Симметрия
<<  Пресноводная гидра – двухслойное животное с лучевой симметрией тела Симметрия  >>
Поворотная симметрия n-ого порядка
Поворотная симметрия n-ого порядка
Оглавление
Оглавление
Виды симметрии
Виды симметрии
Осевая (зеркальная) симметрия
Осевая (зеркальная) симметрия
На рисунке показан простой пример объекта и его зазеркального двойника
На рисунке показан простой пример объекта и его зазеркального двойника
Примеры осевой симметрии
Примеры осевой симметрии
Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось
Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось
Равносторонний треугольник - три основные симметрии
Равносторонний треугольник - три основные симметрии
Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси
Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси
Квадрат имеет четыре оси симметрии
Квадрат имеет четыре оси симметрии
У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её
У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии
Центральная симметрия
Центральная симметрия
Поворотная симметрия
Поворотная симметрия
На рисунке даны примеры простых объектов с поворотными осями разного
На рисунке даны примеры простых объектов с поворотными осями разного
Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные
Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные
Зеркально-поворотная симметрия
Зеркально-поворотная симметрия
Затем отогните углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний
Затем отогните углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний
Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей
Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей
Построение фигур, обладающих поворотной симметрией
Построение фигур, обладающих поворотной симметрией
Ещё со времён Пифагора греческие учёные проявляли интерес к правильным
Ещё со времён Пифагора греческие учёные проявляли интерес к правильным
При помощи циркуля и линейки древние геометры умели строить правильные
При помощи циркуля и линейки древние геометры умели строить правильные
Пример построения правильного пятиугольника
Пример построения правильного пятиугольника
Одни из указанных фигур могут получиться на основе других
Одни из указанных фигур могут получиться на основе других
Умея строить правильный n-угольник, нетрудно получить правильный 2n-,
Умея строить правильный n-угольник, нетрудно получить правильный 2n-,
А вот правильный n-угольник, для которого n=km, а числа k и m взаимно
А вот правильный n-угольник, для которого n=km, а числа k и m взаимно
Знаменитый немецкий математик К.Ф. Гаусс (1777-1855) доказал следующую
Знаменитый немецкий математик К.Ф. Гаусс (1777-1855) доказал следующую
Задача построения правильного n-угольника сводится к делению
Задача построения правильного n-угольника сводится к делению
Поворотная симметрия в природе
Поворотная симметрия в природе
Например, для цветка молочая n=2, он совмещается сам с собой при
Например, для цветка молочая n=2, он совмещается сам с собой при
Для триллиума и ириса n=3, а подходящие углы поворота - 120
Для триллиума и ириса n=3, а подходящие углы поворота - 120
Нередко встречаются цветы с поворотной симметрий 4-го порядка (сирень,
Нередко встречаются цветы с поворотной симметрий 4-го порядка (сирень,
6-го порядка (лилия, шафран)
6-го порядка (лилия, шафран)
8-го порядка (космея, сангвинария)
8-го порядка (космея, сангвинария)
И более высокого порядка, но особенно часто – 5-го (герань, лютик)
И более высокого порядка, но особенно часто – 5-го (герань, лютик)
И всё-таки семицветик нашёлся
И всё-таки семицветик нашёлся
Остаётся добавить, что цветки семью лепестками встречаются и у
Остаётся добавить, что цветки семью лепестками встречаются и у
Примеры снежинок под микроскопом и их схемы показывают наличие
Примеры снежинок под микроскопом и их схемы показывают наличие
Поворотная симметрия n-ого порядка
Поворотная симметрия n-ого порядка
Поворотная симметрия в искусстве
Поворотная симметрия в искусстве
В декоративных элементах преобладает поворотная симметрия порядка n,
В декоративных элементах преобладает поворотная симметрия порядка n,
Список литературы
Список литературы

Презентация: «Поворотная симметрия n-ого порядка». Автор: ТАТЬЯНА. Файл: «Поворотная симметрия n-ого порядка.pptx». Размер zip-архива: 4993 КБ.

Поворотная симметрия n-ого порядка

содержание презентации «Поворотная симметрия n-ого порядка.pptx»
СлайдТекст
1 Поворотная симметрия n-ого порядка

Поворотная симметрия n-ого порядка

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. Г. Вейль

2 Оглавление

Оглавление

Виды симметрии Построение фигур, обладающих поворотной симметрией Поворотная симметрия в природе Поворотная симметрия в искусстве Список литературы

3 Виды симметрии

Виды симметрии

Осевая (зеркальная) симметрия. Центральная симметрия. Поворотная симметрия. Зеркально-поворотная симметрия.

К Оглавлению

4 Осевая (зеркальная) симметрия

Осевая (зеркальная) симметрия

Две точки называются симметричными относительно прямой a, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе. Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

К Видам Симметрии

5 На рисунке показан простой пример объекта и его зазеркального двойника

На рисунке показан простой пример объекта и его зазеркального двойника

– треугольник ABC и треугольник А1В1С1 (здесь MN – пересечение плоскости зеркала с плоскостью рисунка). Каждой точке объекта соответствует определённая точка зазеркального двойника. Эти точки находятся на одном перпендикуляре к прямой MN, по разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё. Объект на рисунке выбран для простоты двухмерным. В общем случае объект (и соответственно его зазеркальный двойник) является трёхмерным.

6 Примеры осевой симметрии

Примеры осевой симметрии

У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла.

7 Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось

Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось

симметрии.

8 Равносторонний треугольник - три основные симметрии

Равносторонний треугольник - три основные симметрии

9 Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси

симметрии

10 Квадрат имеет четыре оси симметрии

Квадрат имеет четыре оси симметрии

11 У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её

У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её

центр, является осью симметрии

12 Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии

К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

13 Центральная симметрия

Центральная симметрия

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. Примеры центральной симметрии. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм

К Видам Симметрии

14 Поворотная симметрия

Поворотная симметрия

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360?/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка. Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180? вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180?. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф».

К Видам Симметрии

15 На рисунке даны примеры простых объектов с поворотными осями разного

На рисунке даны примеры простых объектов с поворотными осями разного

порядка – от 2-го до 5-го.

У трехмерного объекта может быть несколько поворотных осей. Например, первый объект на рисунке имеет не одну, а три поворотные оси 2-го порядка, второй объект имеет наряду с поворотной осью 3-го порядка три поворотные оси 2-го порядка, третий объект имеет наряду с поворотной осью 4-го порядка четыре поворотные оси 2-го порядка (дополнительные поворотные оси показаны на рисунке штриховыми прямыми).

16 Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные

Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные

оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.

Рассмотрим, например, геометрическое тело, составленное из двух одинаковых правильных четырехугольных пирамид.

Оно имеет одну поворотную ось 4-го порядка (ось АВ), четыре поворотные оси 2-го порядка (оси СЕ, DF, MP, NQ), пять плоскостей симметрии (плоскости CDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

17 Зеркально-поворотная симметрия

Зеркально-поворотная симметрия

Доказать, что существует такой вид симметрии можно самостоятельно следующим образом: Вырежьте из плотной бумаги квадрат и впишите внутрь его косо другой квадрат (рис.1).

К Видам Симметрии

18 Затем отогните углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний

Затем отогните углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний

квадрат (соседние углы отгибаются в противоположные стороны). В результате получите объект, показанный на рисунке (рис.2)

.

19 Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей

Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей

симметрии. Будем рассматривать изделия сначала сверху, а затем снизу (с противоположной стороны листа бумаги). Мы обнаружим, что никакого различия между «верхом» и «низом» нет; в обоих случаях объект выглядит одинаково. В связи с этим возникает мысль, что поворотная симметрия 2-го порядка не исчерпывает всей симметрии данного объекта. Дополнительная симметрия, которой обладает наш объект, - это так называемая зеркально-поворотная симметрия: объект совмещается сам с собой в результате поворота на 90? вокруг оси АВ и последующего отражения в плоскости CDEF. Ось АВ называют зеркально-поворотной осью 4-го порядка. Таким образом, здесь наблюдается симметрия относительно двух последовательно выполняемых операций – поворота на 90? и отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота.

20 Построение фигур, обладающих поворотной симметрией

Построение фигур, обладающих поворотной симметрией

В основе построения фигуры, обладающей поворотной симметрией n-ого порядка, лежит тот факт, что в такой фигуре можно выделить базовый элемент. Поворачивая данный элемент n-1 раз вокруг центра симметрии на угол и копируя его, можно получить исходную фигуру. Возможность такого построения с помощью циркуля и линейки определяется возможностью построения угла . Таким образом, мы приходим к задаче о разбиении окружности на n равных частей или эквивалентной задачи о построении правильного n-угольника при помощи циркуля и линейки. Эта задача, кстати, стоит наряду с тремя знаменитыми задачами древности: квадратурой круга, трисекцией угла и удвоением куба. И попала туда не только благодаря своей многовековой истории, но и потому, что не всегда разрешима с помощью упомянутых инструментов.

К Оглавлению

21 Ещё со времён Пифагора греческие учёные проявляли интерес к правильным

Ещё со времён Пифагора греческие учёные проявляли интерес к правильным

многоугольникам и развивали искусство их точного построения. Впоследствии эти знания были систематизированы Евклидом и изложены в 4-ой книге «Начало».

22 При помощи циркуля и линейки древние геометры умели строить правильные

При помощи циркуля и линейки древние геометры умели строить правильные

n-угольники с числом сторон, равным 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15. При этом использовалась окружность, описанная около многоугольника.

23 Пример построения правильного пятиугольника

Пример построения правильного пятиугольника

Пусть O-центр окружности, A-точка на окружности и Е–середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE=ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника

24 Одни из указанных фигур могут получиться на основе других

Одни из указанных фигур могут получиться на основе других

Так, имея квадрат, легко построить правильный восьмиугольник: достаточно разделить пополам каждую из четырёх дуг, на которые вершины квадрата разбивают описанную около него окружность. Всего на окружности будут отмечены восемь точек – вершин искомой фигуры. Остаётся последовательно соединить их отрезками.

25 Умея строить правильный n-угольник, нетрудно получить правильный 2n-,

Умея строить правильный n-угольник, нетрудно получить правильный 2n-,

затем 4n-, 8n- и вообще всякий правильный -угольник, повторяя процедуру деления необходимое число раз. Отсюда следует, что достаточно решить исходную задачу для правильных многоугольников с нечётным числом сторон.

26 А вот правильный n-угольник, для которого n=km, а числа k и m взаимно

А вот правильный n-угольник, для которого n=km, а числа k и m взаимно

просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), можно построить на основе двух правильных многоугольников–с числом сторон k и m, вписанных в одну окружность. В «Началах» Евклида приводится решение этой задачи для пятнадцатиугольника

27 Знаменитый немецкий математик К.Ф. Гаусс (1777-1855) доказал следующую

Знаменитый немецкий математик К.Ф. Гаусс (1777-1855) доказал следующую

теорему. Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители: где m-целое неотрицательное число, а – различные между собой простые числа вида

28 Задача построения правильного n-угольника сводится к делению

Задача построения правильного n-угольника сводится к делению

окружности на n равных частей. Один практический приём такого деления предложил французский математик Н. Бион.

Прием этот состоит в следующем: Пусть требуется разделить окружность, например, на 9 равных частей. На диаметре окружности строится равносторонний треугольник ABC. Диаметр AB делим на 9 равных частей (разделить данный отрезок на n равных частей можно с помощью теоремы Фалеса). Соединяя вторую точку деления с вершиной треугольника C, продолжим прямую до пересечения с окружностью в точке D. Дуга AD является девятой частью окружности, хорда AD- стороной правильного девятиугольника. В общем случае метод подходит для деления окружности на частей и имеет погрешность построения не превышающую 1%.

29 Поворотная симметрия в природе

Поворотная симметрия в природе

Цветы издавна считаются символом красоты и совершенства. По словам известного математика Германа Вейля (1885-1955), человек на протяжении веков пытался постичь и то и другое посредством симметрии Как истинный учёный, он считал, что цветы достойны внимания исследователя, потому что обладают свойством поворотной симметрии, весьма распространённой в мире растений.

К Оглавлению

30 Например, для цветка молочая n=2, он совмещается сам с собой при

Например, для цветка молочая n=2, он совмещается сам с собой при

повороте на углы 180? и 360?.

Порядок поворотной симметрии цветка определяется числом лепестков.

31 Для триллиума и ириса n=3, а подходящие углы поворота - 120

Для триллиума и ириса n=3, а подходящие углы поворота - 120

, 240?, 360?.

32 Нередко встречаются цветы с поворотной симметрий 4-го порядка (сирень,

Нередко встречаются цветы с поворотной симметрий 4-го порядка (сирень,

чистотел)

33 6-го порядка (лилия, шафран)

6-го порядка (лилия, шафран)

34 8-го порядка (космея, сангвинария)

8-го порядка (космея, сангвинария)

35 И более высокого порядка, но особенно часто – 5-го (герань, лютик)

И более высокого порядка, но особенно часто – 5-го (герань, лютик)

36 И всё-таки семицветик нашёлся

И всё-таки семицветик нашёлся

В малочисленном роду Trientalis (семейства первоцветных) всего-то три вида, из них два встречаются на территории нашей страны

37 Остаётся добавить, что цветки семью лепестками встречаются и у

Остаётся добавить, что цветки семью лепестками встречаются и у

некоторых других видов, например у печёночницы благородной, но чаще лепестков бывает всё-таки шесть или восемь.

38 Примеры снежинок под микроскопом и их схемы показывают наличие

Примеры снежинок под микроскопом и их схемы показывают наличие

поворотной симметрии

39 Поворотная симметрия n-ого порядка
40 Поворотная симметрия в искусстве

Поворотная симметрия в искусстве

В природе поворотная симметрия 7-го порядка – большая редкость. Быть может, она свойственна творениям рук человеческих? Логично было бы поискать подходящие образцы в декоративном искусстве: прикладном (вышивке, росписи, резьбе, чеканке) и монументальной, связанной с архитектурой (в витражах, мозаике, рельефах и пр.).

К Оглавлению

41 В декоративных элементах преобладает поворотная симметрия порядка n,

В декоративных элементах преобладает поворотная симметрия порядка n,

равного или кратного 3, 4 либо 5, но никак не 7. Похожая картина наблюдается и в других случаях. Поворотная симметрия 7-го порядка не нашла отражения ни в оригинальной форме окон, ни в строении колонн, ни в конструкциях куполов и сводов, ни в общей планировке сооружений. Выходит, семицветик – диковинка не только в природе, но и в искусстве.

42 Список литературы

Список литературы

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Учебник геометрии 7-9 класс. Н.Карпушина «В поисках семицветика» Наука и жизнь №3 2009г. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов Геометрия 9 кл, дополнительные главы Г.И. Глейзер «История математики в школе» 7-8 кл. Я.П. Понарин Геометрия для 7-11 классов.

К Оглавлению

«Поворотная симметрия n-ого порядка»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/povorotnaja-simmetrija-n-ogo-porjadka-149443.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Симметрия > Поворотная симметрия n-ого порядка