№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
ОкружностьВыполнили: Ученики 8 Б класса школы № 89 Вахрушева Ксения, Габдуллин Марат, Курдес Полина, Обухова Саша, Хуснутдинова Инзиля, Щенин Стас. |
2 |
 |
Содержание1. Касательная к окружности 2. Центральные и вписанные углы 3. Четыре замечательные точки треугольника 4. Вписанная и описанная окружности Выход |
3 |
 |
Касательная к окружностиВзаимное расположение прямой и окружности Теоремы о касательной к окружности Содержание |
4 |
 |
ОО О Взаимное расположение прямой и окружности d<r d=r d>r M H H M А H B r |
5 |
 |
ОКасательная к окружности Определение: прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательная к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности А Касательная Точка касания |
6 |
 |
ОТеорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания А 2) Тогда r – наклонная к P 5) P r Доказательство: 1) Пусть p r r p r d d < r 4) Это противоречит условию: прямая P - касательная 3) Прямая P имеет 2 общие точки с окружностью Теорема доказана |
7 |
 |
Свойство отрезков касательныхВ А С О AB и AC – отрезки касательных 1. AB = AC 2. AO – прямая, проходящая через т. А и центр окружности BAO = CAO |
8 |
 |
АТеорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Доказательство: О 1) ОА m 2) ОА = r ОА - касательная r m Теорема доказана |
9 |
 |
Центральные и вписанные углыГрадусная мера дуги окружности Теорема о вписанном угле Содержание |
10 |
 |
Градусная мера дуги окружностиА В В А О О Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. дуга АМВ=180 M L Если дуга АМВ < полуокружности или дуга АМВ = полуокружности, то дуга АМВ = углу АОВ. Если дуга АLB > полуокружности, то дуга АLB = 360 – угол АМВ. M Дуга АМВ + дуга ALB = 360 d |
11 |
 |
Теорема о вписанном углеА В Определение: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. О |
12 |
 |
Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую онопирается. В 1)Доказательство: ВО совпадает со стороной ВС Дуга АС < полуокружности => угол АОС = дуга АС 3. Угол 1 = угол 2 => угол АОС = угол 1 + угол 2 = 2 * угол1 4. 2 * угол1 = дуга АС => угол АОС = угол1 = ? дуги АС А С О 1 2 Теорема доказана |
13 |
 |
2)Доказательство: ВD делит угол АВС на углы: АВD и СBD 2. Угол ABD = дуги AD и угол АВС = ? дуги DC => УголABD+ угол DBC=?(дуга AD + дуга DC) Или угол АВС = ? дуги AC. В А С О D |
14 |
 |
3)Доказательство: BD не делит угол ABC на углы и не совпадает состоронами этого угла 2. Угол CBD = ? дуги CD 3. Угол ABD = ? дуги AD 4. Дуга AC = дуга АС + дуга CD 5. Угол АВС = угол ABD – угол СBD => Угол АВС = ? (дуга АD – дуга CD) Или угол АВС = ? АС. В А С О D Теорема доказана |
15 |
 |
Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведениеотрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Доказательство: Угол 1 = угол 2 – вписанные и опираются на дугу BD Угол 3 = угол 4 – вертикальные ADE СBE => АЕ:СЕ = DE:BE или АЕ*ВЕ = СЕ*DE С A В Е D Теорема доказана 2 4 1 3 |
16 |
 |
Четыре замечательные точки треугольникаСвойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку Теорема о пересечении высот треугольника Содержание |
17 |
 |
Свойства биссектрисыК L В A1 С1 О С A В1 Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 1. АА1 и ВВ1 биссектрисы 2.ОК и OL перпендикуляры 3. ОК = ОВ1; ОК = ОL; OL = OB1, т.к. т.О равноудалена от сторон треугольника (по теореме) |
18 |
 |
Теорема: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена отего сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от сторон угла, лежит на его биссектрисе. 1)Доказательство: АМ – общая гипотенуза 2. Угол 1 = угол 2 (АМ – биссектриса) 2)Доказательство: 1. АМ - общая гипотенуза 2. МК = ML (по условию) К В М A L С Амк = амl => мк = ml АКМ = АLM угол 1 = угол 2 => Значит АМ – биссектриса угла ВАС Теорема доказана 1 2 |
19 |
 |
Теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезкуравноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. 1)Доказательство: ОА = ОВ ОМ – общий катет 2)Доказательство: AМ = BМ МO – медиана АМВ и высота => МO AB, значит МО и m совпадают, т. М лежит на прямой m. М В А О Ома = овм => ам = вм m Теорема доказана |
20 |
 |
Свойство: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольникапересекаются в одной точке. В О С А ОВ = ОА и ОВ = ОС, значит ОА = ОС, т.О равноудалена от концов АС, => АС лежит на p, следовательно m, n, p пересекаются в т.О m n p |
21 |
 |
Теорема о пересечении высот треугольникаТеорема: Высоты треугольника пересекаются в одной точке. В А2 С2 А1 С1 А С В1 В2 |
22 |
 |
Доказательство: 1. АВ = А2С и АВ = СВ2 как противоположные стороныпараллелограммов АВА2С и АВСВ2, А2С = СВ2 2. С2А = АВ2 и С2В = ВА2 3. СС1 А2В2, АА1 В2С2 и ВВ1 А2С2 следовательно АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами и они пересекаются в одной точке. Теорема доказана |
23 |
 |
Вписанная и описанная окружностиВписанная окружность Описанная окружность Содержание |
24 |
 |
Вписанная окружностьОпределение: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то эта окружность вписанная, а этот многоугольник – описанный около окружности. |
25 |
 |
Теорема: В любой треугольник можно вписать окружностьДоказательство: 1.ОК = ОL = OM 2.Окружность проходит через точки К, L, М 3. Стороны треугольника касаются окружности в этих точках, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL, ОМ Значит окружность является вписанной. С М L В К А О Теорема доказана |
26 |
 |
Описанная окружностьОпределение: Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то эта окружность описанная, а многоугольник вписанный в окружность. |
27 |
 |
Теорема: Около любого треугольника можно описать окружностьДоказательство: ОА = ОВ = ОС 2. Окружность проходит через все вершины треугольника АВС, Значит окружность является описанной. С О А В Теорема доказана |
28 |
 |
Спасибо за внимание |
«Окружность» |