Презентация на тему «Пирамида»

Пирамида

Урок геометрии в 10 классе Учитель: Мигунова Л.В.

Определение пирамиды

Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников, называется пирамидой

Элементы пирамиды

Многоугольник А1А2...Аn - основание. Треугольники - боковые грани Точка Р – вершина пирамиды Отрезки РА1, РА2,…РАn – боковые ребра пирамиды Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к основанию, называется высотой пирамиды

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок PO, соединяющий вершину пирамиды P с центром основания, является ее высотой

p

Центр основания

h

An

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины Р, называется апофемой РЕ

O

O

Основание – правильный многоугольник

A1

Е

A2

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему РЕ

Р

h

An

O

A1

Е

A2

Р

Дано: PA1A2…An-правильная пирамида Доказать: Sбок=?Pocн·PE

h

An

O

A1

Е

A2

Доказательство: Sбок= n·Sтр=n·?AnA1·PE=?(n·AnA1) ·PE=?Pосн ·PE

Площадь полной поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней) , а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей граней S полн =Sбок + S осн

Решение задач

Задача 1. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5м и 4м и меньшей диагональю 3м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна2м. Найдите площадь поверхности пирамиды.

M

D

С

O

А

K

F

В

Решение:

Треугольник ABD –прямоугольный (42+32=52) Угол ADB равен 900.

M

1) AD и DO перпендикулярны, следовательно AD и MD перпендикулярны ( по теореме о трех перпендикулярах) Следовательно MD высота ?MAD.

С

D

2) ?MDO: MD=?22+1,52=2,5

O

3)?ADB: DK и AB перпендикулярны ab·dk=ad·bd,dk=2,4м ?MOF: OF?DK, OF= ?DK, OF= 1,2. Mf=?mo2+of2= 0,4?34 .

А

K

F

В

Sбок= 2SAMD+2SAMB=4·2,5+5·0,4·?34=10+2 ?34 sосн=4·3=12 sпир=(22+2 ?34)м2.

Задача 2. Основанием пирамиды DABC является

АВС, у которого АВ=АС=13см, ВС=10см. Ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

D

С

А

В

Решение:

1) Проведем АК перпендикулярно ВС

D

ВС и DK перпендикулярны (по теореме о трех перпендикулярах) DK – высота ?DBC.

2) ?АВК: АК = ?АВ2-BK2=?144=12см 3) ?DAK: DK=15см 4) ?ADB = ADC (по двум катетам) Sбок= 2SADB+SBDC Sбок=2·?·13·9+?·10 ·15 = 192см2.

С

А

К

В

Задача 3

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания

M

D

E

F

C

O

a

B

A

K

Решение:

M

D

E

F

C

O

a

B

A

K