Правильные многогранники

Правильные многогранники

Геометрия 10 класс

Выполнено учителем математики 485 школы Титовой А.А.

Правильный многогранник -

Выпуклый многогранник, гранями которого являются равные правильные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

1.

Всего существует 5 правильных многогранников.

Рассмотрим сначала те, грани которых – правильные треугольники.

4 грани, 4 вершины, 6 ребер, сумма плоских углов при вершине 600+600+600=1800

Свойства:

Тетраэдр

2.

3.

8 граней, 6 вершин, 12 ребер, сумма плоских углов при каждой вершине 600+600+600+600=2400

20 граней, 12 вершин, 30 ребер, сумма плоских углов при каждой вершине 600+600+600+600+600=3000

Октаэдр

Икосаэдр

Свойства:

Свойства:

4.

5.

Рассмотрим правильные многогранники, гранями которых являются:

Гексаэдр (куб)

Додекаэдр

6 граней, 8 вершин, 12 ребер, сумма плоских углов при каждой вершине 900+900+900=2700

12 граней, 20 вершин. 30 ребер, сумма плоских углов при каждой вершине 1080+1080+1080=3240

Правильные четырехугольники (квадраты)

Правильные пятиугольники

Свойства:

Свойства:

1. Почему гранями правильного многогранника не могут быть правильные

шестиугольники?

3. Будет ли фигура, составленная из двух тетраэдров (бипирамида) правильным многогранником ?

2. Будет ли фигура, состоящая из семи кубов ("трехмерный крест") правильным многогранником? Почему?

Развертки правильных многогранников:

Определите, каким многогранникам принадлежат изображенные развертки.

Тетраэдр

Додекаэдр

Куб

Икосаэдр

Октаэдр

Чтобы проверить себя, щелкните мышью.

Попробуйте доказать некоторые свойства правильных многогранников:

1. Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра.

2. Докажите, что центры граней октаэдра являются вершинами куба.

3. Докажите, что центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра и, наоборот, центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра.

Правильные многогранники называются телами Платона, потому что

древнегреческий ученый Платон впервые описал их свойства.

Испанский живописец Сальвадор Дали использовал этот символ в картине «Тайная вечеря»:

Правильные многогранники с древних времен привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников и философов. Пифагорейцы считали их божественными и, выделяя в своих учениях стихии как первооснову бытия, приписывали им форму правильных многогранников: атомам огня – форму тетраэдра, атомам земли – гексаэдра, воздуха – октаэдра, всей Вселенной присваивалась форма додекаэдра

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников

проявляли скульпторы, архитекторы и художники. Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Альбрехт Дюрер в своей гравюре «Меланхолия» дал перспективное изображение додекаэдра:

Немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571-1630) в своей работе «Тайна мироздания», используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной Системы. Вокруг орбиты Земли опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера – сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера описан куб, вокруг – сфера Сатурна. В сферу Земли вложен икосаэдр, в него вписана сфера Венеры, в нее вложен октаэдр. Вписанная в него сфера – самая маленькая из орбит – сфера Меркурия. Такая модель Солнечной Системы получила название «Космического кубка», но он ее истинности пришлось впоследствии отказаться.

О многогранниках, и не только о правильных:

Многие формы многогранников изобрел не человек, а создала природа в виде кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба, алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, гранат – ромбододекаэдра, двенадцатигранника, у которого все грани ромбы.

Из уроков физики и химии вы уже знаете, что свойства кристаллов определяются особенностями их геометрического строения, в частности, симметричным расположением атомов в кристаллической решетке.

Мир многогранников очень интересен

О правильных и других многогранниках читайте в книгах:

«Геометрия 10-11» И.М. Смирнова «Кристаллы» М.П. Шаскольская «Симметрия в природе» И.И. Шафрановский

Спасибо за внимание !