Презентация на тему «Формулы тригонометрических функций»

Тригонометрические формулы и приемы их запоминания

Учитель математики: Слаткова О.М Первый Темиртауский Классический Лицей

Познакомить учащихся с мнемоническими правилами

Цель урока:

Познакомить учащихся с мнемоническими правилами для запоминания формул приведения и значений тригонометрических функций некоторых углов; способствовать развитию логического мышления и устной математической речи при поиске решения поставленной проблемы; воспитывать внимательность, наблюдательность и самостоятельность

Входное тестирование:

1. Укажите значение выражения sin 60? A) ; B) ; С) 1; D) 0. Ответ: В

Упростите выражение

Входное тестирование:

2. Упростите выражение cos A) cos ? ; B) cos ; C) sin ? ; D) tg ? . Ответ: С

Значение выражения

Входное тестирование:

3. Найдите значение выражения сos 157? cos 97? + sin 157? sin 97? A) ; B) 0; C) 1; D) . Ответ: А

Выражение

Входное тестирование:

4. Упростите выражение 2 sin 65? cos 65? A) cos130?; B) cos 50?; C) sin 50? ; D) tg 65? . Ответ: С

Представьте в виде произведения

Входное тестирование:

5. Представьте в виде произведения cos 80? - cos 40? А) - sin 20? ; B) cos 20?; C) - sin 20? ; D) - cos20?. Ответ: С

Притча

Притча о трех дамах:

?

sin

Пошли три дамы гулять. Первая дама, вторая дама и третья дама.

30?

45?

60?

1

2

3

cos

Притча о трех дамах:

?

sin

И неожиданно пошел дождь. Все дамы открыли зонтики, и одели по паре калош.

30?

45?

60?

cos

Прогулка

Притча о трех дамах:

?

sin

Прогулка была закончена. Первая дама, вторая дама и третья дама пошли домой.

30?

45?

60?

cos

Значения синуса и косинуса

Значения синуса и косинуса для углов в 30?, 45? и 60?

?

sin

30?

45?

60?

cos

Котангенс

А котангенс взаимно обратная функция для тангенса.

Чтобы указать значения тангенса и котангенса тех же углов достаточно вспомнить ОТТ, т.е tg ? = ,

Формулы приведения:

-Жил рассеянный математик, и каждый раз преобразовывая тригонометрические функции углов вида , , , , он спрашивал у своей лошади, жующей за окном сено, надо менять функцию на «кофункцию» или нет. А лошадь кивала головой по той оси, которой принадлежала точка , или , , соответствую - щая первому слагаемому аргумента.

У

Х

Знак

Формулы приведения:

Математику оставалось лишь записывать ответ, указывая знак данной функции. Например, cos = sin ?; sin = sin ?; сtg = -tg ?; tg = tg ?.

Знаки тригонометрических функций:

sin ?

cos ?

Tg ? и сtg ?

У

У

У

+

+

-

-

+

+

Х

Х

Х

-

-

-

+

-

+

Формулы сложения:

Формулы сложения – это та, группа формул которую нужно знать наизусть. Но для их запоминания можно тоже воспользоваться ассоциативным приемом. У косинуса функции одноименные: cos ( ? ­ ? ) = cos ? cos ? + sin ? sin ?; cos ( ? + ? ) = cos ? cos ? - sin ? sin ?; а у синуса разноименные: sin (? + ?) = sin ? cos ? + cos ? sin ?; sin (? - ?) = sin ? cos ? - cos ? sin ?. Не все в нашей жизни бывает «гладко» за белой полосой идет черная, и наоборот. Так и у наших функций, если функции идут одноименные, то знаки не совпадают, а если разноименные, то совпадают.

Числитель и знаменатель

Формулы сложения:

Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить ОТТ и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos ? cos ?, где cos ? ? 0 и cos ? ? 0. tg (? + ?) = ; tg (? - ?) = Например, сos 97? cos 67? + sin 97? sin 67? = сos (97?- 67?) = = сos 30? =… ; sin 25? сos 20? + cos 25? sin 20? = sin (25? + 20?)= = sin 45? =… .

Формулы двойного угла:

Чтобы получить тригонометрические формулы двойного аргумента достаточно в формулах сложения ? заменить на ?. Например, cos 2? = cos (? +?)= cos ? cos ? - sin ? sin? = = cos?? - sin??; sin 2? = sin (? + ?) = sin ? cos ? + sin ? cos ? = =2sin ? cos ? tg2? = tg (? + ? ) = Поэтому, 2 sin 65? cos 65? = sin (2? 65?) = =sin130? = sin (180? - 50?) = sin 50?

Формулы суммы и разности

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

cos (? ­ ?)=cos ? cos ? + sin ? sin ?; cos (? + ?)=cos ? cos ? - sin ? sin ?; cos(?­?)+ cos (? + ?)= 2 cos ? cos ? Пусть ? ­ ? = х, а ? + ? = у, тогда: ? = (х+у) и ? = (х-у). Следовательно, cos х + cos у = 2 cos (х+у) cos (х-у).

+

Части равенства

Если обе части равенства cos(?­?)+ cos (? + ?)=2 cos ? cos ? : 2, получим формулу, позволяющую представлять произведение косинусов двух углов в виде суммы: cos ? cos ? = (cos (? ­ ?) + cos (? + ?)). Чем нужно воспользоваться, что бы получить формулу, позволяющую представлять произведение синусов двух углов в виде суммы?

Итоговое тестирование:

1. Укажите значение выражения cos 60? A) ; B) 1; C) ; D) 0. 2. Упростите выражение cos А) cos ? ; B) sin ? ; C) - cos ? ; D) - sin ? . 3. Найдите значение выражения sin 57? cos 27? + сos 57? sin 27? A) ; B) 1; C) 0 ; D) . 4. Упростите выражение 2 sin 75? cos 75? A) 0; B) 1; C) ; D) . 5.Представьте в виде произведения sin 80? + sin 40? A) sin 20?;B) - cos 20?;C) cos20?; D) - sin 20? .

Экзамены

Итоговое тестирование:

Ответы: B, C, A, D, C. Желаю сдать экзамены на «отлично»!!!