Окружность
<<  Решение задач ЕГЭ и ГИА с помощью кругов Эйлера Теории национальной экономики: от классики «богатства народов» до современного «порочного круга нищеты» (конспект учебников Р.М. Нуреева)  >>
Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»
Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»
Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»
Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»
Цель исследования:
Цель исследования:
Методы исследования:
Методы исследования:
Определение
Определение
Дано: АВС Окр
Дано: АВС Окр
Свойство 2.Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания
Свойство 2.Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания
ra
ra
ra
ra
Теорема3
Теорема3
Теорема 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей,
Теорема 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей,
Теорема 5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных
Теорема 5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных
Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы
Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы
Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp
Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp
Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем,
Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем,
Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,
Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,
ЗАДАЧА №1 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
ЗАДАЧА №1 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
ЗАДАЧА №2 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
ЗАДАЧА №2 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
ЗАДАЧА №3 (сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А
ЗАДАЧА №3 (сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А
Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в
Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в
ЗАДАЧА 5. (Сборник « Математика
ЗАДАЧА 5. (Сборник « Математика
Так как О2 –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении
Так как О2 –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении
3. Заключение
3. Заключение
Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»
Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»

Презентация: «Построение окружности вписанной в треугольник 7 класс». Автор: Валя. Файл: «Построение окружности вписанной в треугольник 7 класс.ppt». Размер zip-архива: 780 КБ.

Построение окружности вписанной в треугольник 7 класс

содержание презентации «Построение окружности вписанной в треугольник 7 класс.ppt»
СлайдТекст
1 Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»

Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»

Секция « математика» Выполнила: Маломагомедова Людмила ученица 9 класса МБОУ КИРОВСКАЯ СОШ

2 Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»
3 Цель исследования:

Цель исследования:

1. Ввести определение вневписанной окружности треугольника. 2.Рассмотреть свойства вневписанных окружностей треугольника. 3. Показать применение свойств вневписанной окружности при решении задач на доказательство, построение и вычисление.

4 Методы исследования:

Методы исследования:

метод теоретического анализа учебной литературы; метод обобщения справочных и познавательных материалов первоисточников; практическое применение при решении задач ГИА и ЕГЭ.

5 Определение

Определение

Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон

N

М

H

6 Дано: АВС Окр

Дано: АВС Окр

(О; r) М, N, К – точки касания Доказать (1) Решение: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.

Свойство 1.Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника

7 Свойство 2.Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания

Свойство 2.Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания

вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ1 = АС1 = p

ra

ra

ra

Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа; ra ) Доказать, что АВ1 = АС1 = p Доказательство: Т.к. Оа - центр вневписанной окружности. Касательные, прове - денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1. Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1 т.е. АВ1 = АС1 = p.

В1

В

Оа

А1

А

С1

С

?/2

?/2

8 ra

ra

ra

ra

Теорема1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. ra = p·tg , rb = p·tg , rc = ptg

Дано: ? АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать: Решение: В прямоугольном треугольнике А Оа С1 ra и p – длины катетов, угол Оа А С1 равен , поэтому ra = ptg .

p

В1

В

c

Оа

А

b

С

С1

p

9 ra

ra

ra

ra

Теорема2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. ra = , rb = , rc =

p

В1

В

c

Оа

А

b

С

С1

p

Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать ra = , rb = , rc = Решение: Имеем S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = ? (b + c – a) = ra? (p – a), т.е. ra =

10 Теорема3

Теорема3

Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R

Доказательство: Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника: r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит, ra + rb + rc – r = + + - = = = = = = 4R

11 Теорема 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей,

Теорема 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей,

равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е.

Доказательство: Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит,

12 Теорема 5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных

Теорема 5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных

окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. rarb + rbrc + rcra = p2

Доказательство: Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , ra = , rb = , rc = Подставим Из формулы Герона следует (p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому

13 Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы

Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы

Герона ra = , rb = , rc = , Тогда

Теорема 6. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. rarbrc = rp2

14 Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp

Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp

p = Sp. Следовательно

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е.

15 Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем,

Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем,

перемножая их почленно, . Значит

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е.

16 Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,

Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,

§ 5. Следствие 3. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. , ,

17 ЗАДАЧА №1 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

ЗАДАЧА №1 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

В-16. «Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6.» Решение: Согласно следствию 2, произведение радиусов можно найти по формуле rarbrc = rp2. Где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р=4+5+6=15, р=15/2=7,5. r =S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =?р(p?a)(p?b)(p?a). S= ?7,5(7,5-4)(7,5-5)(7,5 -6) = 3,75?7; r=3,75 ?7 : 7,5=?7/2. Отсюда rarbrc =(?7/2) :(15/2)? =225 ?7/8 Ответ: 225 ?7 8

18 ЗАДАЧА №2 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

ЗАДАЧА №2 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21. Решение: S=abc/4R ,следовательно abc=S·4R. 4R=ra+rb+rc-r; S=rarbrc/p; p?=?rarb+rarc+rbrc;p?=9·18+9·21+18·21=27?; S=9·18·21/27=126; 4R=ra+rb+rc-r; r=ra·rb·rc/p?; r=9·18·21/27?=14/3; 4R = 9+18+21- 14/3 = 130/3; abc=126·130/7=5460 Ответ: 5460

19 ЗАДАЧА №3 (сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А

ЗАДАЧА №3 (сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А

Мальцева)

Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. Решение: Сделаем чертеж к данной задачи. Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то –это вневписанная окружность.

20 Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в

Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в

точке пересечения биссектрис, то AF-биссектриса угла ВАС, а AO – биссектриса угла CAD

D

А

В

F

O

O

r

К

С

?FAO – прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. АК – высота, проведенная к гипотенузе. AK?=FK·KO, 5?=FK·7,5; FK=25:7,5=10/3/. FK – радиус вписанной в ?АВС окружности, следовательно r = 10/3. Ответ: 10/3

21 ЗАДАЧА 5. (Сборник « Математика

ЗАДАЧА 5. (Сборник « Математика

Все для ЕГЭ 2011». Часть I. Автор Д. А. Мальцев) « Точка О1 - центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О2 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите расстояние между точками О1 и О2 , если радиус описанной окружности треугольника АВС равен 6, а sin ?ВО1С = ?5/3.

22 Так как О2 –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении

Так как О2 –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении

биссектрис внешних углов к углам В и С треугольника АВС и биссектрисы угла А. Выразим ?ВО1С через ?А. Рассмотрим ? ВО1С. ?ВО1С = 180° - ?( ?В +?С) = 180° - ?(180° - ?А)= 90° + ??А. sin ?ВО1С = sin (90° + ?А) = cos(??А) = ?5/3. Т.к. sin?(??А) + cos?(??А) =1, следует, что sin (??А)=?. К – точка пересечения биссектрисы угла ВАС с окружностью описанной около треугольника АВС. Т.к. ВО1 и ВО2 биссектрисы смежных углов, то ?О2ВО1 =90°. Следовательно, О1О2 гипотенуза прямоугольного треугольника О1ВО2. Поскольку ?СВК =?КАС(как вписанные углы опирающиеся на одну дугу), то ?О1ВК =?СВК + ?СВО1 = ??А + ??В. А поскольку ?ВО1К = ??А + ??В, то О1ВК = ?ВО1К, и, значит ?ВО1К – равнобедренный, ВК=О1К. Из равенства углов ?О1ВК= ?ВО1К, следует, ?О2ВК = ?ВО2К (?О2ВК=90° - ?О1ВК, ?ВО2К = 90° - ?ВО1К). Поэтому ?ВО2К также равнобедренный, ВК=О2К. Из равенств ВК=О1К и ВК=О2К получаем, что О1О2 = 2ВК. Длину отрезка ВК найдем из треугольника АВК по теореме синусов: ВК=2Rsin?BAK. Т.к sin?BAK = sin (??А)=?, а R=6(по условию), то ВК=2·6·?=8, О1О2=2ВК=16. Ответ: 16

23 3. Заключение

3. Заключение

Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся при подготовке к итоговой аттестации.

24 Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность»
«Построение окружности вписанной в треугольник 7 класс»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/postroenie-okruzhnosti-vpisannoj-v-treugolnik-7-klass-184283.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Окружность > Построение окружности вписанной в треугольник 7 класс