Параллелограмм и его свойства

Параллелограмм и его свойства

Матвеева Ольга, 8 класс

Определение параллелограмма

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Высотой параллелограмма, проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону (AH).

B

А

AB||CD AD||BC

ABCD - Параллелограмм

D

C

H

Рис

1. Дано: <1 = <2, <3 = <4. Доказать: ABCD - параллелограмм. . 2. Дано: <l = <2 = <3. Доказать: ABCD - параллелограмм. . 3. Дано: MN||PQ, <M= <P. Доказать: MNPQ - параллелограмм. . 4.Дано: a) <1 = 70°, <3 = 110°, <2 + <3 = 180°; б)<1 = <2, <2 и <4 не равны Является ли ABCD - параллелограммом?

C

B

D

A

В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:

Противоположные углы и стороны равны Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам ?C =?A ?D =?B CB=DA CD=BA CO=OA DO=OB

Свойства параллелограмма Рассмотрите стороны, углы и диагонали

параллелограмма и сформулируйте его свойства.

Теорема. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Что дано по условию теоремы? Дано: ABCD- параллелограмм. Что надо доказать? Доказать: АВ=СD, AD=BC, <B=<D, <A=<C. Доказательство: Что помогает доказывать равенство отрезков, равенство углов? Как их получить? 1. Проведем диагональ АС. Какие фигуры появились? Что о них можно сказать? 2. Треугольники ВАС = DCA, т.к. АС - общая сторона <1=<2 <3=<4 (как накрест лежащие при параллельных прямых) 4. Т.к. треугольники ВАС и DCA равны, то соответствующие стороны АВ=СD, AD=BC и соответствующие углы <B=<D, <A=<C.

Свойства параллелограмма

Что дано по условию теоремы? Дано: ABCD - параллелограмм, О - точка пересечения АС и ВD. Что надо доказать? Доказать: АО=СО, ВО=ОD. Доказательство: Что помогает доказывать равенство отрезков? 1. Треугольники АОВ = CОD, т.к. АВ=СD (как противоположные стороны параллелограмма), <1=<2 <3=<4 (как накрест лежащие при параллельных прямых) 4. Т.к. треугольники АОВ = CОD, то соответствующие стороны АО=СО, ВО=ОD.

Теорема. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Я предлагаю дополнительные свойства:

C

B

D

A

1. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180° ?C +?D =180 ° ?D +?A = 180° ?A +?B = 180 ° ?B +?C = 180 °

2. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный

треугольник

3. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны

C

B

D

A

N

О

Q

4. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом

?DOA=?NOQ==90°

C

B

W

R

D

A

CR=AW

5. Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме

квадратов его смежных сторон.

B

C

D

A

AC2+BD2 = 2(AB2+BC2)