Пирамида

Пирамида

Типовые задачи В-11

http://gorkunova.ucoz.ru

1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить

в четыре раза?

Если высоту Н увеличить в 4 раза, то и объем увеличится в 4 раза.

Ответ: 4

2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

k2 = 22 = 4

Ответ: 4

Формула объема пирамиды:

Если все ребра пирамиды увеличить в 2 раза, то мы получим подобную пирамиду (коэффициент подобия в данном случае равен k = 2)

Площади подобных тел относятся как квадрат их коэффициента подобия

3. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а

основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.

S – площадь основания, Н = 6 – высота пирамиды

S = a . b = 3 . 4 = 12

Ответ: 24

4. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

S = a . b = 3 . 4 = 12

Ответ: 4

Формула объема пирамиды:

В основании – прямоугольник:

Формула объема пирамиды:

В основании – прямоугольник:

5. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань

перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды

S – площадь основания, Н = SH = 6 – высота пирамиды

?Saн = ?sdн = ?sgh = 600

?Saн=?sdн=?sgh

SH – общая сторона

? Ан = dh = gh

Из ?SGH:

Ответ: 48

Формула объема пирамиды:

(По катету и острому углу)

6. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое

из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

S – площадь основания, Н = SC = 3 – высота пирамиды

Ответ: 4,5

Основанием пирамиды будем считать грань, которая является прямоугольным треугольником

Формула объема пирамиды:

SA = SB = SC = 3

7. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке

Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

S – площадь основания, Н = 3 – высота пирамиды

S = SAFKB + SKCDE = AF . AB + CD . DE

S = 6 . 3 + 3 . 3 = 27

Ответ: 27

Формула объема пирамиды:

Пусть MF (боковое ребро) перпендикулярно основанию, Тогда MF = Н = 3 – высота пирамиды

Подставляем данные в формулу объема пирамиды:

M

F

E

6

K

F

E

C

Рассмотрим основание:

D

A

B

6

С

D

3

3

А

В

8. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через

середины четырех его ребер.

S = a2 = 0,52 = 0,25

Ответ: 0,25

У данного тетраэдра грани – равные правильные треугольники

Сечением тетраэдра является квадрат, т.к. стороны сечения являются средними линиями треугольников и в 2 раза меньше параллельных им сторон.

S2 = 2S1

9.Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВСА1

Ответ: 1,5

Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина А1 общая

Пусть

- Объем пирамиды

- Объем параллелепипеда

Тогда

Очевидно, что площадь основания параллелепипеда S2 , больше в 2 раза площади основания пирамиды S1

.

10

Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 3.

Ответ: 18

Формула объема параллелепипеда:

Формула объема пирамиды:

Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина А1 общая

Тогда

Отсюда получим:

11

Объем параллелепипеда АBCDA1B1C1D1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC.

Ответ: 2

Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина B1 общая

Тогда найдем отношение объемов:

Отсюда получим:

Формула объема параллелепипеда:

Формула объема пирамиды:

12

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1СВ1.

Ответ: 1,5

Формула объема параллелепипеда:

Формула объема пирамиды:

Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина В1 общая.

Тогда найдем отношения объемов:

Отсюда:

Очевидно, что пирамида AD1CB1 находится внутри параллелепипеда. Надо только отрезать четыре равные треугольные пирамиды, у которых три ребра - измерения параллелепипеда (a, b, h), а другие три ребра – диагонали трех различных граней параллелепипеда: В1АВС; CВ1C1D1; AA1B1D1; D1ACD

Н = 2 h

13. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Ответ: 2

MABCD – правильная четырехугольная пирамида, т.К в основании лежит квадрат, а высота проецируется в центр этого квадрата

ОО1 = H - высота куба

ОМ = h - высота пирамиды

Формула объема куба:

Формула объема пирамиды:

Тогда найдем отношение объемов:

D1

С1

O1

А1

В1

М

D

С

O

В

А

14

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

VSABC = 12, VSMCN - ?

Т.к. MN – средняя линя треугольника, то ?АВС ~ ? MNC, где k = 2

Ответ: 4

Пирамиды SABC и SMCN имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина S общая.

Тогда найдем отношение объемов:

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия

H = 2h

15. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

О

К

Ответ: 3

SABCD – правильная пирамида, в основании лежит квадрат, а высота SO = H проецируется в центр этого квадрата

EABC – треугольная пирамида, в основании лежит ?АВС, а высота ЕК = h является cредней линией ?BOS и равна половине SO

Очевидно, что площадь основания ABCD , больше в 2 раза площади основания ABC

Тогда найдем отношение объемов:

Очевидно, что SАВС = SAOB , т.е. площадь правильного шестиугольника в

6 раз больше площади ?АВС

VSABCDEF = 6 . VSABC = 6 . 1 = 6

16. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Ответ: 6

Пирамиды имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина S общая.

Тогда найдем отношение объемов:

O

Объем пирамиды в 3 раза меньше объема призмы, значит Vпир= 2

Тогда объем оставшейся части: 6 – 2 = 4

17. От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Vприз = 6, vпир - ?

Ответ: 4

Призма и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина С1 общая.

Тогда найдем отношения объемов:

18

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противополож-ное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

VMABC = VKABC + VMABK = 15

Объем оставшейся пирамиды равен: 15 – 10 = 5

Ответ: 10

М

1 часть

К

Высота пирамиды МАВС (Н) содержит высоту пирамиды КАВС (h)

М

К

2 части

C

С

A

Основание этих пирамид - ОБЩЕЕ

B

Найдем их отношение: