Геометрические фигуры
<<  Геометрические фигуры в архитектуре 8.2 Геометрические фигуры в пространстве  >>
Аналитическое задание фигур
Аналитическое задание фигур
Выпуклые многоугольники
Выпуклые многоугольники
Пример
Пример
Упражнение 1
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 2
Упражнение 3
Упражнение 3
Упражнение 4
Упражнение 4
Упражнение 5
Упражнение 5
Упражнение 6
Упражнение 6
Упражнение 7
Упражнение 7
Упражнение 8
Упражнение 8
Упражнение 9
Упражнение 9
Упражнение 10
Упражнение 10
Упражнение 11
Упражнение 11
Упражнение 12
Упражнение 12
Упражнение 13
Упражнение 13
Упражнение 14
Упражнение 14
Упражнение 15
Упражнение 15
Упражнение 16
Упражнение 16
Упражнение 17
Упражнение 17
Упражнение 18
Упражнение 18
Упражнение 19
Упражнение 19
Параметрические уравнения
Параметрические уравнения
Окружность
Окружность
Упражнение 1
Упражнение 1
Прямая
Прямая
Упражнение 2
Упражнение 2
Циклоида
Циклоида
Трохоида
Трохоида
Эпициклоиды
Эпициклоиды
Кардиоида
Кардиоида
Эпициклоида (m = 2/3)
Эпициклоида (m = 2/3)
Удлиненная эпициклоида (m = 2/3)
Удлиненная эпициклоида (m = 2/3)
Эпициклоида (m = 2/5)
Эпициклоида (m = 2/5)
Гипоциклоиды
Гипоциклоиды
Астроида
Астроида
Кривая Штейнера
Кривая Штейнера
Гипоциклоида (m = 2/5)
Гипоциклоида (m = 2/5)
Упражнение 1
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 2
Упражнение 3
Упражнение 3
Упражнение 4
Упражнение 4
Упражнение 5
Упражнение 5

Презентация: «Аналитическое задание фигур». Автор: *. Файл: «Аналитическое задание фигур.ppt». Размер zip-архива: 523 КБ.

Аналитическое задание фигур

содержание презентации «Аналитическое задание фигур.ppt»
СлайдТекст
1 Аналитическое задание фигур

Аналитическое задание фигур

Пусть прямая задана уравнением ax + by + c = 0 и проходит через точку A0(x0, y0). Ее вектор нормали имеет координаты (a, b) и определяет полуплоскость. Точка A(x, y) принадлежит этой полуплоскости в случае, если угол между векторами и не превосходит 90°, т.е. в случае, если скалярное произведение этих векторов больше или равно нулю, т.е. ? = a(x-x0)+b(y-y0)?0. Так как -ax0-by0=c, то точка A(x, y) принадлежит этой полуплоскости, если выполняется неравенство ax+by+c?0. Аналогично, точка A(x, y) принадлежит другой полуплоскости, по отношению к данной прямой, если выполняется неравенство ax + by + c 0.

2 Выпуклые многоугольники

Выпуклые многоугольники

Пусть стороны выпуклого многоугольника лежат на прямых, задаваемых уравнениями

a1x + b1y + c1 = 0, .................., anx + bny + cn = 0.

Тогда сам многоугольник является пересечением соответствующих полуплоскостей и, следовательно, для его точек должна выполняться система неравенств вида

Которая и определяет этот многоугольник.

3 Пример

Пример

Например, неравенства которые можно переписать в виде системы определяют единичный квадрат.

Если к этим неравенствам добавить еще одно неравенство то соответствующий многоугольник получается из квадрата отсечением треугольника.

4 Упражнение 1

Упражнение 1

Определите, какой полуплоскости 5x + 3y - 2 0 или 5x + 3y – 2 0 принадлежат точки: а) А(1,0); б) B(0,1); в) C(0,0).

Ответ: а) Первой;

Б) первой;

В) второй.

5 Упражнение 2

Упражнение 2

Найдите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(1, 0), B(0, 1), C(1, 1).

6 Упражнение 3

Упражнение 3

Какую фигуру задает система неравенств

Ответ: Прямоугольник.

7 Упражнение 4

Упражнение 4

Нарисуйте многоугольник, задаваемый неравенствами

8 Упражнение 5

Упражнение 5

Найдите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(1, 0), B(0, 1), C(1, 1).

9 Упражнение 6

Упражнение 6

Нарисуйте фигуру, задаваемую уравнением |x| + |y| = 1.

10 Упражнение 7

Упражнение 7

Докажите, что уравнение 4ay = x2 задает параболу, с фокусом F (0, a) и директрисой d, задаваемой уравнением y = -a.

Докажем, что координаты точки A, удовлетворяют уравнению 4ay = x2 тогда и только тогда, когда эта точка равноудалена от точки F и прямой d. Действительно, квадрат расстояния от точки A до точки F равен x2 +(y – a)2. Квадрат расстояния от точки A до прямой d равен (y + a)2.

Равенство x2 +(y – a)2 = (y + a)2 равносильно равенству 4ay = x2. Следовательно, координаты точки A, удовлетворяют уравнению 4ay = x2 тогда и только тогда, когда эта точка равноудалена от точки F и прямой d.

11 Упражнение 8

Упражнение 8

Для параболы, заданной уравнением y = x2, найдите координаты фокуса и уравнение директрисы.

12 Упражнение 9

Упражнение 9

Найдите фокус и директрису параболы, заданной уравнением y2 = x.

13 Упражнение 10

Упражнение 10

Докажите, что уравнение задает эллипс, с фокусами F1(-c, 0), F2(c, 0), где

14 Упражнение 11

Упражнение 11

Для эллипса, заданного уравнением x2 + y2 = 1, найдите координаты фокусов.

Ответ: F1(0, 1), F2(0, -1).

15 Упражнение 12

Упражнение 12

Докажите, что уравнение задает гиперболу, с фокусами F1(-c, 0), F2(c, 0), где .

16 Упражнение 13

Упражнение 13

Для гиперболы, заданной уравнением x2 - y2 = 1, найдите координаты фокусов.

17 Упражнение 14

Упражнение 14

Расстояние между двумя данными точками A и B плоскости равно 3. Какой фигурой является ГМТ плоскости, расстояние от которых до точки A в два раза больше расстояния до точки B?

18 Упражнение 15

Упражнение 15

Расстояние от данной точки F до данной прямой d равно 3. Какой фигурой является ГМТ плоскости, расстояние от которых до прямой d в два раза больше расстояния до данной точки F?

19 Упражнение 16

Упражнение 16

Расстояние от данной точки F до данной прямой d равно 3. Какой фигурой является ГМТ плоскости, расстояние от которых до прямой d в два раза меньше расстояния до данной точки F?

20 Упражнение 17

Упражнение 17

Лемниската Бернулли представляет собой геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 равно a2, где 2a – расстояние между F1 и F2. Точки F1, F2 называются фокусами лемнискаты. Нарисуйте Лемнискату, фокусы которой расположены в точках с координатами (a, 0), (-a, 0) и найдите ее уравнение,.

21 Упражнение 18

Упражнение 18

Нарисуйте декартов лист - кривую, уравнение которой имеет вид x3 + y3 – 3axy = 0.

22 Упражнение 19

Упражнение 19

Найдите ГМТ, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна и равна c2.

23 Параметрические уравнения

Параметрические уравнения

Рассмотрим вопрос о том как траектория движения точки описывается с помощью уравнений. Поскольку положение точки на плоскости однозначно определяется ее координатами, то для задания движения точки достаточно задать зависимости ее координат x, y от времени t, т.е. задать функции В этом случае для каждого момента времени t мы можем найти положение точки на плоскости. Кривая на плоскости, описываемая точкой, координаты которой удовлетворяют этим уравнениям при изменении параметра t, называется параметрически заданной кривой на плоскости. Сами уравнения называются параметрическими уравнениями.

24 Окружность

Окружность

Окружность радиуса R с центром в начале координат можно рассматривать как параметрически заданную кривую на плоскости с параметрическими уравнениями При изменении параметра t от нуля до 2? точка на окружности делает один оборот против часовой стрелки, начиная и заканчивая в точке с координатами (R, 0). При дальнейшем увеличении параметра t точка будет многократно проходить по окружности в направлении против часовой стрелки.

25 Упражнение 1

Упражнение 1

Напишите параметрические уравнения окружности с центром в точке P(x0, y0) и радиусом R.

26 Прямая

Прямая

Прямая, проходящая через точку A0(x0, y0) и направляющим вектором с координатами (a, b) задается параметрическими уравнениями

27 Упражнение 2

Упражнение 2

Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A1(x1, y1), A2(x2, y2).

28 Циклоида

Циклоида

Найдем параметрические уравнения циклоиды. Предположим, что окружность повернулась на некоторый угол величины t. При этом точка касания O на окружности переместится в точку А. Поскольку дуга АР окружности при этом прокатилась по отрезку OР, то их длины равны, т.е. АР = OР = Rt.

29 Трохоида

Трохоида

Трохоида – траектория движения точки, закрепленной на радиусе окружности, или его продолжении, когда эта окружность катится по прямой.

Так же как и в случае с циклоидой, показывается, что параметрическими уравнениями трохоиды являются где d – расстояние от точки до центра окружности. Если d <R, то кривая называется укороченной циклоидой. Если d >R, то кривая называется удлиненной циклоидой.

30 Эпициклоиды

Эпициклоиды

Пусть центр O неподвижной окружности является началом координат и точка A(R, 0) соответствует начальному моменту времени. Предположим, что катящаяся с внешней стороны окружность повернулась на угол, равный t. При этом точка A переместилась в точку A1(x,y). Обозначим отношение через m. Из равенства длин дуг AB и A1B следует, что угол AOB равен mt.

31 Кардиоида

Кардиоида

В частности, если m = 1, параметрические уравнения кардиоиды имеют вид

32 Эпициклоида (m = 2/3)

Эпициклоида (m = 2/3)

Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид

33 Удлиненная эпициклоида (m = 2/3)

Удлиненная эпициклоида (m = 2/3)

Параметрические уравнения удлиненной эпициклоиды имеют вид

34 Эпициклоида (m = 2/5)

Эпициклоида (m = 2/5)

Параметрические уравнения эпициклоиды имеют вид

35 Гипоциклоиды

Гипоциклоиды

Так же как и для эпициклоиды показывается, что уравнения гипоциклоиды имеют вид

36 Астроида

Астроида

В частности, параметрические уравнения астроиды (m=1/4), имеют вид

37 Кривая Штейнера

Кривая Штейнера

Параметрические уравнения кривой Штейнера (m=1/3), имеют вид

38 Гипоциклоида (m = 2/5)

Гипоциклоида (m = 2/5)

Параметрические уравнения гипоциклоиды (m=2/5), имеют вид

39 Упражнение 1

Упражнение 1

Найдите параметрические уравнения окружности с центром в точке O(x0, y0) и радиусом R.

40 Упражнение 2

Упражнение 2

Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A0(x0, y0) и с направляющим вектором

41 Упражнение 3

Упражнение 3

Какую кривую задают параметрические уравнения ?

Ответ. Парабола.

42 Упражнение 4

Упражнение 4

Какую кривую задают параметрические уравнения ?

Ответ. Эллипс.

43 Упражнение 5

Упражнение 5

Изобразите кривую, которую задают параметрические уравнения

«Аналитическое задание фигур»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/analiticheskoe-zadanie-figur-173258.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды