Презентация на тему «Конус»

Конус

Геометрия 11 класс

Р.О. Калошина, ГБОУ лицей №533

Санкт-Петербург

План урока

Историческая справка Определение прямой круговой конической поверхности Сечения конической поверхности Определение прямого кругового конуса Площадь поверхности конуса Сечения конуса Усеченный конус Вопросы

Историческая справка

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг

до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.) и в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии».

Историческая справка (продолжение)

Историческая справка (продолжение)

Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Историческая справка (продолжение)

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

Определение конической поверхности

Множество всех прямых пространства, проходящих через некоторую точку S и точки линии g, называют конической поверхностью. Точка S называется вершиной конической поверхности, линия g – направляющей, а все линии, проходящие через S и точки линии g, – образующими этой поверхности.

Определение прямой круговой конической поверхности

S – точка пересечения прямых – вершина конической поверхности; l – образующая; окружность – направляющая; p – ось поверхности

Прямая круговая коническая поверхность

– Это поверхность, которую заполняют все прямые l, пересекающие некоторую прямую p (ось вращения) в одной точке и проходящие через каждую точку некоторой окружности. Точка пересечения прямых – вершина конической поверхности l – образующие; окружность – направляющая.

Теорема

«Всякая плоскость, перпендикулярная оси конической поверхности и не проходящая через ее вершину, пересекает эту поверхность по окружности.»

Если плоскость проходит через вершину конической поверхности, то она

пересекает эту поверхность либо в одной точке; либо по двум образующим; либо имеет с поверхностью одну общую образующую, т.е. касается данной поверхности

Определение прямого кругового конуса

Тело, ограниченное прямой круговой конической поверхностью, вершиной этой поверхности и плоскостью перпендикулярной оси данной поверхности наз. прямым круговым конусом

Сечения конуса

Осевое сечение – равнобедренный треугольник Перпендикулярно оси – круг Параллельно оси – равнобедренная трапеция

r

S

B

A

O

O1

Площадь боковой поверхности конуса

Развертка боковой поверхности конуса – КРУГОВОЙ СЕКТОР с радиусом равным образующей

Площадь поверхности конуса

Усеченный конус

- Это часть конуса, заключенная между основанием и плоскостью параллельной основанию

ОО1 – высота ус. конуса l - образующая

Усеченный конус

Sбок = ?(r + r1)·l

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: Sбок = (2?r + 2?r1)/2 ·l

Вопросы для закрепления

Дайте определение прямой круговой конической поверхности. Что называется: а) вершиной; б) образующей; в) осью конической поверхности? Какая плоскость наз. касательной к конической поверхности? Какие кривые могут получиться в сечении конической поверхности плоскостью? Дайте определение прямого кругового конуса. Какой конус наз. усеченным?

Вопросы для закрепления (продолжение)

Что понимается под площадью боковой поверхности конуса? Чему равна площадь: а) боковой поверхности прямого кругового конуса; б) полной поверхности прямого кругового конуса? Чему равна площадь: а) боковой поверхности усеченного кругового конуса; б) полной поверхности усеченного кругового конуса? Приведите общее определение конической поверхности. Имеет ли конус центр симметрии? ось симметрии?