Параллельность
<<  Справочник планиметрии Планиметрия  >>
Планиметрия
Планиметрия
Теоремы, аксиомы, определения
Теоремы, аксиомы, определения
Прямая, луч, отрезок
Прямая, луч, отрезок
Углы
Углы
Прямой, острый, тупой углы
Прямой, острый, тупой углы
Перпендикулярные линии
Перпендикулярные линии
Знаки углов
Знаки углов
Смежные углы
Смежные углы
Вертикальные углы
Вертикальные углы
Параллельные прямые
Параллельные прямые
Все перпендикуляры ( AB, CD, EF, рис
Все перпендикуляры ( AB, CD, EF, рис
При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются
При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются
Планиметрия
Планиметрия
Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу (
Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу (
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса
Аксиомы геометрии Евклида
Аксиомы геометрии Евклида
Аксиома принадлежности
Аксиома принадлежности
Аксиома порядка
Аксиома порядка
Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов
Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов
Аксиома параллельных прямых
Аксиома параллельных прямых
Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда)
Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда)
Треугольник
Треугольник
Определение
Определение
Углы в треугольнике
Углы в треугольнике
Равнобедренный и равносторонний треугольник
Равнобедренный и равносторонний треугольник
Основные свойства треугольников
Основные свойства треугольников
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Высота в треугольнике
Высота в треугольнике
Медиана
Медиана
Биссектриса
Биссектриса
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные
Срединный перпендикуляр
Срединный перпендикуляр
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора
Параллелограмм и трапеция
Параллелограмм и трапеция
Определение
Определение
Свойства параллелограмма
Свойства параллелограмма
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма
Прямоугольник
Прямоугольник
Основные свойства прямоугольника
Основные свойства прямоугольника
Ромб
Ромб
Квадрат
Квадрат
Трапеция и параллелограмм
Трапеция и параллелограмм
Средняя линия
Средняя линия
Подобие плоских фигур
Подобие плоских фигур
Определение
Определение
Признаки подобия треугольников
Признаки подобия треугольников
Подобие прямоугольных треугольников
Подобие прямоугольных треугольников
Площади подобных фигур
Площади подобных фигур

Презентация: «Планиметрия». Автор: Daria. Файл: «Планиметрия.ppt». Размер zip-архива: 257 КБ.

Планиметрия

содержание презентации «Планиметрия.ppt»
СлайдТекст
1 Планиметрия

Планиметрия

Лекция 9

2 Теоремы, аксиомы, определения

Теоремы, аксиомы, определения

Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство. Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. Теоремы называются также леммами, свойствами, следствиями, правилами, признаками, утверждениями. Доказывая теорему, мы основываемся на ранее установленных свойствах; некоторые их них также являются теоремами. Однако некоторые свойства рассматриваются в геометрии как основные и принимаются без доказательств. Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства. Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет их истинность в совокупности. Можно построить систему аксиом различными способами. Однако важно, чтобы принятый набор аксиом был минимальным и достаточным для доказательства всех остальных геометрических свойств. Заменяя в этом наборе одну аксиому другой, мы должны будем доказывать заменённую аксиому, так как она теперь уже не аксиома, а теорема.

3 Прямая, луч, отрезок

Прямая, луч, отрезок

Мысленно можно неограниченно продолжить прямую линию в обе стороны. Мы рассматриваем прямую как бесконечную. Прямая линия, ограниченная с одного конца и неограниченная с другого, называется лучом. Часть прямой, ограниченная с двух сторон, называется отрезком.

4 Углы

Углы

Угол – это геометрическая фигура ( рис.1 ), образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ), исходящими из одной точки O ( вершина угла ).

5 Прямой, острый, тупой углы

Прямой, острый, тупой углы

Угол в 90° ( рис.2 ) называется прямым; угол, меньший, чем 90° ( рис.3 ), называется острым; угол, больший, чем 90° ( рис.4 ), называется тупым.

6 Перпендикулярные линии

Перпендикулярные линии

Прямые линии, образующие прямой угол, называются взаимно перпендикулярными.

7 Знаки углов

Знаки углов

Угол считается положительным, если вращение выполняется против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. Например, если луч OA смещается к лучу OB, то AOB = + 90 ? ; но на рис.5 AOB = – 90 ? .

8 Смежные углы

Смежные углы

Смежные углы – это углы AOB и COB, имеющие общую вершину O и общую сторону OB; две другие стороны OA и OC являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180°.

9 Вертикальные углы

Вертикальные углы

Вертикальные углы– это два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого: AOB и COD ( а также AOC и DOB ) - вертикальные углы.

10 Параллельные прямые

Параллельные прямые

Две прямые AB и CD называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Обозначение: AB|| CD. Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой.

11 Все перпендикуляры ( AB, CD, EF, рис

Все перпендикуляры ( AB, CD, EF, рис

12 ) к одной и той же прямой KM параллельны между собой. Обратно, прямая KM, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.

12 При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются

восемь углов, которые попарно называются: 1) соответственные углы ( 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 ); эти углы попарно равны: ( 1 = 5; 2 = 6; 3 = 7; 4 = 8 ); 2) внутренние накрест лежащие углы ( 4 и 5; 3 и 6 ); они попарно равны; 3) внешние накрест лежащие углы ( 1 и 8; 2 и 7 ); они попарно равны; 4) внутренние односторонние углы ( 3 и 5; 4 и 6 ); их сумма равна 180° ( 3 + 5 = 180° ; 4 + 6 = 180° ); 5) внешние односторонние углы ( 1 и 7; 2 и 8 ); их сумма равна 180° ( 1 + 7 = 180°; 2 + 8 = 180°).

13 Планиметрия
14 Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу (

Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу (

если они оба острые, или оба тупые, 1 = 2, рис.14 ), либо их сумма равна 180° ( 3 + 4 = 180°, рис.15 ).

15 Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны

друг другу ( если они оба острые, или оба тупые ), либо их сумма равна 180°.

16 Теорема Фалеса

Теорема Фалеса

При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки:

17 Аксиомы геометрии Евклида

Аксиомы геометрии Евклида

18 Аксиома принадлежности

Аксиома принадлежности

Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.

19 Аксиома порядка

Аксиома порядка

Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

20 Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов

Аксиома конгруэнтности (равенства) отрезков и углов

Если два отрезка (угла) конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны между собой.

21 Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых

Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

22 Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда)

Аксиома непрерывности (аксиома Архимеда)

Для любых двух отрезков AB и CD существует конечный набор точек A1 , A2 ,…, An , лежащих на прямой AB, таких, что отрезки AA1 , A1A2 ,…, An – 1 An конгруэнтны отрезку CD, a точка B лежит между A и An .

23 Треугольник

Треугольник

24 Определение

Определение

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

25 Углы в треугольнике

Углы в треугольнике

Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; стороны a, b, образующие прямой угол, называются катетами; сторона c, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из углов тупой, то это тупоугольный треугольник.

26 Равнобедренный и равносторонний треугольник

Равнобедренный и равносторонний треугольник

Треугольник ABC - равнобедренный, если две его стороны равны ( a = c ); эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC– равносторонний, если все его стороны равны ( a = b = c ). В общем случае ( a ? b ? c ) имеем неравносторонний треугольник.

27 Основные свойства треугольников

Основные свойства треугольников

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. 2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны. 3. Сумма углов треугольника равна 180 ? . Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 ?. 4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: BCD = A + B. 5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).

28 Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны, если у них соответственно равны: a) две стороны и угол между ними; b) два угла и прилегающая к ним сторона; c) три стороны.

29 Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий: 1) равны их катеты; 2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого; 3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого; 4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого; 5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

30 Высота в треугольнике

Высота в треугольнике

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

31 Медиана

Медиана

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

32 Биссектриса

Биссектриса

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга

33 Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные

прилегающим сторонам; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

34 Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ).

35 Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. c 2 = a 2 + b 2

36 Параллелограмм и трапеция

Параллелограмм и трапеция

37 Определение

Определение

Параллелограмм ( ABCD, рис.32 ) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

38 Свойства параллелограмма

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB = CD, AD = BC ). 2. Противоположные углы параллелограмма равны 3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам ( AO = OC, BO = OD ). 4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон: AC? + BD? = AB? + BC? + CD? + AD?

39 Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий: 1. Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD, AD = BC ). 2. Противоположные углы попарно равны. 3. Две противоположные стороны равны и параллельны ( AB = CD, AB || CD ). 4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам (AO = OC, BO = OD ).

40 Прямоугольник

Прямоугольник

Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые. Такой параллелограмм называется прямоугольником ( рис.33 ) .

41 Основные свойства прямоугольника

Основные свойства прямоугольника

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами. Диагонали прямоугольника равны: AC = BD. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон: AC 2 = AD 2 + DC 2

42 Ромб

Ромб

Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят их углы пополам.

43 Квадрат

Квадрат

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами ( рис.35 ). Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно; поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

44 Трапеция и параллелограмм

Трапеция и параллелограмм

Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.

45 Средняя линия

Средняя линия

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему.

46 Подобие плоских фигур

Подобие плоских фигур

Признаки подобия треугольников

47 Определение

Определение

Если изменить ( увеличить или уменьшить ) все размеры плоской фигуры в одно и то же число раз ( отношение подобия ), то старая и новая фигуры называются подобными.

48 Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников

Два треугольника подобны, если: 1) все их соответственные углы равны (достаточно равенства двух углов); 2) все их стороны пропорциональны; 3) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, a углы, заключённые между этими сторонами, равны.

49 Подобие прямоугольных треугольников

Подобие прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника подобны, если: 1) их катеты пропорциональны; 2) катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого; 3) два угла одного треугольника равны двум углам другого.

50 Площади подобных фигур

Площади подобных фигур

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий ( например, сторон ). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров ( или радиусов ).

«Планиметрия»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/planimetrija-211759.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды