Отрезок

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину

треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника

Перпендикуляр, проведенный из вершины треуголь-ника к прямой, содержащей противоположную сторону,называется перпендикуляром

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противопо-ложной стороны, называется медианой

А

А

А

М

А1

Н

АМ – медиана

АА1 – биссектриса

АН - высота

КМ – средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

В

К

М

А

С

а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярна к нему

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему

m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, О – середина отрезка АВ М Є m АМ = ВМ

А

А

В

m

М

А

В

О

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной

точке

В

n

m

m, n, p пересекаются в точке О

O

С

А

p

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

СК – биссектриса <С

С

АМ – биссектриса <А

ВР – биссектриса <В

О – точка пересечения биссектрис

М

Р

О

А

К

В

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

В

Р

О – точка пересечения высот

О

М

А

К

С

Со : ко = 2 : 1 ао : мо = 2 :1 во : ро = 2 : 1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВС О – точка пересечения медиан

С

Р

М

О

А

В

К

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним

В

В

А

С

А

С

Ав = вс

Ав = ас = вс

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны <А = <В

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

СК - биссектриса

Ак = кв, ск ав

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

С

А

В

К

Ас = вс

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов

катетов

Вс? = ав? + ас?

Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным

АВ и АС – катеты ВС - гипотенуза

В

А

С

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

<A + < B = 90°

< A = 30° CB = AB

Если CB = AB, то <A = 30°

В

С

А

30°

Если <A = <K, AB = KM, AC = KN, то

ABC = ?KMN

Если <B = <P AB = KP, BC = PK, то ?ABC = ?KPN

Если АВ = КМ, АС = KN, BC = MN, то ?АВС = ?KNM

I признак По двум сторонам и углу между ними

II признак По стороне и прилежащим к ней углам

III признак По трем сторонам

B

M

В

М

B

P

А

С

К

N

К

N

А

C

А

C

K

N

По двум катетам Если АВ = КМ, АС = KN, то

АВС = ?KMN

По катету и прилежащему острому углу Если AB = KM, <B = <M, то ?АВС = ?KMN

По гипотенузе и катету Если ВС = МN, АС = KN, то ?АВС = ?KMN

По гипотенузе и острому углу Если ВС = MN, <B = <M, то ?АВС = ?KMN

В

М

С

К

А

N

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Ав < вс + ас ас < ав + вс вс < ав + ас

В

А

С

<A + <B + <C = 180°

<АВО – внешний

Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним

A

C

B

О

16

<3 смежный с <4 <4 + <3 = 180° (<1 + <2) + <3 = 180° <1 + <2 = <4

2

1

3

4

17

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2)

обратно, против большего угла лежит большая сторона

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета 2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно

равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

В1

В

С

А1

С1

А

<A = <A1 , <B = < B1, <C = <C1,

K – коэффициент подобия

?Авс ? ? a1

B1

C1

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам

другого треугольника, то такие треугольники подобны

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Если <A = <K, <B = <M, то ?АВС ? ?КРМ

Если АВ : КР = АС : КМ, <А = <К, то ?АВС ? ?КРМ

?Авс ? ?крм

Р

В

А

С

К

М

В

С

А

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

sin? x + cos

x = 1

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними

a

C

b

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

C

А

b

B

A

c

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон

минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

C

А

b

B

A

c

Решение задач по готовым чертежам

1. В треугольнике АВС угол А равен 38°

Найдите угол С.

2. В треугольнике АВС угол С равен 118°. Найдите угол А.

3. В треугольнике АВС угол С равен 52°. Найдите внешний угол СВD.

4. В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 122°. Найдите угол С.

5. Один из внешних углов треугольника равен 85°

Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : 3. Найдите наибольший из них.

6. В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 70°. Найдите разность углов АСН и ВСН.

7. В треугольнике АВС угол С равен 50°, АD – биссектриса, угол САD равен 28°. Найдите угол В.

8. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

9. Найдите косинус угла АОВ

В ответ укажите значение, умноженное на

10. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

11. Найдите косинус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

12. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

13

Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

14. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, АС =10, АН =8. Найдите cos B.

15. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 10, ВН = 8. Найдите cos А.

16. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 12. Найдите cos А.

15

В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 10, ВН = 8. Найдите cos А.

16. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 12. Найдите cos А.

17. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 16. Найдите tgА.

18. В треугольнике АВС, АС = ВС, АВ =10, высота АН равна 8. Найдите sin А.

19

В треугольнике АВС, АС = ВС, АН –высота, sin А = 0,8. Найдите косинус угла ВАН.

20. В треугольнике АВС, АВ = ВС, АС = 5, СН – высота, АН = 4. Найдите . sin АСВ.

21. В треугольнике АВС, АВ = ВС, АВ = 10, высота СН = 8. Найдите косинус угла АВС.

22. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение синуса, умноженное на

23

Найдите медиану треугольника АВС, прове-денную из вершины С, если стороны квадратных клеток равны 1.

24. Найдите высоту треугольника АВС, опущенную на сторону ВС, если стороны квадратных клеток равны .

25. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1.

26. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1.

№1

Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 15см. Найдите периметр этого треугольника. №2. Периметр равностороннего треугольника АВС равен 90см. Найти длину средней линии этого треугольника. №3. В равностороннем треугольнике АВС проведены средние линии. Найти периметр получившегося треугольника, если АВ=12см.

№4. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите основание треугольника.

№5

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 20?. Найдите градусную меру угла при вершине. Ответ укажите в градусах. №6. Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен 96?? Ответ укажите в градусах. №7. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите площадь этого треугольника. №8. Основание равнобедренного треугольника равно 8, угол при основании равен 45?. Найдите площадь треугольника

№9

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, угол при основании равен 45?. Найдите площадь треугольника. №10. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине В равен 110?. Найдите величину угла А. Ответ дайте в градусах. №11. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине С равен 117?. Найдите величину угла В. Ответ дайте в градусах.

№12. В треугольнике АВС проведена высота СН. АВ=8, а СН= 5. Найдите площадь этого треугольника.

№13

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8?2. Найдите катет. №14. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 6. Найдите площадь этого треугольника. №15. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота равна 3. Найдите площадь треугольника.

№16. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу.

№17

Катеты прямоугольного треугольника равны 40 и 9. Найдите площадь этого треугольника. №18. В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а другой на 5 его больше. Найдите площадь треугольника.

№19. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26, а один из катетов равен 10. Найдите площадь треугольника. №20. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 меньше, чем другой. Найдите площадь треугольника.

Тестовые задания из КИМов части 1и части 2

1.В треугольнике два угла равны 105° и 45°, а площадь равна

Найдите меньшую высоту. 2. В прямоугольном треугольнике АВС высота, проведенная из вершины прямого угла равна 3, медиана, проведенная к гипотенузе равна 5. Найдите площадь фигуры, образованной вписанным и описанным кругами. 3. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1. 4.Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4, 5. 5.Найдите площадь треугольника, медианы которого 10, 10 и 16.

6. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что угол ВАС равен

60°, АВ =20, а медиана АМ равна 14. 7.Найдите площадь треугольника две стороны, которого равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 5. 8.треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 10. Найдите третью сторону.

9. В треугольнике АВС известно, что АВ = 8, АС = 6, угол ВАС равен 60°. Найдите биссектрису АМ. 10.треугольнике АВС известно, что АВ = х, АС = у, угол ВАС равен 120°. Найдите биссектрису АМ.

11

В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности. Если АМ = 6 и ВМ = 24. 12. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 8 и ВМ = 12. 13. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу на части, равные 6 см и 4 см. Найдите радиус этой окружности 14. В прямоугольном треугольнике с углом 60° вписана окружность радиуса .Найдите площадь этого треугольника.

15

В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины противолежащей стороны основанию, равно 5. Боковая сторона равна 10. Найдите длину радиуса.

16. Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника. 17. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24, а радиус описанной около него окружности 13. Найдите боковую сторону треугольника.

.

18

Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ и углом 120° при вершине описана окружность. Докажите, что отрезок, соединяющий центр описанной окружности с точкой пересечения продолжения высот треугольника, равен диаметру описанной окружности

Геометрические фигуры и их свойства

Измерение геометрических величин. 1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 120 м. Затем повернул на север и прошел 50 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик? Решение:

Пусть мальчик находится в точке пересечения осей направлений. По т. Пифагора х=?(1202 +502) = ?16900 = 130 Ответ: 130

2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 240 м. Затем

повернула на север и прошла 480 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 240 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка? 3. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 42 минут? 1 час 42 мин = 1,7 часа 4*1,7 = 6,8 км - прошел мальчик 3*1,7 = 5,1 км - прошла девочка ?(6,82+5,12)=?72,25 = 8,5 км - расстояние между ними

4. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно

перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 30 минут? 1 час 30 мин = 1,5 часа 4*1,5 = 6,0 км - прошел мальчик 3*1,5 = 4,5 км - прошла девочка ?(6,02+4,52)=?56,25 = 7,5 км - расстояние между ними

8. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 9 шагов от столба, на

котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

Решение. Из подобия большого и маленького треугольников: х : (9+3) = 1,8 : 3 х : 12 = 0,6 х = 0,6*12= 7,2 Ответ: 7,2

9. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 14 шагов от столба, на

. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 14 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

10. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 15 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,2 м. Найдите длину тени человека в метрах. Пусть х - длина тени.Из подобия маленького и большого треугольников следует: х / 1,7 = (х+15) / 10,2 10,2х = 1,7 (х+15) 8,5 х = 25,5 11. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6 м. Найдите длину тени человека в метрах.

№9

Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.

<A + <B = 90° Пусть <A = x, тогда <B = 2х х + 2х = 90° х = 30° Ответ: 30°

Решение:

В

С

А

<BAC = <BCA <BCA = 180° – 123° = 57° <ABC = 180° – 2·57° = 66° Ответ:

66°

№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В

123°

С

А

№9

В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

<A + <B + <C = 180° <CAD = <BAD = 28° <A = 2·28° = 56° <B = 180° - 56° - 50° = 74° Ответ: 74°

Решение:

С

D

А

В

№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г) В прямоугольном треугольнике

АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника

Решение:

Ответ: 5

А

К

С

В

№ 24

В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине В равен 68°. Найдите угол А.

I способ: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Следовательно <A + <C = 68° <A = 68° – 28° = 40° Ответ: 40°

II способ: <ABC = 180° - 68° = 112° Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно <A + <B + <C = 180° <A = 180° – 28° – 112° = 40°. Ответ: 40°

Решение:

С

А

В

28

68

№ 25

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD.

Решение:

?ODB = ?AOC (по двум сторонам и углу между ними) AO = OB, DO = OC по условию, <DOB = <AOС как вертикальные, следовательно DB = AC

?ADO = ?BCO (по двум сторонам и углу между ними) AO = OB, DO = OC по условию, <DOА = <СOB как вертикальные, следовательно АD = ВC

Получили: DB = AC, AD = BC, АВ – общая. Таким образом ?ABC = ?BAD (по трем сторонам). Что и требовалось доказать.

Достроим треугольники АВС и ВАD.

D

В

О

А

С

№25

В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC.

Решение:

Так как MN || АС, то <ACB = <MNB (как соответственные), <ABC – общий,

Так как М и N середины сторон АВ и ВС, то MN – средняя линия ?АВС

С

следовательно MN || АС.

N

следовательно ?MBN ? ?ABC (по двум углам) Что и требовалось доказать

А

В

М

№ 25

В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP? = KP·MP.

?KLM ? ?KPL по двум углам (<K – общий, <KLM = <KPL = 90°). ?KLM ? ?MPL по двум углам (<M – общий, <KLM = <MPL = 90°). ?KPL ? ?MPL по двум углам (углы при вершине P прямые, <K = <MLP). Так как ?KPL ? ?MPL, то

Решение:

M

P

L

K

Что и требовалось доказать.