Аксиомы планиметрии

Аксиомы планометрии

Развитие геометрии

Геометрия зародилась очень давно. Ещё в Древнем Египте были найдены формулы вычисления объёмов и площадей некоторых тел. В образование геометрии, как науки внесли огромный вклад древнегреческие ученые Фалес, Пифагор, Демокрит, Евклид и другие. В сочинении Евклида «Начала» были упорядочены известные в то время сведения о геометрии. В «Началах» был развит аксиоматический, состоящий в том, что сначала строились утверждения (аксиомы) , принимаемые без доказательств, а потом на их основе строились иные утверждения (теоремы). Качественно новая геометрия была создана нашим соотечественником Лобачевским, пытавшимся доказать, как теорему постулат Евклида «О параллельных прямых» от противного и, не получив никаких утверждений, противоречащих данному постулату смог построить геометрию, отличную от Евклидовой. Сообщение открытии было сделано в1826 году.

Две точки

Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.

B

А

A и В принадлежат а

A

Три точки

Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

С

В

А

Точки А, В, С не лежат на прямой а

А

Прямая

Через любые две точки проходит прямая, причём только одна.

В

А

Через точки А и В проходит прямая а.

А

Точка

Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

С

А

В

Точка В лежит на прямой а между точками С и А.

А

Точка O

Любая точка O прямой разделяет её на два луча так, что две точки одного луча находятся по одну сторону от точки O, а любые две точки разных лучей – по разные стороны от точки О.

А1

В1

О

Точка О делит прямую а пополам, точки А и В, А1 и В1 находятся по одни стороны от точки О, а точки А и А1, В и В1 – по разные стороны.

В

А

А

Плоскость

Каждая прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости так, что любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону прямой а, а любые две точки разных полу плоскостей лежат по разные стороны от прямой а.

А

А1

Точки А1 и В1, А и В лежат по одни стороны от прямой а, а точки А и А1, В и В1 – по разные стороны

В1

В

А

Отрезки

Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

С

В

Отрезки АВ и ВС совмещают свои концы, следовательно, совмещаются и сами отрезки.

А

Отрезок

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

А

Отрезок ОА лежит на луче ОА и единственный.

О

Полуплоскость

От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному углу, и притом только один.

Угол ВАС лежит в одной полуплоскости и единственный на луче.

В

А

С

Угол

Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1) так, что луч h совместится с углом h1, а луч k – с лучом k1; 2) так, что луч h совместится с лучом k1, луч k – с лучом h1.

Cпособ № 2:

Cпособ № 1:

k/k1

k/h1

h/h1

O

h/k1

O

Фигура

Любая фигура равна самой себе.

Квадрат А равен самому себе.

A

Фигура Ф

Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф.

Ф =ф1, ф1 = ф.

Ф

Ф1

Если фигура Ф1

Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.

Ф1

Ф1=ф2, ф3 =ф2 => ф1=ф3.

Ф3

Ф2

Длина

При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

А

В

С

D

Отрезков

При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

М

О

А

В

Единственная прямая

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая параллельная данной.

С

А

О

b

Прямая а – единственная прямая, параллельная прямой b.