Окружность
<<  Единичная окружность в тригонометрии Метод вспомогательной окружности  >>
Две окружности
Две окружности
Две окружности
Две окружности
Теорема 1
Теорема 1
Теорема 1’
Теорема 1’
Теорема 2
Теорема 2
Теорема 2’
Теорема 2’
Теорема 3
Теорема 3
Вопрос 1
Вопрос 1
Вопрос 2
Вопрос 2
Вопрос 3
Вопрос 3
Вопрос 4
Вопрос 4
Вопрос 5
Вопрос 5
Вопрос 6
Вопрос 6
Вопрос 7
Вопрос 7
Упражнение 1
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 2
Упражнение 3
Упражнение 3
Упражнение 4
Упражнение 4
Упражнение 5
Упражнение 5
Упражнение 6
Упражнение 6
Упражнение 7
Упражнение 7
Упражнение 8
Упражнение 8
Упражнение 9
Упражнение 9
Упражнение 10
Упражнение 10
Упражнение 11
Упражнение 11
Упражнение 12
Упражнение 12
Упражнение 13
Упражнение 13
Упражнение 14
Упражнение 14
Упражнение 15
Упражнение 15
Упражнение 16
Упражнение 16
Упражнение 17
Упражнение 17
Упражнение 18
Упражнение 18
Упражнение 19
Упражнение 19
Упражнение 20
Упражнение 20

Презентация: «Две окружности». Автор: *. Файл: «Две окружности.ppt». Размер zip-архива: 370 КБ.

Две окружности

содержание презентации «Две окружности.ppt»
СлайдТекст
1 Две окружности

Две окружности

Две окружности могут:

2 Две окружности

Две окружности

Две окружности называются концентрическими, если они имеют общий центр.

3 Теорема 1

Теорема 1

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности не имеют общих точек.

Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, O1O2 > R1 + R2. Рассмотрим точку С на первой окружности, О1С = R1. Тогда O2C > O1O2 - O1C > R1 + R2 - R1 = R2 и, следовательно, точка С не принадлежит второй окружности. Значит, эти окружности не имеют общих точек.

4 Теорема 1’

Теорема 1’

Если расстояние между центрами двух окружностей меньше разности их радиусов, то эти окружности не имеют общих точек.

Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2 (R1 > R2), O1O2 < R1 – R2. Рассмотрим точку С на первой окружности, О1С = R1. Тогда O2C > O1C – O1O2 > R1 – (R1 – R2) = R2 и, следовательно, точка С не принадлежит второй окружности. Значит, эти окружности не имеют общих точек. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 < R1- R2, то окружности также не имеют общих точек.

5 Теорема 2

Теорема 2

Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются.

Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, O1O2 = R1+R2. Рассмотрим точку С на отрезке О1О2, для которой О1С = R1, O2C = R2. Она будет общей точкой для данных окружностей. Если D – точка на первой окружности, отличная от С, то из неравенства треугольника следует, что О2D > O1O2 - O1D = R1 + R2 - R1 = R2. Следовательно, точка D не принадлежит второй окружности. Значит, данные окружности имеют только одну общую точку, т.е. касаются.

6 Теорема 2’

Теорема 2’

Если расстояние между центрами двух окружностей равно разности их радиусов, то эти окружности касаются.

Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, O1O2 = R1 – R2. Рассмотрим точку С на отрезке О1О2, для которой О1С = R1, O2C = R2. Она будет общей точкой для данных окружностей. Если D – точка на первой окружности, отличная от С, то из неравенства треугольника следует, что О2D > O1D – O1O2 = R1 – (R1 – R2) = R2. Следовательно, точка D не принадлежит второй окружности. Значит, данные окружности имеют только одну общую точку, т.е. касаются.

7 Теорема 3

Теорема 3

Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей, то эти окружности пересекаются.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии.

8 Вопрос 1

Вопрос 1

Сколько общих точек могут иметь две окружности?

Ответ: Ни одной, одну или две.

9 Вопрос 2

Вопрос 2

Какие две окружности называются касающимися?

Ответ: Две окружности называются касающимися, если они имеют только одну общую точку.

10 Вопрос 3

Вопрос 3

Какие две окружности называются пересекающимися?

Ответ: Две окружности называются пересекающимися, если они имеют две общие точки.

11 Вопрос 4

Вопрос 4

Какие окружности называются концентрическими?

Ответ: Окружности называются концентрическими, если они имеют общий центр.

12 Вопрос 5

Вопрос 5

В каком случае две окружности не имеют общих точек?

Ответ: Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов или меньше их разности.

13 Вопрос 6

Вопрос 6

В каком случае две окружности касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом?

Ответ: а) Если расстояние между их центрами равно сумме радиусов;

Б) если расстояние между их центрами равно разности радиусов.

14 Вопрос 7

Вопрос 7

В каком случае две окружности пересекаются?

Ответ: Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей.

15 Упражнение 1

Упражнение 1

Дана окружность радиуса 3 см и точка А на расстоянии, равном 5 см, от центра окружности. Найдите радиус окружности, касающейся данной и имеющей центр в точке А.

16 Упражнение 2

Упражнение 2

Расстояние между центрами двух окружностей равно 5 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 2 см и 3 см; б) 2 см и 2 см?

Ответ: а) Касаются;

Б) не имеют общих точек.

17 Упражнение 3

Упражнение 3

Расстояние между центрами двух окружностей равно 2 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 3 см и 5 см; б) 2 см и 5 см?

Ответ: а) Касаются;

Б) не имеют общих точек.

18 Упражнение 4

Упражнение 4

Чему равно расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 4 см и 6 см, если окружности: а) касаются внешне; б) касаются внутренне?

Ответ: а) 10 см;

Б) 4 см.

19 Упражнение 5

Упражнение 5

Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 3:7. Найдите диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна 24 см.

Ответ: 36 см и 84 см.

20 Упражнение 6

Упражнение 6

Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей относятся как 2:3. Найдите диаметры окружностей, если расстояние между их центрами равно 10 см.

Ответ: 8 см и 12 см.

21 Упражнение 7

Упражнение 7

Две окружности касаются внутренним образом. Найдите радиусы этих окружностей, если они относятся как 5:2, а расстояние между центрами равно 15 см.

Ответ: 25 см и 10 см.

22 Упражнение 8

Упражнение 8

Земля и Марс обращаются вокруг Солнца по круговым (почти) орбитам радиусов 150 и 228 миллионов километров с разными угловыми скоростями. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния между Землей и Марсом.

Ответ: 378 и 78 миллионов км.

23 Упражнение 9

Упражнение 9

Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наименьшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.

24 Упражнение 10

Упражнение 10

Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наибольшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.

25 Упражнение 11

Упражнение 11

Расстояние между центрами двух окружностей равно d и меньше разности R1 – R2 их радиусов. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Ответ: R1 – R2 – d; R1 + R2 + d.

26 Упражнение 12

Упражнение 12

Могут ли попарно касаться друг друга: а) три окружности; б) четыре окружности; в) пять окружностей?

27 Упражнение 13

Упражнение 13

Могут ли попарно касаться друг друга четыре окружности одинакового радиуса?

Ответ: Нет.

28 Упражнение 14

Упражнение 14

Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь а) две окружности; б) три окружности; в) четыре окружности?

Ответ: а) 2;

Б) 6;

29 Упражнение 15

Упражнение 15

На какое наибольшее число частей могут делить плоскость: а) одна окружность; б) две окружности; в) три окружности?

Ответ: а) 2;

Б) 4;

30 Упражнение 16

Упражнение 16

В) 3;

Г) 4.

Две окружности с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2 разбили плоскость на четыре области. Какой области принадлежит точка A, для которой выполняются неравенства: а) AO1 < R1 и AO2 < R2; б) AO1 < R1 и AO2 > R2; в) AO1 > R1 и AO2 < R2; г) AO1 > R1 и AO2 > R2.

Ответ: а) 1;

Б) 2;

31 Упражнение 17

Упражнение 17

Ответ: а) AO1 < R1, AO2 < R2, AO3 < R3;

Б) AO1 < R1, AO2 < R2, AO3 > R3;

В) AO1 > R1, AO2 > R2, AO3 < R3;

Г) AO1 > R1, AO2 > R2, AO3 > R3.

Три окружности разбили плоскость на восемь областей. Напишите неравенства, которым удовлетворяет точка A, принадлежащая области: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

32 Упражнение 18

Упражнение 18

На рисунке изображена фигура, называемая кольцом. Сформулируйте определение этой фигуры.

Ответ: Кольцом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее одного данного расстояния и большее или равное другого данного расстояния.

33 Упражнение 19

Упражнение 19

Хорда AB большей окружности кольца пересекает его меньшую окружность в точках C, D. Докажите, что отрезки AC и BD равны.

34 Упражнение 20

Упражнение 20

Хорда AB большей окружности кольца касается его меньшей окружности в точке C. Докажите, что отрезки AC и BС равны.

«Две окружности»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/dve-okruzhnosti-67098.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды