Конус
<<  Усечённый конус Определение конуса  >>
Конические сечения
Конические сечения
Теорема
Теорема
Доказательство
Доказательство
Сечение конуса
Сечение конуса
Плоскость образует с осью конуса угол
Плоскость образует с осью конуса угол
Впишем в коническую поверхность сферу
Впишем в коническую поверхность сферу
Парабола
Парабола
Гипербола
Гипербола
Точка сечения
Точка сечения
Построим сечение конуса
Построим сечение конуса
Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе
Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе
Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса
Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса
Что представляет собой сечение конической поверхности
Что представляет собой сечение конической поверхности
Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость
Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость
Высота конуса равна радиусу основания
Высота конуса равна радиусу основания
Образующая конуса в два раза больше радиуса основания
Образующая конуса в два раза больше радиуса основания

Презентация: «Конические сечения». Автор: *. Файл: «Конические сечения.ppt». Размер zip-архива: 546 КБ.

Конические сечения

содержание презентации «Конические сечения.ppt»
СлайдТекст
1 Конические сечения

Конические сечения

Для данного конуса рассмотрим коническую поверхность, образованную прямыми, проходящими через вершину конуса и точки окружности основания конуса.

Сечения конической поверхности плоскостью можно рассматривать как центральную проекцию окружности основания конуса на эту плоскость. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости основания и не проходит через вершину конуса, то в сечении конической поверхности получается окружность.

2 Теорема

Теорема

Теорема 1

Если плоскость образует с осью конуса угол, больший, чем угол между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается эллипс.

3 Доказательство

Доказательство

Впишем в коническую поверхность две сферы, касающиеся плоскости сечения в некоторых точках F1, F2 и конической поверхности по окружностям C1 и C2 соответственно.

Пусть А – произвольная точка сечения. Проведем образующую AS и обозначим через А1, А2 точки ее пересечения с окружностями C1, C2 соответственно. Заметим, что прямая AS является касательной к обеим сферам.

Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF1 = AA1, AF2 = AA2. Поэтому AF1 + AF2 = AA1 + AA2 = A1A2. Но длина отрезка А1А2 не зависит от выбора точки А сечения. Она равна образующей соответствующего усеченного конуса. Поэтому сумма расстояний от точки А до точек F1, F2 будет постоянной.

4 Сечение конуса

Сечение конуса

Построение сечение конуса (эллипс)

В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD.

На образующих SA и SB выберем какие-нибудь точки A’ и B’. Точку пересечения A’B’ и SO обозначим O’. Через нее проведем прямую, параллельную CD и ее точки пересечения с SC и SD обозначим C’ и D’ соответственно. Они будут принадлежать искомому сечению.

Проведем хорду C1D1, параллельную CD, и точку O1 ее пересечения с AB соединим с S. Точку пересечения SO1 и A’B’ обозначим O1. Через точку O1 проведем прямую, параллельную C1D1 и ее точки пересечения с SC1 и SD1 обозначим C’1 и D’1, соответственно. Они будут принадлежать искомому сечению.

Аналогичным образом построим несколько других точек.

Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение.

5 Плоскость образует с осью конуса угол

Плоскость образует с осью конуса угол

Теорема 2

Если плоскость образует с осью конуса угол, равный углу между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается парабола.

6 Впишем в коническую поверхность сферу

Впишем в коническую поверхность сферу

Доказательство

Впишем в коническую поверхность сферу, касающуюся плоскости ? в некоторой точке F и конической поверхности по окружности C, лежащей в плоскости ?, перпендикулярной оси. Плоскости ? и ? образуют между собой угол 90о-? и пересекаются по некоторой прямой d.

Пусть А - произвольная точка сечения. Проведем образующую AS и обозначим через А1 точку ее пересечения с окружностью C. Заметим, что прямая AS является касательной к сфере. Прямая AF также является касательной. Отрезки АF и АА1 равны как отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки. Опустим из точки А перпендикуляр АВ на плоскость ? и перпендикуляр АD на прямую d.

Угол А1АВ равен ?. Угол АDВ является углом между плоскостями ? и ? и поэтому равен 90о-?. Следовательно, угол BAD равен ?. Прямоугольные треугольники АВА1 и АВD равны, так как имеют общий катет и соответственно равные углы. Поэтому АА1 = АD. Окончательно получаем равенство AF = AD, которое означает, что расстояние от произвольной точки сечения до точки F равно расстоянию от этой точки до прямой d, т. е. сечением конической поверхности в этом случае является парабола.

7 Парабола

Парабола

Построение сечение конуса (парабола)

В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD.

Через точку O проведем прямую, параллельную SA и ее точку пересечения с SB обозначим B’. Она будут принадлежать искомому сечению.

Через какую-нибудь точку O1 диаметра CD проведем прямую AO1 и ее точку пересечения с эллипсом основания обозначим B1. Через точку O1 проведем прямую, параллельную SA и ее точку пересечения с SB1 обозначим B’1. Она будет принадлежать искомому сечению.

Аналогичным образом построим несколько других точек.

Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение.

8 Гипербола

Гипербола

Теорема 3

Если плоскость образует с осью конуса угол, меньший угла между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается гипербола.

9 Точка сечения

Точка сечения

Доказательство

Впишем в коническую поверхность сферы, касающиеся плоскости сечения в некоторых точках F1 и F2 и конической поверхности по окружностям C1 и C2 соответственно.

Пусть А - точка сечения, расположенная в той же части конической поверхности, что и точка F1. Проведем образующую AS и обозначим через А1, А2 точки ее пересечения с окружностями C1, C2 соответственно. Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF1 = AA1, AF2 = AA2. Поэтому AF2 - AF1 = AA2 - AA1 = A1A2. Но длина отрезка А1А2 не зависит от выбора точки А сечения. Она равна сумме образующих соответствующих конусов. Следовательно, разность AF2 - AF1 расстояний от точки А до точек F1, F2 будет постоянной. Таким образом, сечением конической поверхности в этом случае является гипербола.

10 Построим сечение конуса

Построим сечение конуса

Построение сечение конуса (гипербола)

Построим сечение конуса, параллельное его оси SO.

В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD.

Проведем хорду C1D1, параллельную CD. Через точку O1 ее пересечения с диаметром AB проведем прямую, параллельную SO и ее точку пересечения с SB обозначим B’1. Она будет принадлежать искомому сечению.

Через какую-нибудь точку O2 хорды C1D1 проведем прямую OO2 и ее точку пересечения с эллипсом обозначим B2. Через точку O2 проведем прямую, параллельную SO и ее точку пересечения с SB2 обозначим B’2. Она будет принадлежать искомому сечению.

Аналогичным образом построим несколько других точек.

Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение.

11 Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе

Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе

Упражнение 1

Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе?

Ответ: Эллипса, параболы или гиперболы.

12 Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса

Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса

Упражнение 2

Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса. Какую форму имеет освещенный фонариком участок ровной поверхности в зависимости от угла наклона фонарика?

Ответ: Эллипса, параболы или гиперболы.

13 Что представляет собой сечение конической поверхности

Что представляет собой сечение конической поверхности

Упражнение 3

Что представляет собой сечение конической поверхности, параллельное: а) оси; б) образующей?

Ответ: а) Гипербола;

Б) парабола.

14 Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость

Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость

Упражнение 4

Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость. Что представляет собой сечение конуса этой плоскостью?

Ответ: Фигура, ограниченная параболой.

15 Высота конуса равна радиусу основания

Высота конуса равна радиусу основания

Упражнение 5

Высота конуса равна радиусу основания. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, образующей с осью угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°?

Ответ: Фигура, ограниченная: а) гиперболой;

Б) параболой;

В) эллипсом.

16 Образующая конуса в два раза больше радиуса основания

Образующая конуса в два раза больше радиуса основания

Упражнение 6

Образующая конуса в два раза больше радиуса основания. Под каким углом к оси нужно провести сечение конуса плоскостью, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?

Ответ: а) Больше 60о;

Б) 60о;

В) меньше 60о.

«Конические сечения»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/konicheskie-sechenija-53791.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Конус > Конические сечения