Параллелепипед
<<  Задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда Параллелепипед его свойства 9 класс  >>
Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно
Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно
Имеются три модели (варианта определения) Q1
Имеются три модели (варианта определения) Q1
Счетное число попарно перпендикулярных базисных векторов
Счетное число попарно перпендикулярных базисных векторов
Гильбертов куб Q содержит все конечномерные кубы [0; 1], [0; 1] х [0;
Гильбертов куб Q содержит все конечномерные кубы [0; 1], [0; 1] х [0;
Ф1
Ф1
Ф3
Ф3
Док-во
Док-во
2) Чтобы найти - вторую координату нужного предела применим Б-В к
2) Чтобы найти - вторую координату нужного предела применим Б-В к
Ф 5. Декартово произведение счетного числа метрических компактов –
Ф 5. Декартово произведение счетного числа метрических компактов –
Док-во теоремы об универсальности
Док-во теоремы об универсальности
У гильбертова куба есть свойства похожие на свойства конечномерных
У гильбертова куба есть свойства похожие на свойства конечномерных
Гомеоморфизм пространства на себя – автогомеоморфизм
Гомеоморфизм пространства на себя – автогомеоморфизм
Mix Если Х – бесконечный компакт, то множество Р(Х) всех вероятностный
Mix Если Х – бесконечный компакт, то множество Р(Х) всех вероятностный
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание

Презентация на тему: «Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно универсальный объект в классе метрических компактов». Автор: kir. Файл: «Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно универсальный объект в классе метрических компактов.ppt». Размер zip-архива: 200 КБ.

Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно универсальный объект в классе метрических компактов

содержание презентации «Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно универсальный объект в классе метрических компактов.ppt»
СлайдТекст
1 Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно

Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно

универсальный объект в классе метрических компактов.

Дубна, 22 июля 2015

П. В. Семенов, .

2 Имеются три модели (варианта определения) Q1

Имеются три модели (варианта определения) Q1

Множество всех последовательностей чисел из отрезка [0; 1] (иногда [-1; 1]). Расстояние: Q2. Подмножество гильбертова пространства (квадратично суммируемых последовательностей), состоящее из тех векторов, у которых n-я координата принадлежит отрезку [0;1/n]. Расстояние (евклидово): Q3. Декартово произведение [0; 1] х [0; 1] х [0; 1] х… с (тихоновской) топологией.

Гильбертов куб -1

3 Счетное число попарно перпендикулярных базисных векторов

Счетное число попарно перпендикулярных базисных векторов

Длина (=расстояние до (0,0,0,…)) первого = 1, длина второго = ?, третьего = ?, …..

Гильбертов куб -2

4 Гильбертов куб Q содержит все конечномерные кубы [0; 1], [0; 1] х [0;

Гильбертов куб Q содержит все конечномерные кубы [0; 1], [0; 1] х [0;

1], [0; 1] х [0; 1] х [0; 1], … и значит содержит (гомотетичные) копии всех компактов, лежащих на прямой, на плоскости, в пространстве,… Оказывается, что гильбертов куб Q содержит (гомеоморфные) копии вообще всех метрических компактов. Теорема. Для любого метрического компакта Х найдется подкомпакт и гомеоморфизм (=непрерывная в обе стороны биекция) Ответ: нет, но да для компактного Х, тогда к тому же Y = h(X) будет компактом.

Гильбертов куб -3

5 Ф1

Ф1

(Топология поточечной сходимости.) Док-во. Ф2. У Q – континуум «вершин». Точнее, множество вершин биективно (и гомеоморфно) КМ К. Док-во. Множество «вершин» – это множество всех последовательностей из 0 и 1. Биективность очевидна, а непрерывность – из-за поточечной сходимости. ! В любой окрестности любой вершины есть еще вершины 101111…, 100111…., 10001111…., ….. 10000….

Гильбертов куб -4

6 Ф3

Ф3

Множество всех граней всюду плотно в Q (в любой окрестности любой точки есть точки из граней). Док-во. Множество всех последовательностей чисел из (0; 1) – псевдовнутренность P гильбертова куба Q. Ф4. Q – компакт (Б-В: в любой последовательности есть сход. под-ть) Док-во. В модели Q3 – теорема Тихонова. В модели Q2 – полнота гильбертова пространства + замкнутость Q + наличие конечных сетей.

Гильбертов куб -5

7 Док-во

Док-во

В модели Q1 – через Б-В для отрезка. 1) Чтобы найти - первую координату нужного предела применим Б-В к последовательности первых координат а в качестве первого члена сход.подп-ти возьмем ; Все остальные точки будут выбираться из мест и сходимость первых координат сохранится

Гильбертов куб -6

8 2) Чтобы найти - вторую координату нужного предела применим Б-В к

2) Чтобы найти - вторую координату нужного предела применим Б-В к

последовательности вторых координат точек подпоследовательности, выбранной на шаге 1) а в качестве второго члена сход.подп-ти возьмем ; при этом в первых координатах мы «перешли» к под-ти, от чего сходимость к сохранится. 3) Далее аналогично, и т.д. Получим точку и подп-ть которая сходится к поточечно и, значит, сходится в Q.

Гильбертов куб -7

9 Ф 5. Декартово произведение счетного числа метрических компактов –

Ф 5. Декартово произведение счетного числа метрических компактов –

метрический компакт. Док-во. Уже. Ф 6. Q – непрерывный образ К. Док-во. Множество натуральных индексов 1,2,3,4,… разобьем на попарно непересекающиеся бесконечные подмножества. Каждая точка из К, т.е. последовательность из 0 и 2 задаст тогда счетное число последовательностей из 0 и 2, т.е. последовательность элементов из К. Это биекция и непрерывность проверяется. Значит,

Гильбертов куб -8

10 Док-во теоремы об универсальности

Док-во теоремы об универсальности

Сначала повторим то, что было в «КМ» Для любого в метрическом компакте есть конечная сеть. Строим конечные сети для . Выписываем поочередно все сети друг за другом. Получаем последовательность плотную в X. Можно считать, что всегда Отображение определяем равенством Если , то есть точка , которая к х ближе, чем к y. Тогда n-е координаты h(x) и h(y) – разные, т.е. h- иньекция. Если , то . Покоординатная непр-ть: . Значит, h – непрерывно и - компакт. Поэтому и непрерывно.

Гильбертов куб -9

11 У гильбертова куба есть свойства похожие на свойства конечномерных

У гильбертова куба есть свойства похожие на свойства конечномерных

кубов, но есть и совсем не похожие. Например, все выпуклые компакты на прямой – отрезки, все выпуклые компакты на плоскости (в пространстве,…) гомеоморфны квадрату (трехмерному кубу,….) Теорема Келлера (1931) Любой бесконечномерный выпуклый компакт в гильбертовом пространстве гомеоморфен Q. Факт удивительный и сложный: нет никакой «почти гомотетии» так как нет внутренних точек

Гильбертов куб -10

12 Гомеоморфизм пространства на себя – автогомеоморфизм

Гомеоморфизм пространства на себя – автогомеоморфизм

При автогомеоморфизме конечномерного куба внутренние точки переходят во внутренние, а граничные - в граничные. Например, от противного, пусть , Тогда , но слева множество связное, а справа – нет. Для больших размерностей – гомотопические группы….. Итак, конечномерные кубы топологически неоднородны. А вот Q – топологически однороден: локально между его точками нет «никакой разницы». Теорема Для любых двух точек гильбертова куба существует автогомеоморфизм куба, переводящий одну точку в другую.

Гильбертов куб -11

13 Mix Если Х – бесконечный компакт, то множество Р(Х) всех вероятностный

Mix Если Х – бесконечный компакт, то множество Р(Х) всех вероятностный

мер на Х (с «интегральной» метрикой) гомеоморфно Q. Если Х – пеановский континуум (=непрерывный образ отрезка), то его компактная экспонента expX (множество всех подкомпактов) гомеоморфно Q. Всякое компактное стягиваемое Q-многообразие гомеоморфно Q.

14 Спасибо за внимание

Спасибо за внимание

«Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно универсальный объект в классе метрических компактов»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/gilbertov-kub-gilbertov-kirpich-parallelepiped-inektivno-universalnyj-obekt-v-klasse-metricheskikh-kompaktov-184193.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Параллелепипед > Гильбертов куб (гильбертов кирпич, параллелепипед,…) - иньективно универсальный объект в классе метрических компактов