Перпендикуляр
<<  Перпендикулярность прямой и плоскости Признак перпендикулярности  >>
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Цель
Цель
Содержание
Содержание
Перпендикулярность прямых в пространстве
Перпендикулярность прямых в пространстве
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости
Задача (1)
Задача (1)
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой
Т е о р е м а 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
Т е о р е м а 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные стороны равные
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные стороны равные
Построение перпендикулярных прямой и плоскости
Построение перпендикулярных прямой и плоскости
Проведем через точку В и прямую а плоскость
Проведем через точку В и прямую а плоскость
Задача (3)
Задача (3)
Докажем, что эта прямая единственна
Докажем, что эта прямая единственна
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
Свойства перпендикулярных прямой и плоскости
Задача (4)
Задача (4)
Теорема 4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,
Теорема 4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,

Презентация на тему: «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Автор: 1. Файл: «Перпендикулярность прямых и плоскостей.pps». Размер zip-архива: 62 КБ.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

содержание презентации «Перпендикулярность прямых и плоскостей.pps»
СлайдТекст
1 Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Ученицы 11 класса Средней школы № 2 Еремеевой Екатерины

2 Цель

Цель

3 Содержание

Содержание

Перпендикулярность прямых в пространстве. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Построение перпендикулярных прямой и плоскости. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

4 Перпендикулярность прямых в пространстве

Перпендикулярность прямых в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Т е о р е м а 1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

С

А

А

b

B

В

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a и b – перпендикулярные прямые, а1 и b1 – параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые а и b перпендикулярны. Если прямые a, b, а1, b1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.

С

?

А

b

А

В

?1

А1

b1

С1

B1

А1

Рис.1

5 Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости

Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости

Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости ?, а прямые а1 и b1 – в некоторой плоскости ?1 (рис.1). По теореме I плоскости ? и ?1 параллельны. Пусть С – точка пересечения прямых a и b, а С1 – точка пересечения прямых a1 и b1. Проведем в плоскости параллельных прямых а и а1 прямую, параллельную прямой СС1. Она пересечет прямые а и а1 в точках А и А1. В плоскости прямых b и b1 проведем прямую, параллельную прямой СС1, и обозначим через B и B1, точки ее пересечения с прямыми b и b1. Четырехугольники САА1С1 и СВВ1С1? параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ1А1 также параллелограмм. У него стороны АА1, ВВ1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС1. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые АА1 и ВВ1. А она пересекает параллельные плоскости а и а1 по параллельным прямым АВ и A1B1. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то АВ = А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1. По третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и А1В1С1 равны. Итак, угол A1C1B1, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые а1 и b1 перпендикулярны. Теорема доказана.

6 Задача (1)

Задача (1)

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение. Пусть а ? прямая и А ? точка на ней (рис. 2). Возьмем любую точку X вне прямой а и проведем через эту точку и прямую a плоскость ? (теорема II). В плоскости ? через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную прямой а.

А

А

А

А

X

X

X

X

А

А

А

А

b

b

b

b

Рис.2

7 Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой

плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения (рис. 3).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Рис.3

8 Т е о р е м а 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся

Т е о р е м а 2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся

прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а ? прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости ?. Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и с (рис. 4). Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости ?. Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости ? и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости ? произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и X.

А

А1

?

А

b

B

С

Х

Х

С

А2

Рис.4

9 Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные стороны равные

Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные стороны равные

отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1 = АА2). По той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников А1ВС и А2 ВС следует равенство углов А1ВХ, А2ВХ и, следовательно, равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости ?. Теорема доказана.

10 Построение перпендикулярных прямой и плоскости

Построение перпендикулярных прямой и плоскости

Задача(2). Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.

Решение. Пусть а ? данная прямая и А ? точка на ней (рис. 5) в них через точку А прямые b и с, перпендикулярные прямой а. Плоскость ?, проходящая через эти прямые, перпендикулярна прямой а по теореме 2. Докажем, что эта плоскость единственна. Допустим, что, кроме плоскости ?, существует другая плоскость ?', проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а (рис. 6). Пусть В ? точка плоскости ?', не лежащая в плоскости ?.

Рис.5

11 Проведем через точку В и прямую а плоскость

Проведем через точку В и прямую а плоскость

Она пересечет плоскости ? и ? ' по различным прямым b и b', перпендикулярным прямой а. А это, как мы знаем, невозможно, так как на плоскости через данную точку прямой проходит только одна перпендикулярная ей прямая. Итак, плоскость, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а, единственна.

12 Задача (3)

Задача (3)

Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.

Решение. Пусть а ? данная плоскость и А ? точка на ней (рис.7). Проведем в плоскости ? через точку А две прямые b и с. Проведем через точку А перпендикулярные им плоскости. Они пересекутся по некоторой прямой а, перпендикулярной прямым b и с. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости ?.

Рис.7

13 Докажем, что эта прямая единственна

Докажем, что эта прямая единственна

Допустим, что, кроме прямой а, существует другая прямая а', проходящая через точку А и перпендикулярная плоскости ? (рис. 8). Проведем через прямые а и а' плоскость. Она пересечет плоскость ? по некоторой прямой b, перпендикулярной прямым а и а'. А это, как мы знаем, невозможно. Итак, прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная этой плоскости, единственна.

А'

А

A

?

b

Рис.8

14 Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Т е о р е м а 3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, та она перпендикулярна и другой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а1 и а2 ? две параллельные прямые и ? ? плоскость, перпендикулярная прямой а1 (рис. 9). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2.

Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью ? произвольную прямую х2 в плоскости ?. Проведем в плоскости ? через точку А1 пересечения прямой а1 с ? прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости ?, то прямые а1 и х1 перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и x2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости ?. А это значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости ?. Теорема доказана.

15 Задача (4)

Задача (4)

Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости ?.

Решение. Проведем в плоскости ? две пересекающиеся прямые b и с (рис. 10). Через точку их пересечения проведем плоскости ? и ?, перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит, и плоскости ?. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 3 она перпендикулярна плоскости ?.

a

?

?

A

b

c

?

Рис.10

16 Теорема 4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,

Теорема 4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,

параллельны.

Доказательство. Пусть а и b ? две прямые, перпендикулярные плоскости ? (рис. 11). Допустим, что прямые а и b не параллельны. Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости ?. Проведем через точку С прямую b',параллельную прямой а. Прямая b‘ перпендикулярна плоскости ? (теорема 3). Пусть В и В' ? точки пересечения прямых b и b' с плоскостью а. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и b'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

С

А

b

b'

В'

В

?

Рис.11

«Перпендикулярность прямых и плоскостей»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/perpendikuljarnost-prjamykh-i-ploskostej-72956.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Перпендикуляр > Перпендикулярность прямых и плоскостей