Геометрические фигуры
<<  Подобие фигур Как помочь ребёнку запомнить геометрические фигуры  >>
Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур
Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур
Содержание
Содержание
1. Экстремальные пути и периметры
1. Экстремальные пути и периметры
1. Экстремальные пути и периметры
1. Экстремальные пути и периметры
2. Изопериметрические задачи и их обобщения
2. Изопериметрические задачи и их обобщения
2.1 Оптимальные отрезы
2.1 Оптимальные отрезы
2.2 Минимальные разрезы
2.2 Минимальные разрезы
2.2 Минимальные разрезы
2.2 Минимальные разрезы
3. Упаковки и покрытия
3. Упаковки и покрытия
Покрытие односвязных ограниченные областей и фигуры на плоскости
Покрытие односвязных ограниченные областей и фигуры на плоскости
Эффективные покрытия равностороннего треугольника несколькими кругами
Эффективные покрытия равностороннего треугольника несколькими кругами
Регулярные покрытия равностороннего треугольника кругами одного
Регулярные покрытия равностороннего треугольника кругами одного
Эффективные покрытия квадрата
Эффективные покрытия квадрата
Внешнее покрытие областей и фигур
Внешнее покрытие областей и фигур
Внешний покрытие круговой области
Внешний покрытие круговой области
Внешний мониторинг круговой области
Внешний мониторинг круговой области
Желаю успеха
Желаю успеха
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание

Презентация: «Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур». Автор: тс. Файл: «Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур.ppt». Размер zip-архива: 224 КБ.

Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур

содержание презентации «Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур.ppt»
СлайдТекст
1 Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур

Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур

АСТРАКОВ СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КТИ ВТ СО РАН, Новосибирск

2 Содержание

Содержание

Экстремальные пути и периметры. Изопериметрические задачи и их обобщения. Упаковки и покрытия.

В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума Леонард Эйлер (1707-1783)

2

3 1. Экстремальные пути и периметры

1. Экстремальные пути и периметры

Теорема Фаньяно. Среди всех треугольников вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет треугольник с вершинами в основаниях высот (ортотреугольник).

Идея доказательства

3

4 1. Экстремальные пути и периметры

1. Экстремальные пути и периметры

Теорема Биркгофа о «бильярде». Для произвольной гладкой замкнутой кривой на плоскости, ограничивающей выпуклую область, существует бильярд с k вершинами, где k – произвольное целое число больше 2.

Точки отражения

Что?

Как?

Почему?

4

5 2. Изопериметрические задачи и их обобщения

2. Изопериметрические задачи и их обобщения

Теорема. Из всех плоских фигур одинакового периметра наибольшей по площади является круг. Яков Штейнер (1796-1863) считал ее «главной» теоремой геометрии.

Двойственная задача: Найти плоскую фигуру с наименьшим периметром при заданной площади. Пространственный аналог теоремы. Изопериметрические задачи с многоугольниками. Задача Люилье и задача Крамера.

Крыжановский Д.А. Изопериметры. Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур. // Под ред. И.М. Яглома, М.: Едиториал УРСС, 2010.

5

6 2.1 Оптимальные отрезы

2.1 Оптимальные отрезы

Задача Дидоны. От прямой линии берега веревкой данной длины отгородить участок земли наибольшей площади. Поэма Вергилия «Энеида», IX век до н.э.

Обобщение задачи Дидоны

6

7 2.2 Минимальные разрезы

2.2 Минимальные разрезы

Задача о разрезании фигуры на k равных по площади части.

Случай k=2

7

8 2.2 Минимальные разрезы

2.2 Минимальные разрезы

Задача о разрезании фигуры на k равных по площади части.

Задача о разрезании фигуры на части, имеющие заданное отношение площадей. (Непаханная целина)

Случай k=3

Надо подумать! Покажу решение тем, кому интересно.

Случай k>3. Примеры.

8

9 3. Упаковки и покрытия

3. Упаковки и покрытия

Упаковка. Насколько мала может быть площадь выпуклой области заданного или произвольного вида, внутри которой можно расположить все фигуры данного набора, чтобы они не пересекались между собой. Покрытие. Насколько велика может быть площадь выпуклой области, которую можно полностью покрыть фигурами из заданного набора.

Упаковка кругов. Покрытие кругами.

Sf – суммарная площадь кругов sp1 – площадь области, содержащей круги sp2 – площадь покрываемой области

9

10 Покрытие односвязных ограниченные областей и фигуры на плоскости

Покрытие односвязных ограниченные областей и фигуры на плоскости

Покрытие специальных невыпуклых областей

10

11 Эффективные покрытия равностороннего треугольника несколькими кругами

Эффективные покрытия равностороннего треугольника несколькими кругами

11

12 Регулярные покрытия равностороннего треугольника кругами одного

Регулярные покрытия равностороннего треугольника кругами одного

радиуса

Общий случай

n=6

12

13 Эффективные покрытия квадрата

Эффективные покрытия квадрата

?

?

13

14 Внешнее покрытие областей и фигур

Внешнее покрытие областей и фигур

Инвариантный класс покрытий

?

14

15 Внешний покрытие круговой области

Внешний покрытие круговой области

Утверждение. При внешнем покрытии диска тремя различными кругами минимальная плотность равна 3.

Лемма. Покрытие границы гарантирует покрытие всей области.

Вопрос: Можно ли улучшить результат большим числом кругов? Ответ: Нет. Но существует альтернативный вариант!

15

16 Внешний мониторинг круговой области

Внешний мониторинг круговой области

r2

r1

?

R

Альтернативный вариант

16

16

17 Желаю успеха

Желаю успеха

Вы будете первыми, кто решит эту задачу!

Задача об упаковке двух одинаковых кругов в эллипс

Найти оптимальные параметры эллипса, содержащего два равных круга заданного радиуса, имеющего минимальную площадь.

17

17

18 Спасибо за внимание

Спасибо за внимание

Научный подход – это стремление к простоте понимания сути вещей и явлений

18

«Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/maksimalnye-i-minimalnye-svojstva-geometricheskikh-figur-116968.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Геометрические фигуры > Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур