Презентация на тему «Подобие фигур»

Презентация по геометрии по теме: «Подобие фигур»

Преподаватель: Петренко Валентина Ивановна Выполнили: Колесникова Анна Фомина Мария Тельных Анна

История возникновения преобразований, преобразования подобия

Искусство изображать предметы на плоскости с древних времен привлекало

к себе внимание человека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возникла письменность. Ещё в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. Длинная практика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильно выразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о соответствии и преобразовании. Инженер и архитектор Дезарг в1630 г. впервые разработал основы математической теории перспективы. Своими трудами он положил начало изучению перспективных преобразований, под которыми в последствии стали понимать отображение фигуры, данной в одной плоскости, на другую плоскость посредствам центрального проектирования или ряда последовательных проектирований.

Растущие потребности технического прогресса требовали научной

разработки теории преобразований, обеспечивающей точность отображения объектов на плоскость с соблюдением размеров. Возникшая проблема решалась усилиями многих талантливых людей. Большой вклад в дело исследования взаимнооднозначного соответствия на плоскости и в пространстве сделал немецкий геометр Мёбиус (1746-1818). Позже Ф. Клейн (1849-1927) положил различные группы преобразований в основу классификаций различных геометрий: аффинной (группа аффинных преобразований), проективной (группа проективных преобразований) и т. д. Частным случаем аффинного преобразования является преобразование подобия, в котором растяжение или сжатие происходит равномерно, т. е. одинаково вдоль каждой координатной оси.

Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в

вавилонских и египетских памятниках. Учение о подобие фигур на основе теории отношении и пропорции было создано в Древней Греции в 5-6 в. в. до н.э. трудами Гиппократа Хеосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Символ обозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S-первая буква в слове similes, что в переводе означает подобие. Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широко использовались при составлении планов, карт, при выполнение архитектурных чертежей различных деталей машин и механизмов.

ЕВКЛИД (Eukleides) III век до н. э

Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из

дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона, а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы.

Преобразование подобия

Запомните

Теорема 11.1 ГОМОТЕТИЯ ЕСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ.

Свойства преобразования подобия

Свойства Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова

пространства на себя. Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками. Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой. Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность. При подобии угол сохраняет величину. Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом. Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом. Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную. Два треугольника являются подобными, если их соответственные углы равны, или стороны пропорциональны. Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов). Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Подобие фигур

Запомните

Если фигура f1 подобна фигуре f2, а фигура f2 подобна фигуре f3, то фигуры f1 и f3 подобны.

Доказательство

Пусть точки X1 и Y1 – две произвольные точки фигуры F1. При преобразовании подобия, фигура F1 переходит в фигуру F2, при этом точки X1 и Y1 переходят в X2 и Y2 так, что X2Y2 = k1*X1Y1 Соответственно преобразование подобия переводит фигуру F2 в F3 и X3Y3 = k2*X2Y2. Следовательно, X3Y3 = k2*X2Y2=k2*k1*X1Y1. Как видно, что преобразование фигуры F1 в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Значит фигуры F1 и F3 подобны. Теорема доказана.

Признак подобия треугольников по двум углам

Зпомните

Теорема 11.2 ЕСЛИ ДВА УГЛА ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ ДВУМ УГЛАМ ДГУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ.

Доказательство

Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ?CAB = ? C1A1B1, ? ABC = ? A1B1C1. Докажем, что ? ABC подобен ? A1B1C1. Пусть k = AB:A1B1. Подвергнем ? A1B1C1 гомотетии с коэффициентом k. Получится некоторый ? A2B2C2. ? A2B2C2 = ? ABC по второму признаку равенства треугольников (? C2A2B2 = ?C1A1B1 = ? CAB, ? A2B2C2 = ? A1B1C1 = ?ABC так как преобразование подобия сохраняет углы, A2B2 = kA1B1 = AB, по условию). Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 гомотетичны, следовательно подобны. ? A2B2C2 = ? ABC, следовательно подобны тоже, а значит треугольники A1B1C1 и ABC подобны. Теорема доказана.

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Запомните

Теорема 11.3 ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ДВУМ СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА И УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ЭТИМИ СТОРОНАМИ, РАВНЫ, ТО ТРЕУГОЛЬНИКИ ПОДОБНЫ.

Доказательство

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Запомните

Теорема 11.2 Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Подобие прямоугольных треугольников

Запомните

Для подобных прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Запомните

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Контрольные вопросы

Что такое преобразование подобия? Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)? Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. Какие фигуры называются подобными? Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников? Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.

Контрольные вопросы

Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.