РАЗРЕЗАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА ЧАСТИ

РАЗРЕЗАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА ЧАСТИ Учитель математики сош № 41

ОАО «РЖД» Кашенцева М.А.

Внеклассное занятие по математике

Задачи на разрезания

Теорема Бойяи-Гервина гласит: любой многоугольник можно так разрезать на части, что из этих частей удастся сложить квадрат.

Задание 1

Разрежьте прямоугольник a ? 2a на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Решение задания 1

Прямоугольник ABCD разрежем на три части по линиям MD и MC (М – середина АВ)

Решение задания 1

Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС. Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС

Решение задания 1

Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС. Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС

Задание 2

Разрезать равносторонний треугольник на части так, чтобы из них можно было сложить квадрат

Решение задания 2

Обозначим данный правильный треугольник АВС. Необходимо разрезать ?АВС на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Тогда эти многоугольники должны иметь по крайней мере по одному прямому углу. Пусть К – середина СВ, Т – середина АВ, точки М и Е выберем на стороне АС так, что МЕ=АТ=ТВ=ВК=СК=а, АМ=ЕС=а/2. Проведем отрезок МК и перпендикулярные к нему отрезки ЕР и ТН.

Решение задания 2

Разрежем треугольник на части вдоль построенных линий:

Решение задания 2

Четырехугольник КРЕС повернем по часовой стрелке относительно вершины К так, что СК совместится с отрезком КВ. Четырехугольник АМНТ повернем по часовой стрелке относительно вершины Т так, что АТ совместится с ТВ. Треугольник МЕР переместим так, что в результате получится квадрат:

Решение задания 2

Решение задания 2

Задание 3

Разрезать квадрат на части так, чтобы из них можно было сложить два квадрата.

Решение задания 3

Обозначим исходный квадрат abcd. Отметим середины сторон квадрата – точки m, n, k, h. Проведем отрезки мт, не, кf и nр – части отрезков мс, нв, ка и nd соответственно. Разрезав квадрат abcd по проведенным линиям, получим квадрат ptef и четыре четырехугольника mdht, hcke, kbnf и namp.

Решение задания 3

Ptef – уже готовый квадрат. Из оставшихся четырехугольников составим второй квадрат.

Решение задания 3

Вершины a, b, c и d совместим в одну точку, отрезки ам и вк, md и кс, bn и сн, dh и аn совместятся. Точки р, т, е и f станут вершинами нового квадрата.

Задание 4

Из плотной бумаги вырезаны равносторонний треугольник и квадрат. Разрезать эти фигуры на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить один квадрат, при этом части должны полностью его заполнять и не должны пересекаться.

Решение задания 4

ТРЕУГОЛЬНИК РАЗРЕЖЕМ НА ЧАСТИ ТАК, КАК ПОКАЗАНО В ЗАДАНИИ 2. ДЛИНА СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА – 2а.

Решение задания 4

Теперь следует разделить на многоугольники квадрат так, чтобы из этих частей и того квадрата, который получился из треугольника, составить новый квадрат.

Решение задания 4

Возьмем квадрат со стороной 2а, обозначим его LRSD. Проведем взаимно перпендикулярные отрезки UG и VF так, что DU=SF=RG=LV. Разрежем квадрат на четырехугольники.

Решение задания 4

Решение задания 4

Возьмем квадрат, составленный из частей треугольника. Выложим четырехугольники – части квадрата так, как показано на рисунке.

Решение задания 4

Задание 5

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрезать его на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.

Решение задания 5

Соединим вершины квадратов так, как показано на рисунке.

Решение задания 5

Отрежем треугольники, оказавшиеся вне квадрата. Переместим их так, как показано на схеме.

Решение задания 5

Решение задания 5

Задание 6

Перекроить два произвольных квадрата в один.

Решение задания 6

На рисунке показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов

Решение задания 6

На рисунке показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов

Решение задания 6

Решение задания 6

Литература

1. А.В. Фарков «Внеклассная работа по математике» 5-11 классы, Москва, Айрис-пресс, 2009 2. И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин «Задачи на смекалку», М., «Просвещение», 2006 3. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия», М., МИРОС, 1995