Презентация на тему «Окружность»

Окружность

Выполнили: Ученики 8 Б класса школы № 89 Вахрушева Ксения, Габдуллин Марат, Курдес Полина, Обухова Саша, Хуснутдинова Инзиля, Щенин Стас.

Содержание

1. Касательная к окружности 2. Центральные и вписанные углы 3. Четыре замечательные точки треугольника 4. Вписанная и описанная окружности

Выход

Касательная к окружности

Взаимное расположение прямой и окружности Теоремы о касательной к окружности

Содержание

О

О

О

Взаимное расположение прямой и окружности

d<r

d=r

d>r

M

H

H

M

А

H

B

r

О

Касательная к окружности

Определение: прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательная к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности

А

Касательная

Точка касания

О

Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания

А

2) Тогда r – наклонная к P

5) P r

Доказательство:

1) Пусть p r

r

p

r

d

d < r

4) Это противоречит условию: прямая P - касательная

3) Прямая P имеет 2 общие точки с окружностью

Теорема доказана

Свойство отрезков касательных

В

А

С

О

AB и AC – отрезки касательных

1. AB = AC

2. AO – прямая, проходящая через т. А и центр окружности BAO = CAO

А

Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство:

О

1)

ОА m

2)

ОА = r

ОА - касательная

r

m

Теорема доказана

Центральные и вписанные углы

Градусная мера дуги окружности Теорема о вписанном угле

Содержание

Градусная мера дуги окружности

А

В

В

А

О

О

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

дуга АМВ=180

M

L

Если дуга АМВ < полуокружности или дуга АМВ = полуокружности, то дуга АМВ = углу АОВ. Если дуга АLB > полуокружности, то дуга АLB = 360 – угол АМВ.

M

Дуга АМВ + дуга ALB = 360

d

Теорема о вписанном угле

А

В

Определение: угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

О

Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он

опирается.

В

1)Доказательство: ВО совпадает со стороной ВС Дуга АС < полуокружности => угол АОС = дуга АС 3. Угол 1 = угол 2 => угол АОС = угол 1 + угол 2 = 2 * угол1 4. 2 * угол1 = дуга АС => угол АОС = угол1 = ? дуги АС

А

С

О

1

2

Теорема доказана

2)Доказательство: ВD делит угол АВС на углы: АВD и СBD 2. Угол ABD =

дуги AD и угол АВС = ? дуги DC => УголABD+ угол DBC=?(дуга AD + дуга DC) Или угол АВС = ? дуги AC.

В

А

С

О

D

3)Доказательство: BD не делит угол ABC на углы и не совпадает со

сторонами этого угла 2. Угол CBD = ? дуги CD 3. Угол ABD = ? дуги AD 4. Дуга AC = дуга АС + дуга CD 5. Угол АВС = угол ABD – угол СBD => Угол АВС = ? (дуга АD – дуга CD) Или угол АВС = ? АС.

В

А

С

О

D

Теорема доказана

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение

отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство: Угол 1 = угол 2 – вписанные и опираются на дугу BD Угол 3 = угол 4 – вертикальные ADE СBE => АЕ:СЕ = DE:BE или АЕ*ВЕ = СЕ*DE

С

A

В

Е

D

Теорема доказана

2

4

1

3

Четыре замечательные точки треугольника

Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку Теорема о пересечении высот треугольника

Содержание

Свойства биссектрисы

К

L

В

A1

С1

О

С

A

В1

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

1. АА1 и ВВ1 биссектрисы

2.ОК и OL перпендикуляры

3. ОК = ОВ1; ОК = ОL; OL = OB1, т.к. т.О равноудалена от сторон треугольника (по теореме)

Теорема: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от

его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

1)Доказательство: АМ – общая гипотенуза 2. Угол 1 = угол 2 (АМ – биссектриса)

2)Доказательство: 1. АМ - общая гипотенуза 2. МК = ML (по условию)

К

В

М

A

L

С

Амк = амl => мк = ml

АКМ = АLM угол 1 = угол 2

=>

Значит АМ – биссектриса угла ВАС

Теорема доказана

1

2

Теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку

равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

1)Доказательство: ОА = ОВ ОМ – общий катет

2)Доказательство: AМ = BМ МO – медиана АМВ и высота => МO AB, значит МО и m совпадают, т. М лежит на прямой m.

М

В

А

О

Ома = овм => ам = вм

m

Теорема доказана

Свойство: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

пересекаются в одной точке.

В

О

С

А

ОВ = ОА и ОВ = ОС, значит ОА = ОС, т.О равноудалена от концов АС, => АС лежит на p, следовательно m, n, p пересекаются в т.О

m

n

p

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема: Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

В

А2

С2

А1

С1

А

С

В1

В2

Доказательство: 1. АВ = А2С и АВ = СВ2 как противоположные стороны

параллелограммов АВА2С и АВСВ2, А2С = СВ2 2. С2А = АВ2 и С2В = ВА2 3. СС1 А2В2, АА1 В2С2 и ВВ1 А2С2 следовательно АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами и они пересекаются в одной точке.

Теорема доказана

Вписанная и описанная окружности

Вписанная окружность Описанная окружность

Содержание

Вписанная окружность

Определение: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то эта окружность вписанная, а этот многоугольник – описанный около окружности.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность

Доказательство: 1.ОК = ОL = OM 2.Окружность проходит через точки К, L, М 3. Стороны треугольника касаются окружности в этих точках, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL, ОМ Значит окружность является вписанной.

С

М

L

В

К

А

О

Теорема доказана

Описанная окружность

Определение: Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то эта окружность описанная, а многоугольник вписанный в окружность.

Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность

Доказательство: ОА = ОВ = ОС 2. Окружность проходит через все вершины треугольника АВС, Значит окружность является описанной.

С

О

А

В

Теорема доказана

Спасибо за внимание