Подобие фигур

Подобие фигур

Презентацию подготовила учитель математики 1 категории МБОУ «Школа №14» Вахитовского района г.Казани Горшкова Галина Александровна

«Посредством формул, теорем Я уйму разрешал проблем»

Содержание

Основные вопросы исследований Цели и задачи проекта Результаты исследований Цели урока Историческая справка Фалес и его исследования Признаки подобия треугольников Гомотетия Подобие фигур и его свойства Площади подобных фигур Тест Самостоятельная работа Проверка самостоятельной работы Автоподобные фигуры Фракталы Заключение

Темы самостоятельных исследований: « Как измерить высоту здания, не

влезая на него?» «Как измерить расстояние от берега до корабля, не входя в воду?»

Результаты представления исследований: презентация, самостоятельная работа, проверка самостоятельной работы, тест

Цели урока

Знакомство и изучение признаков подобия треугольников, свойств преобразования подобия Знакомство с биографией и исследованиями Фалеса Закрепление и совершенствование знаний и умений Показать красоту науки математики Активизация и развитие познавательных и творческих способностей учащихся

Построение подобных фигур в древности

В одной из древнеегипетских гробниц была обнаружена каменная плита, на которую был перенесен рисунок с помощью разбиения плоскости на квадраты. Этот метод используют художники для увеличения, уменьшения или просто перенесения изображения. В Вавилоне и Египте рисовались и использовались в жизни подобные фигуры за много веков до того, как было определено понятие «подобие».

Фалес

(624-547гг. До н. Э.)

Фалес-крупнейший мыслитель древней Греции- считается одним из первых древнегреческих геометров и философов,крупнейший астроном. Он первый в истории науки предсказал солнечное затмение 23 мая 585 года до нашей эры. Много внимания Фалес уделял геометрии,ему принадлежит открытие многих теорем. Фалесу принадлежат способы нахождения высоты пирамиды и различных предметов по их тени.

Однажды подобие прямоугольных треугольников помогло древнегреческому

учёному Фалесу Милетскому измерить высоту Египетской пирамиды. В один из солнечных дней Фалес вместе с главным жрецом храма Изиды проходил мимо пирамиды Хеопса. - Знает ли кто-либо, какова её высота? – спросил он. - Нет, сын мой, - ответил жрец – Древние папирусы не сохранили нам этого, а наши знания не дают возможности судить о ней даже приблизительно. - Но ведь это можно сказать совсем точно и даже сейчас, - воскликнул Фалес – Вот смотри, мой рост 3 царских вавилонских локтя. А вот моя тень. Её длина такая же. И какой бы ты предмет ни взял именно в это время, тень от него, если ты поставишь его вертикально, точно равна длине предмета. Этот предмет и его тень образуют прямоугольный треугольник; знай же, что такие треугольники подобны. Фалес привёл в удивление жрецов измерив высоту пирамиды без всяких приборов по отбрасываемой ею тени.

Подобие треугольников

1.Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

3. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Гомотетия

Гомотетия есть преобразование подобия. Если S- центр гомотетии, k- коэффициент гомотетии, тогда SX'=kSX ( k>0).

S

Х

Х'

Подобие фигур

Свойства подобия

Если произвольные точки X и Y фигуры F переходят в точки X' и Y' фигуры F' так, что

Преобразование подобия переводит: прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Сохраняет: углы между полупрямыми.

X'y'=kxy, то такое преобразование называется преобразованием подобия.

Y

Y'

X

X'

Площади подобных фигур

Площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров

А

А'

«Любопытный отыскивает редкости только затем, чтобы им удивляться,

любознательный же затем, чтобы узнать их и перестать удивляться» Р. Декарт.

Рассмотрим пример самоподобной (автоподобной) фигуры, придуманной

польским математиком В.Серпинским (1882-1969) и называемую ковром Серпинского. Она получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. А именно, разделим данный квадрат на девять равных квадратов и серединный квадрат вырежем. Получим квадрат с дыркой. Для оставшихся восьми квадратов повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты вырежем . Повторяя эту процедуру, будем получать все более дырявую фигуру . То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского. Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.

Ковер Серпинского

Автоподобные фигуры (фракталы)

Примером автоподобной фигуры является золотая спираль, геометрическим

свойством этой спирали является то, что каждый следующий виток подобен предыдущему. В форме золотой спирали закручиваются раковины многих моллюсков, в виде этой спирали плетут свою паутину пауки и даже галактика солнечной системы закручивается по золотой спирали. Пропорциональность проявляется везде: в подобном строении дерева и его ветвей, в формах снежинок и кристаллов. Стекло и хрусталь состоят из мельчайших частиц, кристаллов, автободобных фигур. Поверхность хрустальной вазы состоит из геометрических фигур, которые подобны друг другу.

Геометрия это наука, которая обладает всеми свойствами хрустального

стекла, такая же прозрачная в рассуждениях, безупречная в доказательствах, ясная в ответах, гармонично сочетающая в себе прозрачность мысли и красоту человеческого разума. Геометрия до конца не изученная наука, и может быть, многие открытия ждут именно вас.