Золотое сечение
<<  Построение сечений многогранников Построение сечений многогранников  >>
Построение сечений многогранников
Построение сечений многогранников
Определение сечения
Определение сечения
Сечение
Сечение
Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками
Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками
Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками
Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками
Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками
Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками
Аксиоматический метод
Аксиоматический метод
Призма
Призма
L
L
L
L
L
L
L
L
Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N
Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N
Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N
Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N
Метод вспомогательных сечений
Метод вспомогательных сечений
На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды
На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды
3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р'Q' и R'С, а затем
3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р'Q' и R'С, а затем
6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C'Q, D', D'R, А', А'Р,
6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C'Q, D', D'R, А', А'Р,
Комбинированный метод
Комбинированный метод
Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q
Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q
4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L
4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L
9. Проведем PM
9. Проведем PM

Презентация: «Построение сечений многогранников». Автор: Юлия. Файл: «Построение сечений многогранников.ppt». Размер zip-архива: 227 КБ.

Построение сечений многогранников

содержание презентации «Построение сечений многогранников.ppt»
СлайдТекст
1 Построение сечений многогранников

Построение сечений многогранников

2 Определение сечения

Определение сечения

Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

3 Сечение

Сечение

Секущая плоскость

A

N

M

?

K

D

B

C

4 Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками

Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками

D

D

А

С

А

С

В

В

Построение:

1. Отрезок MN

1. Отрезок MP

2. Луч NP; луч NP пересекает АС в точке L

2. Отрезок PN

3. Отрезок MN

3. Отрезок ML

MPN – искомое сечение

MNL –искомое сечение

M

N

M

P

L

P

N

Построение:

5 Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками

Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками

D

Построение:

P

2. Отрезок NP

NQRP – искомое сечение

N

С

А

E

R

Q

В

1. Отрезок NQ

Прямая NP пересекает АС в точке Е

3. Прямая EQ

EQ пересекает BC в точке R

6 Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками

Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками

D

А

C

B

Построение:

1. MN; отрезок МК

2. MN пересекает АВ в точке Х

3. ХР; отрезок SL

MKLS – искомое сечение

M

N

S

P

K

L

X

7 Аксиоматический метод

Аксиоматический метод

Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .

8 Призма

Призма

Секущая плоскость

Сечение

Плоскость основания

Даны три точки на боковых ребрах

9 L

L

M

F

K

N

G

B

C

O

A

D

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

Проводим через точки F и O прямую FO.

Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью.

Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

10 L

L

M

F

K

N

G

B

C

O

A

D

Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания

Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO.

Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.

Аналогичным образом получим точку R.

Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости

Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

11 L

L

M

F

N

K

G

B

C

O

A

D

Шаг 3: делаем разрезы на других гранях

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе.

Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD.

Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

12 L

L

M

Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G.

F

K

N

G

G

B

C

O

A

D

Шаг 4: выделяем сечение многогранника

13 Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N

P.

F

D

А

Y

C

B

XY – след секущей плоскости на плоскости основания

Z

X

M

P

N

S

14 Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N

P.

F

XY – след секущей плоскости на плоскости основания

D

А

B

C

Y

X

Z

S

M

P

N

15 Метод вспомогательных сечений

Метод вспомогательных сечений

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственное». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

16 На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды

На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды

плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.

1. Находим точки Р', Q' и R' и затем строим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, определяемой какими-нибудь двумя пересекающимися прямыми из трех прямых MP, MQ и МR. Например, плоскостью МРQ.

2. Построим другое вспомогательное сечение пирамиды плоскостью определяемой двумя пересекающимися прямыми, одна из которых — это прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след плоскости PQR. Например, прямая МС.

B(P’)

17 3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р'Q' и R'С, а затем

3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р'Q' и R'С, а затем

строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.

4. В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим точку F'=PQ пересекается MF. 5. Так как точка F' лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости PQR. Тогда и прямая RF, лежит в плоскости PQR. Проводим прямую RF', и находим точку С'=RF' пересекается МС. Точка С', таким образом, лежит и на прямой МС, и в плоскости PQR, т. е. она является следом плоскости PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).

М

P

C’

Q

F’

R

B(P’)

C

Q’

F

А

R’

D

18 6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C'Q, D', D'R, А', А'Р,

6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C'Q, D', D'R, А', А'Р,

РС'. Четырехугольник РС'D'А' — искомое сечение

М

P

C’

Q

R

D’

Q’

F

А

R’

D

R’

19 Комбинированный метод

Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

20 Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q

Постройте сечение куба, проходящее через точки P, R, Q

1. Точки P и R лежат в одной плоскости, проведём прямую PR.

2. Прямая PR лежит в плоскости AA’B’B, точка Q лежит в плоскости DD’C’C, параллельной AA’B’B.

3. Проведём через точку Q прямую параллельную прямой PR, получим точку K

B’

C’

P

A’

D’

Q

R

C

B

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

K

D

A

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

21 4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L

4. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L

5. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK

6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.

7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D.

8. Проведём прямую параллельную прямой RF, через точку Q, получим точку M.

B’

M

C’

P

A’

D’

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Q

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

R

C

B

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

K

A

D

F

L

Теорема

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

22 9. Проведем PM

9. Проведем PM

10. Полученный шестиугольник является искомым сечением

B’

M

C’

P

A’

D’

Q

R

C

B

K

A

D

F

«Построение сечений многогранников»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/postroenie-sechenij-mnogogrannikov-151228.html
cсылка на страницу

Золотое сечение

9 презентаций о золотом сечении
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Золотое сечение > Построение сечений многогранников