Презентация на тему «Применение интегрального исчисления для вычисления объёмов геометрических тел»

«Применение интегрального исчисления для вычисления объёмов

геометрических тел»

Учитель математики Мищенко О. В Москва, 2011-2012 г.

Северо-Западный Административный Округ, Школа№69 им. Б.Ш.Окуджавы.

Применение интеграла

Вычисление объемов тел. V – объем тела S – сечения S(x) – непрерывна на отрезке Рис 1.1 Рис.1.2 V = .

Применение интеграла

2. Объем тел вращения F(x) – непрерывная , неотрицательная функция на отрезке;

Применение интеграла

4. Координата центра масс 5. Масса стержня

Применение интеграла

3. Работа переменной силы: сила упругости пружины, растянутой на m cм F = kx

Объем конуса

Объем пирамиды

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту V = Объем треугольной пирамиды равен площади основания на высоту. .

Практическая часть

Допущения: В сечении фигуры получается окружность или многоугольник; Площади сечения и площади основания пропорциональны квадратам расстояний от начала координат; Всякое сечение призмы параллельное основанию призмы равно основанию.

Общие направления: 1.Выбираем начало координат O и проводим ось OX; 2.Выбираем пределы интегрирования; 3.Вычисляем объем тел по интегральной формуле.

Для тел вращения объем вычисляется по формуле Вычислим объемы наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара, шарового сегмента.

Вычисление объема наклонной призмы

Действуем согласно алгоритму: 1. О – выбираем произвольно и проводим основанию 2. a=0; b=H; Q – const. 3.

Дано: Наклонная призма Q – площадь основания H – высота ________________ Доказать: V=QH

Вычисление объема пирамиды

Дано: Пирамида Q – площадь основания; H – высота ______________________ Доказать:

Действуем согласно алгоритму: 1. 0 – выбираем в вершине пирамиды, проводим

.

Основанию

2. Пределы интегрирования

3.

Вычисление объема конуса

По алгоритму: 0; a=0, b=H

Дано: Конус, Q – площадь основания H – высота ____________________ Доказать:

3.

Вычисление объема шара

Дано: Шар R – радиус шара _____________

По алгоритму: O – центр шара, a= - R Рассмотрим

Доказать:

Тогда,

Объем шарового сегмента

Дано: Сегмент H - высота сегмента R – радиус шара ________________

Доказать:

По алгоритму: 0,

2.

,

3.