с другом и с ядрами «прибитыми»в данный момент времени. Умножим (8.2) на c* и проинтегрируем по всем ri и учтем, что

33 8.4 E(R)

8.4 E(R)

есть квантовомеханическое среднее значение полной энергии электронов при заданной конфигурации ядер. Далее уравнение (8.3) ? это уравнение Шредингера для ядер с потенциальной энергией

т.е. разделили ядра и электроны. Такое разделение и есть ?Адиабатическое приближение?

- описывает поведение системы электронов при бесконечно медленном изменении координат ядер R. Оператор неадиабатичности (третья строка в уравнении (8.1))

Поправку к адиабатическому приближению через теорию возмущения ? (Если возбужденное состояние имеет большую энергию по отношению к основному). Расчет показывает, что поправки пропорциональны (m0/M)1/4.

Получаем

34 8.3 Приближение малых колебаний (амплитуда колебаний мала по сравнению

8.3 Приближение малых колебаний (амплитуда колебаний мала по сравнению

с постоянной решетки) Потенциальная энергия ядер зависит от состояния электронов, Следовательно, и положение ядер и их колебания относительно равновесных положений зависят от состояния электронов c(r) Этот эффект при рассмотрении рассеяния электронов в теории подвижности электронов невелик: испускание или поглощение нескольких фононов слабо влияет на интегральный эффект При захвате или испускании электрона одним центром – ситуация может отличаться кардинально – D-центры в III-V полупроводниках и т.д. Влияние неидеальности решетки из-за колебаний решетки Взаимодействие с акустическими и оптическим колебаниями в неполярных кристаллах в приближении малых колебаний ? поправки обычно невелики. Исключение составляют полярные кристаллы. Колебания атомов ? ионов ? изменение дипольных моментов ? поляризационные колебания Дипольные моменты – поле спадает медленно – - ячеек, с которыми взаимодействует электрон - много Поэтому представление о движении электронов в идеальной решетке становится неоправданным. В этом случае ? движение электронов – вызывает поляризацию ионов в среде ? которая, в свою очередь, ? взаимодействует с электронами и понижает энергию электронов ? автолокализация электронов Электрон движется вместе с созданной им поляризацией ? “полярон”. Если поляризация среды мала, то этим эффектом можно пренебречь. ?Si, Ge ….ковалентные полупроводники В III-V – поправки малы В II-VI и особенно I-VII – поправки весьма существенны.

35 8.4 Сведение многоэлектронной задачи к одноэлектронной

8.4 Сведение многоэлектронной задачи к одноэлектронной

Метод самосогласованного поля

? Заменить эффективным полем, так чтобы

Нужно

Тогда

(8.5) где

Решение

Уравнение (8.5) ? это уже одноэлектронное уравнение Шредингера Теперь нужно определить

И

? такое равенство невозможно !!! Можно попробовать, чтобы это равенство удовлетворялось в среднем.

36 При этом U’ не задано априори

При этом U’ не задано априори

!! Последовательные приближения

,

и т.д. Такое поле ? называют самосогласованным. Если взять в качестве

,

Снова из

функции Блоха То получим U’? периодичную функцию !!!

? независимые события Причина - не учтена корреляция электронов из-за а) Принцип Паули б) Отталкивание электронов

Т.Е. В приближении самосогласованного поля попадание электрона в элементы

Соответственно, изменения в формуле (8.5) для U’ Отталкивание ? поправки В целом,

Кинетическая энергия ? Вырожденный газ - из-за принципа Паули

Таким образом, парадоксальный результат ---- чем больше плотность, тем идеальнее газ электронов!

;

Невырожденный газ

Чем меньше плотность, тем идеальнее газ

37 8.4 Электроны и дырки как элементарные возбуждения многоэлектронной

8.4 Электроны и дырки как элементарные возбуждения многоэлектронной

системы в полупроводниках Сильно взаимодействующая система ? Слабо возбужденные состояния такой системы можно представить как идеальный или слабо неидеальный газ квазичастиц – элементарных возбуждений (1) Эти квазичастицы будут либо Бозе либо Ферми (2) будут иметь импульс (квазиимпульс) (3) могут иметь заряд, спин, и т.д. Заряженные частицы должны возникать парами (закон сохранения заряда) Электроны и дырки в полупроводнике ? суть элементарные возбуждения ? квазичастицы. Пока не рассматривается взаимодействие между квазичастицами зонная теория и многоэлектронная теория ? неразличимы (кроме слов).

Одноэлектронная теория

Элементарные возбуждения

Зона проводимости пуста валентная зона заполнена

Нет электронов нет дырок

? Основное состояние

Энергетический зазор между зоной проводимости и валентной зоной

Минимальная энергия создания 1 электрона и 1 дырки

Ширина запрещенной зоны

Зона проводимости частично заполнена Валентная зона частично пуста

Возбуждено какое-то количество e и h

Возбужденное состояние полупроводника

Переход электрона из валентной зоны в зону проводимости

Генерация e-h пары

Поглощение света

38 8.5. Выход за пределы одноэлектронного приближения 8.5.1 Экситон

8.5. Выход за пределы одноэлектронного приближения 8.5.1 Экситон

Эксперимент ? свет поглощается - фототока нет Связанное состояние электрона и дырки

;

Пусть электрон и дырка движутся на расстоянии друг от друга r>> a a - параметра решетки т.е. метод эффективной массы можно использовать

(8.6) ? выход за пределы одноэлектронного приближения где

В уравнении e при

Уравнение (8.6) аналогично уравнению для атома водорода

;

;

Для c уравнение

Аналог зонного решения 2) l<0

1) l>0 ? непрерывный спектр

, Где n=1, 2, …

39 Где

Где

? боровский радиус экситона ? наиболее вероятное расстояние между e и h. GaAs ? aB~100 A Si ? aB~30 A Возможны экситоны Френкеля, когда aexc~ amol Экситоны Френкеля - в молекулярных кристаллах и в кристаллах инертных газов с малой диэлектрической постоянной и большой эффективной массой Использовать приближение эффективной массы и диэлектрическую постоянную кристалла в расчетах в этом случае нельзя 8.5.2 Границы применимости экситонного приближения До тех пор, пока концентрация экситонов мала ? газ экситонов можно считать невзаимодействующим Что же возможно при повышении концентрации?: 1) Очевидное ? развал экситонов на электроны и дырки ? e-h плазма с постоянной плотностью. 2) Электронно-дырочная жидкость с плотностью n1, окруженная экситонами с плотностью n2 3) Экситонные молекулы 4) Бозе-конденсат экситонов

? Экситоны Ванье-Мотта

40 Глава 9. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 9.1 Межзонное

Глава 9. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 9.1 Межзонное

поглощение света Законы сохранения

E

Ec Ev

Прямые переходы Электромагнитное поле может быть описано векторным потенциалом

k

? Гамильтониан электрона с зарядом -e в периодическом поле кристалла V

+ Условие Лоренца

+Электромагнитное поле

? Мало

??? 0 Т.е. возмущение света

Где

41 Связанный с поглощением фотона для перехода из валентной зоны в зону

Связанный с поглощением фотона для перехода из валентной зоны в зону

проводимости

Матричный элемент энергии возмущения

? Где

?

Коэффициент поглощения

a

Разрешенные переходы

Eg

a

Запрещенные переходы

Eg

42 9.2 ЭКСИТОННЫЙ ВКЛАД В ПОГЛОЩЕНИЕ 9.2.1 Одноэлектронное приближение

9.2 ЭКСИТОННЫЙ ВКЛАД В ПОГЛОЩЕНИЕ 9.2.1 Одноэлектронное приближение

ПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ

a

E

Eg

E=hck

E

a

Eex

E

Eex

Eg

K=ke+kh

Для экситонов ? поглощение совпадает с энергией Eex при k~0

43 НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ Переход из состояния i в состояние j

НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ Переход из состояния i в состояние j

1 + 2 либо 3 + 4 ? ? ? ? фотон фонон фонон фотон

- т.е. второе приближение теории квантовых переходов Законы сохранения энергии и импульса выполняются только для начального и конечного состояния

Nq ? число фононов, + испускание; - поглощение

Эксперимент

Где

?

?

~

~

Вблизи края Eg

a

Eg -hW

44 9.2.2 Экситонное поглощение РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ

9.2.2 Экситонное поглощение РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ

E=hck

E

?

Eex

~

K=ke+kh

9.2.3 Экситонная рекомбинация РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ

E=hck

E

экситоны – бозоны, но при малых плотностях статистика Больцмана

Eex

K=ke+kh

I

Низкие температуры только испускание фононов Узкая линия с шириной 1,8 kТ

E1/2

E

Eexc-hW

exp(-E/kT)

45 9.3 ЭКСИТОННЫЕ МОЛЕКУЛЫ 9.3.1 Излучение ЭМ

9.3 ЭКСИТОННЫЕ МОЛЕКУЛЫ 9.3.1 Излучение ЭМ

По аналогии с H2 ? экситоны должны образовывать экситонные молекулы Основное состояние ? спиновый синглет для 2-х электронов и спиновой синглет для 2-х дырок в экситоне где dM - энергия связи молекулы Оптический переход ? Линия излучения должна лежать со стороны меньших энергий от экситона

Излучение экситонов и биэкситонов в одноосно сжатом Si вдоль оси [100] В условиях равновесия mM =2mex ?

, Где nm,ex ? концентрации молекул и экситонов; nm,ex ?их кратности вырождения dm ? энергия связи молекулы т.Е. С увеличением плотности nm ~nex2

46 9.3.2 Разрушение молекул магнитным полем: Молекулы в основном

9.3.2 Разрушение молекул магнитным полем: Молекулы в основном

состоянии находятся в состоянии спинового синглета В магнитном поле энергия спинового синглета в первом приближении (без учета диамагнетизма) не зависит от поля Экситон ? включает электрон и дырку с неспаренными спинами

В Si, Ge спин электрона sz=1/2 спин дырки jz=3/2 при

Происходит развал молекулы на экситоны

2Eex

EM

Bcr

9.4 Электронно-дырочные капли Исследования излучения недеформированных Si и Ge показали, что поведение их спектров излучения с ростом накачки не соответствует описанному для экситонных молекул В спектре вместо излучения молекул – широкая линия, отстоящая от линии излучения экситона на ~10 мэВ, что сравнимо с энергией связи экситона и полностью отсутствует излучение молекул. В чем же отличие недеформированного Si и Ge от одноосно сжатых кристаллов, в которых наблюдаются экситонные молекулы?

B

B4>B3>B2>B1=0

47 Причина

Причина

большая кратность вырождения зоны число долин (вырожд.) вырожд. Валентной зоны Si? 6 (12) 4 т.е. только Ge[111]

Ge? 4 (8) 4 является аналогом Si[100] 2 (4) 2 для водорода !!! Ge[111] 1 (2) 2 Энергия e-h состояний зависит от кулоновской энергии взаимодействия электронов и дырок Eкул ~1<r>~n1/3

И кинетической энергии вследствие локализации электронов и дырок

? число долин Чем больше долин, тем меньше средняя кинетическая энергия, тем более связанные состояния могут образоваться. В Si - 6 долин ? минимум полной энергии находится при

Eкин n=1 n=6

E

Etot n=1 n=6

Экситоны разваливаются и образуется металлическая e-h жидкость с энергией связи ~ 10 мэВ, что в 10 раз больше энергии связи экситонных молекул (~1 мэВ) .

Eg

Eex=Eg-Ry

n1/3

Eэдж

Eкул

Равновесная плотность ЭДЖ n1/3>aB-1

В результате в системе экситонов происходит расслоение на разреженный газ экситонов и плотную электронно-дырочную жидкость в согласии с условием mexc=mЭДЖ

48 Экспериментальное наблюдение излучения металлической e-h жидкости в

Экспериментальное наблюдение излучения металлической e-h жидкости в

недеформированном и одноосно сжатом вдоль разных направлений Si

Вырождение зоны вален- прово- тной димости зоны 12 4 12 2 8 2 4 2

Ширина линии излучения ЭДЖ равна сумме энергий Ферми электронов и дырок EFe+EFh) Расстояние между фиолетовым краем линии излучения ЭДЖ и красным краем линии излучения экситона – энергия связи ЭДЖ С уменьшением вырождения валентной зоны и зоны проводимости величина энергии связи и энергии Ферми (и, следовательно, плотность жидкости) монотонно уменьшаются (Энергия связи уменьшается в 4 раза, а плотность в 3 раза при уменьшении числа долин с 6 до 2 и отщеплении зоны легких дырок в валентной зоне

P||<111>

P||<110>

P||<100>

49 9.5 Бозе-Эйнштейштейновская конденсация экситонов в импульсном

9.5 Бозе-Эйнштейштейновская конденсация экситонов в импульсном

пространстве в непрямых полупроводниках

Спектр излучения

Экситоны – бозоны, при малых плотностях mX<eX , |mX-eX|>>kT статистика Больцмана

Узкая линия с шириной 1,8 kТ

В одноосно сжаты кристаалах Ge c с одной долиной в загне проводимости и невырожденной валентной зоной в магнитном поле оказываются нестабильными и экситонные молекулы и электронно –дырочная жидкостью. Поэтому с ростом плотности экситонов химпотенциал может увеличиваться вплоть до энергии экситонного уровня

При |mX-eX|<kT Статистика Бозе- Эйнштейна

Спектр излучения

C ростом плотности возбуждения наблюдается сужение линии В пределе mX=eX спектр, который достигается при nX= В спектре излучения ожидается излучения d-функция на энергии экситона, отвечающая излучению конденсата, со слабым фиолетовым хвостом, отвечающим излучению надконденсатных частиц. В эксперименте предел не был достигнут из-за разогрева экситонного газа с ростом плотности возбуждения

T= 2.15 K 1.75 K

50 9. 6 Экситонные поляритоны

9. 6 Экситонные поляритоны

Законы дисперсии прямых экситонов и фотонов пересекаются Если симметрия одинаковая, то термы должны расталкиваться. Величина расталкивания определяется константой экситон-фотонного взаимодействия - W , или частотой Раби. В результате образуются смешанные экситон-фотонные состояния, получившие название – экситонные поляритоны с двумя ветвями нижней (low polariton LP) и верхней (upper polariton, UP) Условие образования поляритонов - частота Раби должна превышать обратное время рассеяния экситонов по импульсу, tX,p-1.

Energy, E

UP

Eex

Ypol(k)=akYX(k)+bkYph(k)

Дисперсия поляритонных мод описывается уравнением где 4pb(0) – сила осциллятора для экситонного перехода k=0 - ? w=0 и w=wex(0)(1+ 4pb/e) 1/2 Одной энергии в кристалле 2 волны с разными к и с разными скоростями распространения – Следует ожидать при импульсном возбуждении – 2 импульса, выходящих из кристалла с задержкой друг относительно друга при стационарном возбуждении – интерференции для интерференции Оба эффекта были наблюдены экспериментально

LP

k

0

51 Квазидвумерный свет

Квазидвумерный свет

Почти параболический закон дисперсии с очень малой эффективной массой (~10-5 m0)

Energy, E

d~l

Плоский микрорезонатор – Квантование света в направлении, перпендикулярном зеркалам Свет распространяется только в плоскости Минимальная энергия света Eph(0)~1/d Кардинальное изменение закона дисперсии света :

k

0

52 Квазидвумерные экситонные поляритоны

Квазидвумерные экситонные поляритоны

LP

UP

Energy, E

W

wavevector, k

Брегговские зеркала

Квантовые ямы

В режиме сильного взаимодействия, реализующегося при энергии экситон-фотонного взаимодействия W, превышающей затухание экситонной tex-1 и фотонной tph-1 мод Экситон-фотонное взаимодействие приводит к образованию двух поляритонных мод с законами дисперсии

Где

0

D – рассогласование экситонной и фотонной мод d=ec(k=0) – ex(k=0)

Upper polariton branch

Photon

exciton

Lower polariton branch

53 LP

LP

Energy, E

wavevector, k

9.5 Экситонные поляритоны в микрорезонаторах (1)? Сильная зависимость эффективной массы от квазиимпульса (2)?Время жизни зависит от вклада фотона в поляритоне, т.е. уменьшается с k. (3) размер поляритона с большим фотонным вкладом ~ мкм (4) В отличие от объемных экситонных поляритонов

т.е. возможность накопления поляритонов на дне зоны. При этом ? т.к. поляритоны ? бозоны эффективность рассеяния на дно зоны растет с увеличением заполнения моды k=0 при достижении заполнения этой моды n(k=0)>1. То есть появляется возможность ? конденсации при очень низкой плотности, т.к. масса очень мала ? реализации нового типа лазера ? «бозера» в системе без инверсии (беспороговый лазер) Ограничения сверху по мощности ? плотность должна быть много меньше aB-2 , чтобы сохранялись экситонные состояния

0

? по экситонному рассеянию рассеянию: d>>1/tX ? энергия экситон-фотонного взаимодействия 1/t растет с температурой ? Пока эксперименты GaAs ? T< 20K, CdTe ? T<80 K, GaN ? 300 K

Lower polariton branch

54 Квазидвумерные экситонные поляритоны

Квазидвумерные экситонные поляритоны

Малая плотность возбуждения – Поляритоны медленно релаксируют по дисперсионной ветке за счет рассеяния на фононах и высвечиваются, не успев добежать до дна зоны

Большая плотность возбуждения – Поляритоны быстро релаксируют на дно зоны за счет поляритон-поляритонного рассеяния и конденсируются в k=0 Рапределение их по энергии DE<<kT

55 Статистика электронов и дырок в полупроводниках
56 Статистика электронов и дырок в полупроводниках
«Статистика электронов и дырок в полупроводниках»
http://900igr.net/prezentacija/fizika/statistika-elektronov-i-dyrok-v-poluprovodnikakh-142665.html
cсылка на страницу
Урок

Физика

134 темы
Слайды
900igr.net > Презентации по физике > Полупроводники > Статистика электронов и дырок в полупроводниках