Планиметрия

Планиметрия

Лекция 9

Теоремы, аксиомы, определения

Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство. Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями. Доказывая теорему, мы основываемся на ранее установленных свойствах; некоторые их них также являются теоремами. Однако некоторые свойства рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательств. Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был минимальным и достаточным для доказательства всех остальных геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема.

Прямая, луч, отрезок

Мысленно можно неограниченно продолжить прямую линию в обе стороны. Мы рассматриваем прямую как бесконечную. Прямая линия, ограниченная с одного конца и неограниченная с другого, называется лучом. Часть прямой, ограниченная с двух сторон, называется отрезком.

Углы

Угол – это геометрическая фигура ( рис.1 ), образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ), исходящими из одной точки O ( вершина угла ).

Прямой, острый, тупой углы

Угол в 90° ( рис.2 ) называется прямым; угол, меньший, чем 90° ( рис.3 ), называется острым; угол, больший, чем 90° ( рис.4 ), называется тупым.

Перпендикулярные линии

Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными.

Знаки углов

Угол считается положительным, если вращение выполняется против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. Например, если луч OA смещается к лучу OB, то AOB = + 90 ? ; но на рис.5 AOB = – 90 ? .

Смежные углы

Смежные углы – это углы AOB и COB, имеющие общую вершину O и общую сторону OB; две другие стороны OA и OC являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы

Вертикальные углы– это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого: AOB и COD ( а также AOC и DOB ) - вертикальные углы.

Параллельные прямые

Две прямые AB и CD называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Обозначение: AB|| CD. Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой.

Все перпендикуляры ( AB, CD, EF, рис

12 ) к одной и той же прямой KM параллельны между собой. Обратно, прямая KM, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются

восемь углов, которые попарно называются: 1) соответственные углы ( 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 ); эти углы попарно равны: ( 1 = 5; 2 = 6; 3 = 7; 4 = 8 ); 2) внутренние накрест лежащие углы ( 4 и 5; 3 и 6 ); они попарно равны; 3) внешние накрест лежащие углы ( 1 и 8; 2 и 7 ); они попарно равны; 4) внутренние односторонние углы ( 3 и 5; 4 и 6 ); их сумма равна 180° ( 3 + 5 = 180° ; 4 + 6 = 180° ); 5) внешние односторонние углы ( 1 и 7; 2 и 8 ); их сумма равна 180° ( 1 + 7 = 180°; 2 + 8 = 180°).

Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу (

если они оба острые, или оба тупые, 1 = 2, рис.14 ), либо их сумма равна 180° ( 3 + 4 = 180°, рис.15 ).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны

друг другу ( если они оба острые, или оба тупые ), либо их сумма равна 180°.

Теорема Фалеса

При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки:

Аксиомы геометрии Евклида

Аксиома принадлежности

Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.

Аксиома порядка

Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов

Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.

Аксиома параллельных прямых

Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда)

Для любых двух отрезков AB и CD существует конечный набор точек A1 , A2 ,…, An , лежащих на прямой AB, таких, что отрезки AA1 , A1A2 ,…, An – 1 An конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An .

Треугольник

Определение

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Углы в треугольнике

Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник.

Равнобедренный и равносторонний треугольник

Треугольник ABC - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC– равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a ? b ? c ) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. 2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны. 3. Сумма углов треугольника равна 180 ? . Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 ?. 4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: BCD = A + B. 5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны, если у них соответственно равны: a) две стороны и угол между ними; b) два угла и прилегающая к ним сторона; c) три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий: 1) равны их катеты; 2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого; 3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого; 4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого; 5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Высота в треугольнике

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Медиана

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные

прилегающим сторонам; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ).

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. c 2 = a 2 + b 2

Параллелограмм и трапеция

Определение

Параллелограмм ( ABCD, рис.32 ) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB = CD, AD = BC ). 2. Противоположные углы параллелограмма равны 3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ). 4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон: AC? + BD? = AB? + BC? + CD? + AD?

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий: 1. Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD, AD = BC ). 2. Противоположные углы попарно равны. 3. Две противоположные стороны равны и параллельны ( AB = CD, AB || CD ). 4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам (AO = OC, BO = OD ).

Прямоугольник

Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые. Такой параллелограмм называется прямоугольником ( рис.33 ) .

Основные свойства прямоугольника

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами. Диагонали прямоугольника равны: AC = BD. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон: AC 2 = AD 2 + DC 2

Ромб

Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят их углы пополам.

Квадрат

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами ( рис.35 ). Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно; поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

Трапеция и параллелограмм

Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.

Средняя линия

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему.

Подобие плоских фигур

Признаки подобия треугольников

Определение

Если изменить ( увеличить или уменьшить ) все размеры плоской фигуры в одно и то же число раз ( отношение подобия ), то старая и новая фигуры называются подобными.

Признаки подобия треугольников

Два треугольника подобны, если: 1) все их соответственные углы равны (достаточно равенства двух углов); 2) все их стороны пропорциональны; 3) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключённые между этими сторонами, равны.

Подобие прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника подобны, если: 1) их катеты пропорциональны; 2) катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого; 3) два угла одного треугольника равны двум углам другого.

Площади подобных фигур

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий ( например, сторон ). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров ( или радиусов ).