Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем

Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем

На сайте www.etudes.ru представлен математический этюд «Увеличение объема выпуклых многогранников», в котором рассматривается вопрос: «Можно ли деформировать правильный тетраэдр так, чтобы его объем увеличился?».

Оказывается можно. Здесь мы дополним его соответствующими вычислениями и покажем, что можно еще чуть-чуть увеличить объем тетраэдра по сравнению с тем, что предлагается в этюде.

Сначала рассмотрим способ деформации тетраэдра, о котором рассказано в

этюде, предложенный Д. Бликером (David D. Bleecker. Volume increasing isometric deformations of convex polyhedra // Journal Differential Geometry. - 1996. - V. 43. - P. 505-526. ). Для этого на гранях тетраэдра нарисуем дополнительные линии, как показано на рисунке.

Здесь A’, B’, C’ – середины соответствующих сторон грани ABD тетраэдра ABCD, A1A’, B1B’, C1C’ равные перпендикуляры к этим сторонам, A1B1C1 – правильный треугольник, стороны которого равны удвоенным перпендикулярам.

Наша задача состоит в том, чтобы найти объем этого невыпуклого

многогранника.

Аналогичные линии проведем на остальных гранях тетраэдра. На рисунке изображены такие линии на двух соседних гранях ABD и BCD тетраэдра.

Продавим середины ребер тетраэдра внутрь так, чтобы нарисованные линии стали ребрами нового многогранника, а половины ребер тетраэдра лежали на его гранях. Получим невыпуклый многогранник, составленный из четырех правильных шестиугольных пирамид и многогранника, гранями которого являются четыре правильных шестиугольника – основания этих пирамид и четыре правильных треугольника, лежащие на гранях исходного тетраэдра.

Пусть исходный тетраэдр – единичный

Напомним, что объем единичного тетраэдра равен

Обозначим x длину отрезка A’A1 . Тогда длина отрезка A1B1 равна 2x. Заметим, что радиус окружности, описанной около треугольника A1B1C1, равен , а его сумма с отрезком A’A1 равна радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC, т.е. равна . Таким образом, имеем уравнение , решая которое, находим . Следовательно, сторона a основания правильной шестиугольной пирамиды равна .

Пусть O – центр основания пирамиды

Отрезок OA’ является радиусом окружности, вписанной в основание пирамиды, его длина равна

По теореме Пифагора находим DO – высоту h правильной шестиугольной пирамиды,

Для нахождения объема этой пирамиды заметим, что отрезок DA’ является высотой грани пирамиды и его длина равна 0,5.

Напомним, что объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h вычисляется по формуле Подставляя в эту формулу значения a и h, получим значение V1 объема правильной шестиугольной пирамиды .

Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре

правильных шестиугольника и четыре правильных треугольника. Он получается из правильного тетраэдра с ребром 3a отсечением от вершин правильных тетраэдров с ребром a. Следовательно, его объем V2 выражается формулой

Объем V невыпуклого многогранника равен 4V1 + V2. Таким образом, имеем

Подставляя в формулу объема значения a и h, получим

Для приближенного вычисления этого объема воспользуемся компьютерной программой “Maple”. Получим V = 0,162298…. Его отношение к объему единичного тетраэдра приближенно равно 1,377142… . Именно во столько раз увеличился объем тетраэдра при его деформации.

Выясним, можно ли деформировать тетраэдр так, чтобы получился

многогранник с еще большим объемом. Для этого, как и раньше, обозначим x длину отрезка A’A1, но не будем предполагать, что длина отрезка A1B1 равна 2x, а проведем вычисления его длины в общем случае.

А именно, обозначим b длину отрезка A1B1. Заметим, что радиус окружности, описанной около треугольника A1B1C1, равен , а его сумма с отрезком A’A1 равна радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC, т.е. равна . Таким образом, имеем равенство , выражая из которого b, получим .

При соответствующей деформации тетраэдра получается невыпуклый

многогранник, состоящий из шестиугольных пирамид и многогранника, гранями которого являются четыре основания этих пирамид и четыре правильных треугольника. Однако основания шестиугольных пирамид в общем случае не являются правильными шестиугольниками. Это будут шестиугольники, у которых три стороны равны b, три стороны равны a=2x и углы равны 120о.

Площадь S такого шестиугольника выражается формулой

Для нахождения объема этой пирамиды заметим, что отрезок DA’ равен 0,5 и является высотой ее грани.

Длина отрезка OA’ выражается формулой

Высота h пирамиды выражается формулой

Объем V1 выражается формулой

Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре

правильных шестиугольника и четыре правильных треугольника. Он получается из правильного тетраэдра с ребром b+2a отсечением от вершин правильных тетраэдров с ребром b. Следовательно, его объем V2 выражается формулой

Объем V невыпуклого многогранника равен 4V1 + V2. Подставляя вместо b, S и h их выражения через a, получим, что объем V искомого многогранника является функцией от a, где a изменяется от нуля до .

С помощью компьютерной программы “Maple” можно построить график этой

функции и найти ее наибольшее значение. Оно приближенно равно 0,1623025232 и принимается при a = 0,2708396361.

Отношение этого объема к объему исходного тетраэдра приближенно равно 1,377182577. Это немного больше, чем в случае, рассмотренном в математическом этюде об увеличении объема выпуклых многогранников.

Попробуйте самостоятельно выяснить, увеличивается ли объем тетраэдра,

если продавить только одно его ребро.

Попробуйте самостоятельно провести деформации и вычисления объема для

единичного куба.