Прямоугольные треугольники

Прямоугольные треугольники

Свойства, признаки, соотношения.

учитель математики МОУ СОШ №3 села Кочубеевское Ставропольского края Кирьянова Марина Владимировна

1

С о д е р ж а н и е

Определения

Историческая справка

Свойства прямоугольных треугольников

Задачи

Это интересно

2

Цели урока:

- привести в систему знания по теме «Прямоугольный треугольник»; -совершенствовать навыки решения задач на применение свойств прямоугольного треугольника; -развивать математическую речь, логическое мышление, самостоятельность, творческую активность.

3

Определения

Гипотенуза

Катет

Катет

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой,

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой,

А две другие – катетами.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.

А

И трёх отрезков, соединяющих эти точки.

С

В

4

Историческая справка

Термин гипотенуза происходит от греческого «hypoteinsa», означающего тянущаяся под чем либо , стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок. Термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес , перпендикуляр. В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.

Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.

Евклид употреблял выражения: «стороны, заключающие прямой угол», - для катетов; «сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.

5

Прямоугольный треугольник

А

Г и п о т е н у з а

К а т е т

С

В

К а т е т

6

Выбери правильный вариант ответа

1.Прямоугольным называется треугольник, у которого а)все углы прямые; б)два угла прямые; в)один прямой угол. 2. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются: а)катетами треугольника; б)гипотенузами треугольника.

7

8

Являются ли треугольники прямоугольными?

9

Расположение углов и сторон

АС – противолежащий катет

c

b

a

ВС – прилежащий катет

А

С

В

10

Назовите: а) катет, противолежащий углу Д, б) катет, прилежащий к углу

Д.

КЕ - противолежащий катет

ДК – прилежащий катет

Д

К

Е

11

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

B

A

C

?

12

Если острый угол одного треугольника равен острому углу другого

треугольника, то

-Синусы этих углов равны

-Косинусы этих углов равны

-Тангенсы этих углов равны

А

С

В

А1

В1

С1

13

Проверь себя

А

c

b

С

a

В

14

Найди синус, косинус, тангенс острых углов

Ответ:

А

5

3

С

В

4

15

Теорема Пифагора

16

Найдите высоту ВН равнобедренного треугольника, если основание равно

10 см, а боковая сторона 13 см. Ответ:12

17

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 900.

1

А

С

В

18

2

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы

А

300

С

В

19

3

В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы лежит против угла в 300.

А

300

С

В

20

4

Прямоугольный треугольник с острым углом 450 равнобедренный.

А

450

450

С

В

21

Свойство медианы, проведённой из вершины прямого угла

А

M

С

В

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

22

Признак прямоугольного треугольника

А

M

С

В

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

23

Найди неизвестные стороны

12см

15см

16см

24

Решаем задачи

25

Проверь себя

26

27

Выбери верное утверждение:

1. Прямоугольным называется треугольник, у которого а) все углы прямые; б) два угла прямые; в) один прямой угол.

2. В прямоугольном треугольнике всегда а) два угла острых и один прямой; б) один острый угол, один прямой и один тупой угол; в) все углы прямые.

3. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются а) сторонами треугольника; б) катетами треугольника; в) гипотенузами треугольника.

28

6.Какой из треугольников прямоугольный, если его стороны: а) 12,13,14

б) 12,7,13, в) 12,13,5?

4. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется а) стороной треугольника; б) катетом треугольника; в) гипотенузой треугольника.

29

Реши задачи по готовым чертежам

Найти ?А и ?В.

А

С

В

?А : ?в = 1 : 2

?А на 20°меньше ?В

Найти ?А и ?В.

Найти ?А и ?В.

AD = ?AB

Доказать: AD = ?AB

Найти: углы ?ABD.

А

С

А

В

С

В

B

B

A

D

C

A

D

C

30

30°

Решите в группах

?

1. Лодка находится посередине реки. Глубина реки 4 м, длина якорного каната 5м. Как далеко отнесет течение реки лодку от места, куда был брошен якорь.

4 м

5 м

31

2. Охотник видит утку, летящую на высоте 40 метров, под углом 300

Найдите расстояние между охотником и уткой.

?

40

300

32

?

3. Определите угол наклона лыжной трассы, если на расстоянии 300 метров высота подъема 150 метров.

300

150

33

?

2 м

1 м

4. Найти длину шеста, необходимого для установления палатки. Шест расположен посередине палатки. Расстояние от центра палатки до уголка пола равно 1м, длина наклонной 2 м.

34

А

b

=

c

h

Запишите формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника и получите соотношение между h,a,b,c.

35

А

Н

С

В

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

36

А

Н

С

В

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

37

Среднее пропорциональное

Записать соотношения.

38

Найти a,b,c,h, если ac=9,bc=16

a=15, b=20, c =25, h =12.

39

Реши задачи по готовым чертежам

В

А

1. Найти ВС.

2. Найти: АВ.

10

D

60°

8

Ответ:

5

Ответ:

16

С

В

А

С

В

B

4. Найти: ??, ?D.

3. Найти: АЕ.

C

7

Ответ:

Ответ:

3,5

14

60°, 60°

А

Е

С

А

7

D

А

К

5. Найти: СЕ, РС

6. Найти: СА1

9

Ответ:

Ответ:

10

Р

С

Е

4,5; 13,5

С

А1

В

45°

7

150°

150°

20

60?

30°

40

Это интересно… Задачи Фалеса: Египтяне задали Фалесу трудную задачу:

найти высоту одной из громадных пирамид. Фалес нашёл для этой задачи простое и красивое решение. Он воткнул в землю вертикально длинную палку и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды».

41

Ещё одно из свойств прямоугольного треугольника,доказанное Фалесом

Нарисуем прямоугольный треугольник АВС и разделим его гипотенузу АС точкой О пополам. Как вы думаете, какой отрезок длиннее: АО или ОВ? То есть куда ближе идти из середины гипотенузы – к острому углу или к прямому?

А

О

В

С

42

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ А Д О В С Достроим треугольник АСВ до прямоугольника

АВСД. AС = DВ и точка О – середина каждого из них. Следовательно, АО = ОВ = ОС.

43

Решение практических задач

Населённые пункты A, B, C, D расположены так, что пункт А находится в нескольких километрах к югу от D, а пункты В и С – на одинаковых расстояниях к западу и востоку (соответственно) от А. Верно ли, что В и С находятся на одинаковом расстоянии от D?

44

Жители трёх домов (A, B. C) , расположенных в вершинах равнобедренного

прямоугольного треугольника хотят выкопать общий колодец с таким расчётом, чтобы он был одинаково удалён от всех домов. В каком месте надо копать?

45

Оцените свои знания, полученные на уроке

У меня все отлично

У меня все хорошо

Возникли трудности

46

Домашнее задание: придумать и решить практическую задачу, в которой

были бы использованы свойства или признаки равенства прямоугольных треугольников

47

О Фалесе Милетском

Существовало предание, что Фалес был финикийцем, ставший гражданином Милета. Фалес Милетский жил в самом конце VII - первой половине VI в. до н. э. (с. 625 – 548 до н. э.). Фалес Милетский был уроженцем греческого торгового города Милета, расположенного в Малой Азии на берегу Эгейского моря.

48

В VI веке до н. э. Милет находился в расцвете славы

Это был многолюдный и шумный город купцов, торговцев, ремесленников, мореплавателей. Жемчужиной Эллады называли его и греки, и чужестранцы. Как рассказывают древние историки, в четырёх гаванях города встречались корабли, прибывшие из Сирии, Финикии, Египта, Крита. Главная гавань называлась Львиной. Узкий вход в неё охраняли два огромных мраморных льва. На широкой набережной толпились носильщики, матросы, менялы, проводники. Вся эта шумная толпа набрасывалась на чужеземцев, прибывших в Милет, предлагая услуги. От огромных ворот порта с шестнадцатью мраморными кодонами вела в город широкая главная улица. Милет – родина Фалеса.

49

Неподалёку от ворот стоял величественный храм Аполлона с мраморными

жертвенниками и статуями. Но купцов, прибывших из разных стран в Милет, привлекали не только красоты города. Тончайшая шерсть из милетских овец славилась всюду. Садоводы Милета выводили прекрасные сорта роз. Из лепестков роз изготовляли драгоценное розовое масло. Окрестности города утопали в густых оливковых садах. В далёкие путешествия отправлялись милетские торговцы-моряки. Эти путешествия были опасны. Порой приходилось бороться с разбушевавшейся стихией, обороняться от пиратов, а при высадке на сушу отражать нападения туземцев. Но не только мужества требовала жизнь от тогдашних мореплавателей. Она требовала ещё и умения ответить на многие вопросы. Как ориентироваться в море? Как определить расстояние от берега до корабля?

50

.

Тесная зависимость жизненного успеха людей от решения теоретических вопросов привела к тому, что город Милет стал колыбелью античной науки, а учёный Фалес – её родоначальником «Ищи что-нибудь одно мудрое, выбирай что-нибудь одно доброе, так ты уймёшь пустословие болтливых людей». Фалес был купцом. Он хорошо зарабатывал, умело торгуя оливковым маслом. Много путешествовал: посетил Египет, Среднюю Азию, халдею. Всюду изучал опыт, накопленный жрецами, ремесленниками и мореходами: познакомился с египетской и вавилонской школами математики и астрономии. Возвратившись на родину, Фалес отошел то торговли и посвятил свою жизнь занятиями наукой, окружив себя учениками, - так образовывалась милетская ионийская школа, из которой вышли многие знаменитые греческие учёные. Фалес дожил до глубокой старости.

51

Вклад в науку Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов

Греции, он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции, -- он был тем же для Греции, чем Ломоносов для России. Карьеру он начал как купец и еще в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привез он. Во всяком случае, одному у него могут поучиться все философы – краткости. Полное собрание его сочинений, по преданию, составляло всего 200 стихов. Трудно сейчас сказать, что в научном перечне принадлежит действительно Фалесу и что приписано ему потомками, восхищающимися его гением. Несомненно, в лице Фалеса Греция впервые обрела одновременно философа математика и естествоиспытателя. Не случайно древние причислили его к «великолепной семёрке» мудрецов древности.

52

Фалес – математик Условно ему приписывают открытие доказательств ряда

теорем: - о делении круга диаметром пополам; - о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника; - о равенстве вертикальных углов; - один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другое.

53

Задачи Фалеса Фалес открыл любопытный способ определения расстояния от

берега до видимого корабля. Доказательством признаков равенства треугольников занимались ещё пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство теоремы о «равенстве» двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников). Одни источники утверждают, что для этого им был использован признак подобия треугольников. Потомки Фалеса обязаны ему тем, что он, пожалуй впервые ввел в науку, и в частности – в математику, доказательство. Известно сейчас, что многие математические правила были открыты много раньше, чем в Греции.

54

Но все – опытным путём

Строго логическое доказательство правильности каких-либо предложений на основании общих приложений, принятых за достоверные истины, было изобретено греками. Характерная и совершенно новая черта греческой математики заключается в постепенном переходе при помощи доказательства от одного предложения к другому. Именно такой характер математике придал Фалес. И даже сегодня, через 25 веков, приступая к доказательству, например, теоремы о свойствах ромба, вы, в сущности, рассуждаете почти так, как это делали ученики Фалеса.

55

Используемая литература: 1. Поурочные разработки по геометрии 7 класс

Н.Ф. Гаврилова МОСКВА « ВАКО» 2004. 2.Учебник для общеобразовательных учреждений Геометрия 7-9 Авторы: Л.С.Атанасян , В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г.Поздняк, И.И.Юдин 3.Подсказки на каждый день Геометрия 7 класс О.Ю.Едуш Москва 2001. http://primery.ru/prepodavatelyam-matematiki/presentacii/item/7863-Prezentatsiya_k_uroku_matematiki_Pryamougolnyie_treugolniki.html http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/prezentatsiya-reshenie-treugolnikov http://zachets.ru/sideryJr/reshenie-pryamougolnogo-treugolnika-prezentaciya-52 http://www.myshared.ru/slide/190215/ http://www.myshared.ru/slide/190215/# http://www.uchportal.ru/load/25-1-0-29810 http://www.myshared.ru/slide/45506/#

56

Задачи по готовым чертежам

В

А

В

?

?

С

А

?

А

С

С

В

D

В

С

?

?

?

А

В

D

С

А

370

15 см

4,2 см

8,4 см

4 см

300

700

1200

57

Решите самостоятельно

D

В

1

Е

2

А

Найти: ?АСЕ

C

А

Е

C

Доказать: ВС?CD

D

В

4

3

Дано: ВН=4 см. Найти: АН.

Дано: АВ || CD Найти: углы ?CDO

B

Доказать:MC – медиана ?KMN

6

Дано: BD – биссектриса ?АВС Доказать: BD – биссектриса ?АDС

5

A

C

D

44°

46°

55°

С

D

В

Н

О

А

В

С

А

35°

60°

47°

58