Задачи по геометрии
<<  Построение виртуальных инфраструктур для бизнес приложений под VMware от ЕМС Построение Правильных многоугольников  >>
Информационные технологии в биологических исследованиях
Информационные технологии в биологических исследованиях
Базовые модели
Базовые модели
Базовые модели в биологии
Базовые модели в биологии
Самая простая и очень нужная модель в биологии – калибровочная кривая,
Самая простая и очень нужная модель в биологии – калибровочная кривая,
Самая простая и очень нужная модель в биологии – калибровочная кривая,
Самая простая и очень нужная модель в биологии – калибровочная кривая,
Модели роста численности популяции
Модели роста численности популяции
Рост показателя и скорость его изменения
Рост показателя и скорость его изменения
Рост колонии микроорганизмов
Рост колонии микроорганизмов
Рост колонии микроорганизмов
Рост колонии микроорганизмов
Решение уровнения
Решение уровнения
Интегрирование – действие, обратное дифференцированию
Интегрирование – действие, обратное дифференцированию
График зависимости численности от времени в соот-ветствии с законом
График зависимости численности от времени в соот-ветствии с законом
Варианты динамики популяции
Варианты динамики популяции
Только в условиях неограниченных ресурсов изолированная популяция
Только в условиях неограниченных ресурсов изолированная популяция
Примеры динамики популяций
Примеры динамики популяций
?x2 , второй член правой части - фактор торможения роста
?x2 , второй член правой части - фактор торможения роста
Аналитическое решение уравнения
Аналитическое решение уравнения
Перейдем от логарифмов к переменным, помня, что экспонента от
Перейдем от логарифмов к переменным, помня, что экспонента от
Находим произвольную постоянную С
Находим произвольную постоянную С
Критические уровни численности
Критические уровни численности
Критические уровни численности
Критические уровни численности
Колебания численности популяций
Колебания численности популяций
Модели взаимодействия двух популяций
Модели взаимодействия двух популяций
Модель хищник-жертва
Модель хищник-жертва
Если начальное значение X0 < К/2, кривая роста имеет точку перегиба
Если начальное значение X0 < К/2, кривая роста имеет точку перегиба

Презентация: «Принципы построения математических моделей». Автор: vdemid. Файл: «Принципы построения математических моделей.ppt». Размер zip-архива: 761 КБ.

Принципы построения математических моделей

содержание презентации «Принципы построения математических моделей.ppt»
СлайдТекст
1 Информационные технологии в биологических исследованиях

Информационные технологии в биологических исследованиях

Лекция 4: Принципы построения математических моделей. Примеры: – популяционная модель (экспо- ненциальная, логистическая) - взаимодействие двух популяций

2 Базовые модели

Базовые модели

В любой науке существуют простые модели, которые поддаются аналитическому исследованию и обладают свойствами, которые позволяют описывать целый спектр природных явлений

Благодаря простоте и наглядности, базовые модели очень полезны при изучении самых разных систем

3 Базовые модели в биологии

Базовые модели в биологии

Калибровачная зависимость Популяционные модели: - В отсутствии ограничений - С ограничениями – логистическая кривая - Взаимодействие популяций, хищник- жертва

4 Самая простая и очень нужная модель в биологии – калибровочная кривая,

Самая простая и очень нужная модель в биологии – калибровочная кривая,

вернее процесс ее построения и использования.

5 Самая простая и очень нужная модель в биологии – калибровочная кривая,

Самая простая и очень нужная модель в биологии – калибровочная кривая,

вернее процесс ее построения и использования. Формально, в случае линейной зависимости получается модель, основанная на уравнении регрессии y = mx + y0 отсюда x = (y - y0) / m y – показание измерительного инструмента m – чувствительность системы измерения y0 – фон (шум прибора) x – неизвестная концентрация вещества

6 Модели роста численности популяции

Модели роста численности популяции

Любой процесс происходит во времени. Скорость – изменение за единицу времени. Скорость может быть постоянной, уменьшаться или возрастать.

7 Рост показателя и скорость его изменения

Рост показателя и скорость его изменения

Фундаментальное предположение для модели роста - скорость роста пропорциональна численности популяции, будь то популяция зайцев или популяция клеток

8 Рост колонии микроорганизмов

Рост колонии микроорганизмов

За время ?t прирост численности равен: ?x = R - S, где R — число родившихся и S — число умерших за время ?t особей. Положим R(x) и S(x) - скорости рождения и смерти. Тогда R = R(x) ?t, S = S(x) ?t. Подставляем в первое уравнение и получим: ?х = [R(x) - S(x)] ?t Разделив на ?t и переходя к пределу при t —> 0, получим дифференциальное уравнение:

9 Рост колонии микроорганизмов

Рост колонии микроорганизмов

В простейшем случае, когда рождаемость и смертность пропорциональны численности: ? скорость рождаемости, например, на 100 особей рождается 10 новых в день, ? скорость смертности, , например, на 100 особей гибнут 5 в день - это рост, или 10 – это стационарное состояние, или 15 – это убыль численности. Тогда можно записать

10 Решение уровнения

Решение уровнения

Делим обе части равенства (уравнения) на одно и то же число rx и умножаем на dt - равенство не изменится. Равенство 5 = 5: умножаем на какое угодно число обе части – они остаются равными. То же самое относится к делению, и к другим математическим действиям.

Разделим переменные и проинтегрируем

Получаем

11 Интегрирование – действие, обратное дифференцированию

Интегрирование – действие, обратное дифференцированию

Получаем

12 График зависимости численности от времени в соот-ветствии с законом

График зависимости численности от времени в соот-ветствии с законом

экспоненциального роста (слева), а справа представлена зависимость скорости роста популяции – (правая часть уравнения ) от ) от ее численности, х

t

13 Варианты динамики популяции

Варианты динамики популяции

14 Только в условиях неограниченных ресурсов изолированная популяция

Только в условиях неограниченных ресурсов изолированная популяция

развивалась бы в соответствии с экспоненциальным законом В реальных популяциях такое может иметь место только на начальных стадиях роста, когда численность еще мала, и ограничи-вающие факторы еще не действуют – напрмер, сразу после начала культивирования микрорганизмов

15 Примеры динамики популяций

Примеры динамики популяций

Численность поголовья овец на острове Тасмания (Davidson, 1938)

Динамика численности трех видов китов в Антарктике (приведена по изменению «индекса численности» убитых китов на 1 тыс. судо-тонно-суток, Gulland, 1971)

Изменение численности Daphnia magna (Frail, 1943)

16 ?x2 , второй член правой части - фактор торможения роста

?x2 , второй член правой части - фактор торможения роста

Если он равен ?x, мы получим рассмотренный только что неограниченный рост: Х выносится за скобки, и постоянный множитель в зависимости от знака плюс или минус, будет определять рост численности или ее убывание

Ограниченный рост. Уравнение Ферхюльста

Уравнение получено эмпирически, из анализа результатов наблюдений и экспериментов

17 Аналитическое решение уравнения

Аналитическое решение уравнения

Произведем разделение переменных:

Представим левую часть в виде суммы

После интегрирования получим

18 Перейдем от логарифмов к переменным, помня, что экспонента от

Перейдем от логарифмов к переменным, помня, что экспонента от

логарифма числа равна самому числу:

Здесь С — произвольная постоянная, которая определяется начальным значением X0:

19 Находим произвольную постоянную С

Находим произвольную постоянную С

t

20 Критические уровни численности

Критические уровни численности

Первый член в правой части описывает размножение двуполой популяции, скорость которого пропорциональ-на квадрату численности (вероятности встреч особей разного пола) для малых плотностей и пропорциональ-на числу самок — для больших плотностей популяции. Второй член описывает смертность, пропорциональную численности, Третий — внутривидовую конкуренцию, подобно тому, как это было в логистическом уравнении

21 Критические уровни численности

Критические уровни численности

Кривые 1-5 соответствуют различным начальным численностям. х = 0 и х = К — устойчивые стационарные состояния, х = L — неустойчивое, разделяющее области влияния устойчивых состояний равновесия

Величины L и К различны для разных популяций и могут быть определены из наблюдений и экспериментов.

22 Колебания численности популяций

Колебания численности популяций

Тип поведения зависит от величины константы собствен-ной скорости роста r. Кривые зависимости значения численности в данный момент времени (t+1) от значений численности в предыдущий момент t представлены слева. Справа - кривые динамики численности - зависимости числа особей в популяции от времени. Сверху вниз значение параметра собственной скорости роста r увеличивается.

23 Модели взаимодействия двух популяций

Модели взаимодействия двух популяций

A — константы собствен-ной скорости роста видов, c — константы внутри-видовой конкуренции, b — константы взаимо-действия видов

+

+

b12, b21 > 0

+

0

b12 > 0, b21 = 0

+

-

b12 > 0, b21 < 0

0

-

b12 = 0, b21 < 0

-

-

b12, b21 < 0

0

0

b12, b21 = 0

Симбиоз

Комменсализм

Хищник-жертва

Аменсализм

Конкуренция

Нейтрализм

24 Модель хищник-жертва

Модель хищник-жертва

X1 - численность популяции хищника, X2 - численность популяции жертвы

При различных соотношениях параметров в системе возможно выживание только жертвы, только хищника (если у него имеются и другие источники питания) и сосуществование обоих видов

25 Если начальное значение X0 < К/2, кривая роста имеет точку перегиба

Если начальное значение X0 < К/2, кривая роста имеет точку перегиба

Если X0 > К, численность со временем убывает.

«Принципы построения математических моделей»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/printsipy-postroenija-matematicheskikh-modelej-232477.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Задачи по геометрии > Принципы построения математических моделей