§ 5. Как находить высоты и биссектрисы треугольника

§ 5. Как находить высоты и биссектрисы треугольника

ПРИМЕР 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8. Найдите

высоту, опущенную на гипотенузу.

ПРИМЕР 2. Дан треугольник со сторонами а, b и b. Найдите высоту, опущенную на сторону, равную Ь.

1 способ

ПРИМЕР 3. Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

«Площадной» подход

x

15-x

2 способ

ПРИМЕР 3. Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

Уравнение на основе теоремы Пифагора

3 способ

4 способ

ПРИМЕР 3. Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

По теореме косинусов + основное тригонометрическое тождество + формула площади по двум сторонам и углу между ними

По теореме косинусов + решение прямоугольного треугольника АВН

Задача 5 из диагностической работы

Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

«Площадной» подход

1 способ

Задача 5 из диагностической работы

Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

2 способ

?ABC- прямоугольный => ?ADC- прямоугольный

CD:DB=AC:AB - свойство биссектрисы треугольника + теорема косинусов

Задача 5 из диагностической работы

Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

3 способ

Задача 5 из диагностической работы

Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

4 способ

5 способ

Метод координат + уравнение прямой

Уравнение прямой ВС по координатам двух точек

Уравнение прямой AD по началу координат и угловому коэффициенту

Задача 5 из диагностической работы

К

Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

6 способ

1. ?ACK- равнобедренный => AK

2. ?CDK~ ?ADB, k=0,5 => AD

Дополнительные построения + подобие треугольников

Пример 4

Стороны треугольника равны а и Ь, а угол между ними равен у. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

Ответ:

10

ПРИМЕР 5. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.

Свойство биссектрисы + теорема косинусов

18

Ответ:

10

ПРИМЕР 5. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.

2 способ по формуле для квадрата биссектрисы. Утверждение. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

18

Утверждение

Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

Ответ:

10

2 способ

ПРИМЕР 5. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.

ВК=12/27 от 18; BK= 8. СК = ВС — ВК = 18 — 8 = 10. По формуле для квадрата биссектрисы треугольника находим, что АК? =АВ·АС-ВК·СК= 12·15-8·10 = 180-80= 100.

18

8 подготовительных задач 5.1. Катет и гипотенуза прямоугольного

треугольника равны 12 и 20 соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла. 5.2. Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если известно, что основание этой высоты делит гипотенузу на отрезки, равные 1 и 4. 5.3. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбивает её на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите эту высоту.

8 подготовительных задач 5.4. Стороны треугольника равны 10,17 и 21

Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла. 5.5. В треугольнике ABC известно, что АВ = а, АС = b, ABAC = 120°. Найдите биссектрису AM. 5.6. Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

8 подготовительных задач 5.7. В треугольнике ABC известно, что АВ = 8,

АС = 6, ?BAC = 60°. Найдите биссектрису AM. 5.8. Найдите высоту трапеции, боковые стороны которой равны 6 и 8, а основания равны 4 и 14.