История геометрии
<<  Евклид V постулат Евклида  >>
”Евклид
”Евклид
Цели и задачи урока
Цели и задачи урока
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные отношения и
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные отношения и
Николай Иванович Лобачевский (20
Николай Иванович Лобачевский (20
5 Постулатов
5 Постулатов
7
7
Доказательство 5 постулата
Доказательство 5 постулата
1.Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. Тогда будем поворачивать
1.Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. Тогда будем поворачивать
10
10
Сумма углов треугольника В геометрии Евклида:
Сумма углов треугольника В геометрии Евклида:
Сумма углов треугольника В геометрии Лобачевского:
Сумма углов треугольника В геометрии Лобачевского:
Геометрия Лобачевского
Геометрия Лобачевского
Виды пучков прямых
Виды пучков прямых
Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые
Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые
Если последовательно соединить данные точки
Если последовательно соединить данные точки
Сегодня различают три основные модели геометрии Лобачевского:
Сегодня различают три основные модели геометрии Лобачевского:
Модель Пуанкаре
Модель Пуанкаре
Неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями,
Неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями,
Модель Клейна
Модель Клейна
Бутылка Клейна
Бутылка Клейна
Модель Бельтрами
Модель Бельтрами
Применение геометрии Лобачевского в реальном мире
Применение геометрии Лобачевского в реальном мире
Вывод
Вывод

Презентация: «”Евклид». Автор: Туркин георгий. Файл: «”Евклид.ppt». Размер zip-архива: 1402 КБ.

”Евклид

содержание презентации «”Евклид.ppt»
СлайдТекст
1 ”Евклид

”Евклид

Лобачевский. Две геометрии- один мир!”

Государственное общеобразовательное учреждение г. Москвы Центр образования №1296

1

2 Цели и задачи урока

Цели и задачи урока

1. Рассмотреть постулаты Евклида 2. Изучить аксиомы геометрии Лобачевского 3. Сделать сравнительный анализ двух геометрий 4.Рассмотреть основные принципы построения геометрии Лобачевского. 5.Доказать, что Евклидова геометрия является составной частью геометрии Лобачевского.

2

3 Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные отношения и

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные отношения и

еометрия — раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения.

Разделы геометрии:

Классическая

Начертательная

Аналитическая

Фрактальная

Дифференциальная

4

4 Николай Иванович Лобачевский (20

Николай Иванович Лобачевский (20

11.1792-12.02.1856)

1826 - доклад о новой «Воображаемой геометрии» 1829 – 1830 - первое сочинение «О началах геометрии» 1835 - "Воображаемая геометрия" 1836 - "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам" 1835-1838 - "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных" 1840 - "Геометрические исследования по теории параллельных" 1855 - «Пангеометрия»

5

5 5 Постулатов

5 Постулатов

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2.Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой

6

Через две точки можно провести одну и только одну прямую. Прямая продолжается бесконечно. Из любого центра можно провести окружность любым радиусом. Все прямые углы равны между собой.

6 7

7

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную.

Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°)

7 Доказательство 5 постулата

Доказательство 5 постулата

Н.И.Лобачевский пытался рассуждать о доказательстве 5 постулата по методу от противного. Допустив, что пятый постулат Евклида не верен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Тем самым он и будет доказан.

Проведем доказательство: Допустим, что пятый постулат не верен: через точку А, не принадлежащую прямой в , можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с прямой в.

8

8 1.Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. Тогда будем поворачивать

1.Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. Тогда будем поворачивать

прямую а' по часовой стрелке. В конечном итоге найдется такая прямая с', которая является предельным положением, до которого прямые не пересекают прямую b. 2.Отложим прямую с", симметричную с' относительно перпендикуляра АР, опущенного на b. Все будет аналогично. 3.Лобачевский называет эти прямые параллельными прямой b, причем с' параллельна прямой b вправо. 4.Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b, именуются расходящимися с прямой b.

9

9 10

10

Далее Н.И.Лобачевский доказал, что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга.

10 Сумма углов треугольника В геометрии Евклида:

Сумма углов треугольника В геометрии Евклида:

Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.

11

11 Сумма углов треугольника В геометрии Лобачевского:

Сумма углов треугольника В геометрии Лобачевского:

Так на шаре выглядит треугольник АВС образованный красной, синей и зелёной прямыми

N

Возьмём треугольник с точками NLK, где N - Северный полюс, L - пересечение экватора и нулевого меридиана и K - пересечение экватора с меридианом в 90 градусов. Тогда мы получим треугольник, все углы которого равны 90 градусам, то есть треугольник, сумма внутренних углов которого равна 270 градусам.

L

K

12

12 Геометрия Лобачевского

Геометрия Лобачевского

Основными объектами на плоскости Лобачевского являются пучки прямых.

На плоскости Лобачевского различают три типа расположения прямых:

Параллельные

Пересекающиеся

Расходящиеся

13

13 Виды пучков прямых

Виды пучков прямых

Первый вид пучков образован прямыми, имеющими общую точку – центр пучка

Второй вид пучков - перпендикуляры к одной прямой – оси пучка

Третий вид пучков - пучок, образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении

14

Два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, в отличие от геометрии Евклида.

14 Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые

Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые

15

15 Если последовательно соединить данные точки

Если последовательно соединить данные точки

..

В первом случае мы получим окружность:

Во втором – линию равных расстояний:

В третьем – предельную линию :

16

16 Сегодня различают три основные модели геометрии Лобачевского:

Сегодня различают три основные модели геометрии Лобачевского:

Модель Пуанкаре

Модель Клейна

Модель Бельтрами

17

17 Модель Пуанкаре

Модель Пуанкаре

Абсолюта

18

18 Неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями,

Неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями,

а также между окружностью и пересекающей ее прямой. В соответствии с определением, угол между пересекающимися окружностями - это угол между касательными к ним прямыми, проведенными в точке пересечения, а угол между окружностью и пересекающей ее прямой – это угол между касательной к окружности в точке пересечения и прямой.

Таким образом величины неевклидовых углов определяются через величины соответствующих евклидовых углов.

19

19 Модель Клейна

Модель Клейна

20

20 Бутылка Клейна

Бутылка Клейна

В 1882г немецкий математик Феликс Христиан Клейн создал модель плоскости Лобачевского под названием бутылка Клейна

21

Интересный факт:

Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fl?che (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

В отличие от обыкновенной бутылки у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

21 Модель Бельтрами

Модель Бельтрами

Псевдосфера

Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии»

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии трактрисы вокруг ее оси.

На псевдосфере (плоскости отрицательной кривизны) сумма углов треугольника будет меньше 180 градусов

22

22 Применение геометрии Лобачевского в реальном мире

Применение геометрии Лобачевского в реальном мире

Геометрия Евклида является частным случаем геометрии Лобачевского. Наш мир – не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы? Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами – и ошибки достигали 1/6.

25

23 Вывод

Вывод

Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.

26

«”Евклид»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/evklid-123269.html
cсылка на страницу

История геометрии

22 презентации об истории геометрии
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды