Углы в пространстве
<<  Двугранный угол Стереометрическая конфигурация (С?): угол между прямой и плоскостью  >>
Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при
Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной
Идея решения
Идея решения
Лемма 1: SABCDA=
Лемма 1: SABCDA=
Лемма 2: Величина трехгранного телесного угла
Лемма 2: Величина трехгранного телесного угла
Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла
Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла
Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла
Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла
Решение «Малой проблемы Циха»
Решение «Малой проблемы Циха»
A=A1,B=A3,C=A2,
A=A1,B=A3,C=A2,
Аналогично, когда угол n-гранный, получаем:
Аналогично, когда угол n-гранный, получаем:
Сумма телесных углов при вершинах треугольной пирамиды
Сумма телесных углов при вершинах треугольной пирамиды
Перепишем еще более удобно:
Перепишем еще более удобно:
Пример 1: Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные
Пример 1: Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные
Пример 2: (усложненный пример 1) Рассмотрим октаэдр с центром в начале
Пример 2: (усложненный пример 1) Рассмотрим октаэдр с центром в начале
А последнее эквивалентно
А последнее эквивалентно
Решение «Большой проблемы Циха» Сумма телесных углов n – гранника
Решение «Большой проблемы Циха» Сумма телесных углов n – гранника
Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых n-
Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых n-
Его корни есть h=1 и h=-1, второй корень не имеет геометрического
Его корни есть h=1 и h=-1, второй корень не имеет геометрического
Пример 2
Пример 2
Рассмотрим пирамиду АBCO
Рассмотрим пирамиду АBCO
Данная система инвариантна относительно круговой подстановки
Данная система инвариантна относительно круговой подстановки
Сравнительный анализ
Сравнительный анализ
Заключение
Заключение

Презентация на тему: «Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах». Автор: Марина. Файл: «Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах.ppt». Размер zip-архива: 323 КБ.

Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах

содержание презентации «Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах.ppt»
СлайдТекст
1 Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при

Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при

вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах

Автор: Смирнов Михаил 11 класс Научный руководитель: Секацкая Е. Г., учитель математики и информатики шк.№21 Научный консультант: Степаненко В. А., доцент кафедры высшей математики СФУ

2 Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной

Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах произвольной

треугольной пирамиды («малая проблема Циха»), а далее – и произвольного выпуклого многогранника в трехмерном пространстве («большая проблема Циха»). В данной работе мы предлагаем вам решение этих проблем. Цель научной работы: вычислить сумму телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве. Применить полученные формулы при решении некой экстремальной задачи.

Определение : Мерой многогранного угла называется площадь, ограниченная сферическим многоугольником, полученным пересечением граней многогранного угла сферой с радиусом, равным единице и с центром – в вершине многогранного угла.

Определение : Телесный угол- часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью, в частности трехгранный и многогранный углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими гранями, сходящимися в вершине телесного угла.

Определение : Стерадиан – единица измерения телесного угла.Стерадиан - телесный угол, вырезающий на сфере, описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь которой равна квадрату радиуса сферы. Полная сфера образует телесный угол, равный 4

3 Идея решения

Идея решения

Отличие от подхода Циха

Цих советовал решать задачу геометрически, рассматривая разнотипные фигуры на сфере (три остроугольных и три- трапециоподобных фигуры), не рассматривая диаметрально противоположную ситуацию

Мы же рассматриваем три однотипные тупоугольные фигуры- внешние углы к сферическому треугольнику- “ломтики”, и рассматриванием диаметрально противоположную ситуацию(на другом полюсе).

4 Лемма 1: SABCDA=

Лемма 1: SABCDA=

Лемма о площади “ломтика”. Следствие

2? - 4?

Угол ?COD есть величина двугранного угла «ломтика» сферы ACBDA, и он равен углу между касательными прямыми к “меридианам” ABC и ADB в их общей точке A. Он соответствует сферическому углу?CAD, обозначает ?sCAD или ?sA.

Найдем площадь «ломтика» ACBDA.- внешнего сферического угла треугольника на сфере.

Доказательство: Пусть ?COD=? рад, тогда из простой пропорции

Получаем SABCDA=

Что и требовалось доказать. Следствие: В случае единичной сферы (R=1) : SABCDA =2 ?

? - ?

5 Лемма 2: Величина трехгранного телесного угла

Лемма 2: Величина трехгранного телесного угла

OABC вычисляется по формуле

OABC= S

= 2?-(?+?+?)

- Внешние сферические углы к внешнему сферическому треугольнику ABC.

Напомним, что площадь

Измеряет в стерадианах величину искомого трехгранного угла

Доказательство: Обозначим “ломтики”

Как отмечалось выше, вся сфера состоит из трех ломтиков

И двух равных сферических треугольников.

Поэтому

(2?+2?+2?)+2S

=4?. Поделим на2 .

?+?+?+S

=2?, где S

-Мера трехгранного угла, тогда

OABC=S

=2?-(?+?+?)=2?-?-?-?

Что и требовалось доказать

6 Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла

Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла

Лемма 3:

Доказательство:

(2?1+2?2+2?3+2?4)+2S4-ка= 4?. Поделим обе части равенства на 2. ?1+?2+?3+?4+S4-ка=2?, где S4-ка-мера четырехгранного угла, то

OABCD = S4-ка =2?-(?1+?2+?3+?4)=2?-?1-?2-?3-?4, где ?n – внешние углы. Итак,

OABCD = s4-ка =2?-(?1+?2+?3+?4)

OABCD = s4-ка =2?-(?1+?2+?3+?4)

7 Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла

Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла

Лемма 4:

OA1A2...An=

=2?-(?+?+?).

OABC= S

OABCD = s4-ка =2?-(?1+?2+?3+?4)

OABCD= Sn=2?-(?1+?2+…+?n),

8 Решение «Малой проблемы Циха»

Решение «Малой проблемы Циха»

Выражение телесных углов через внешние перпендикуляры граней

n-гранный (телесный) угол измеряется с помощью двугранных, образованных его гранями, а измерение двугранных углов мы сводим к углам между внешними перпендикулярами к его граням. Посмотрим вдоль (навстречу) оси OA , мы увидим ситуацию, изображенную на рисунке.

Очевидно, что двугранный

Равен углу между векторами

- Внешними перпендикулярами к соответственным граням ,

И

Как углы с соответственно перпендикулярными сторонами ( и оба одновременно тупые или острые).

9 A=A1,B=A3,C=A2,

A=A1,B=A3,C=A2,

По лучу OA1 пересекается

,(Т.Е.

Рассмотрим в точке A1 их внешние перпендикуляры

Аналогично, в точке A2(=С):

Косинус угла между ними определяется по формуле

И в точке A3(=B) :

А сам внешний угол при вершине A1:

)

.

.

10 Аналогично, когда угол n-гранный, получаем:

Аналогично, когда угол n-гранный, получаем:

OA1A2A3=

OA1A2A3=

OA1A2A3=

OA1A2...An=

Тогда

Воспользуемся симметрией скалярного умножения

И перепишем более удобно полученную формулу:

Последнюю запись формализуем:

.

, Где

Обозначим для удобства векторы

11 Сумма телесных углов при вершинах треугольной пирамиды

Сумма телесных углов при вершинах треугольной пирамиды

A1A2A3A4

A2A1A4A3

A3A1A2A4

A4A1A3A2=

12 Перепишем еще более удобно:

Перепишем еще более удобно:

Искомая сумма:

A1A2A3A4+

A2A1A4A3+

A3A1A2A4+

A4A1A3A2=

(1234)+

(2143)+

(3124)+

(4132)=

13 Пример 1: Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные

Пример 1: Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные

векторы внешних перпендикуляров к ее граням:

Ai=

14 Пример 2: (усложненный пример 1) Рассмотрим октаэдр с центром в начале

Пример 2: (усложненный пример 1) Рассмотрим октаэдр с центром в начале

координат, тогда

(1,1,1);(-1,1,1);(-1,-1,1);(1,-1,1) координаты внешних перпендикуляров его граней.

Тогда

Нормируем эти векторы:

Вычислим сумму арккосинусов соответствующих попарных скалярных произведений:

-величина одного телесного угла. Таким образом, искомая сумма всех телесных углов равна

=

Ai

15 А последнее эквивалентно

А последнее эквивалентно

Заметим, что октаэдр состоит из 8 одинаковых пирамид из примера 1, тогда должно выполняться тождество:

Которое сводится к более простому

.

16 Решение «Большой проблемы Циха» Сумма телесных углов n – гранника

Решение «Большой проблемы Циха» Сумма телесных углов n – гранника

С учетом соотношения Эйлера: Г+В-Р=2 , где Г- количество граней, В-вершин, Р-ребер многогранника, для задания выпуклого n-гранника мало задать число граней, нужно указать еще и число вершин. Например, у куба и фигуры, составленной из двух треугольных пирамид число граней одинаково (6), а числа вершин различны ( 8 и 5, соответственно).

Пусть в трехмерном пространстве задан выпуклый n-гранник с m-вершинами, тогда сумма всех его телесных углов при m вершинах представляется следующей формулой:

Где n- число граней , а индекс j пробегает количество всех ребер.

17 Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых n-

Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых n-

гранников (m- вершинников) найти те, сумма телесных углов которых минимальна и максимальна. Пример 1: Дана прямоугольная пирамида с вершинами на осях координат. Три вершины фиксированы: (1;0;0), (0;1;0) и (0;0;0), а четвертая движется по оси OZ и имеет координаты (0;0;h).

A1 равен

A2 и

A3 равны, поэтому достаточно найти только угол

A2и угол

A4. Вычислим их.

A2=

A4=

Находим искомую сумму углов ( как функцию параметра h):

Выпишем внешние единичные нормали для всех трех координатных граней : (0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0) и для наклонной грани:

Заметим, кроме того, что угол

( Очевидно), углы

18 Его корни есть h=1 и h=-1, второй корень не имеет геометрического

Его корни есть h=1 и h=-1, второй корень не имеет геометрического

смысла (0<h<+?). При h (0;1) функция монотонно убывает, а при h (1;+?) функция монотонно возрастает, имея в точке h=1 минимум, равный

При h , когда пирамида вытягивается в вертикальную бесконечную треугольную призму, сумма углов также равна

Используем формулу тогда производная всей суммы равна:

Так как знаменатель строго положителен, знак производной определяет только числитель. Решим уравнение:

И, наконец, рассмотрим два предельных случая, когда h и h . При h , когда пирамида сплющивается к своему основанию- треугольнику сумма углов равна:

Заметим, что при h =1 ответ, как и ожидалось, совпадает с полученным(*).

.

.

.

19 Пример 2

Пример 2

Рассмотрим правильную пирамиду с вершинами в точках A, B, C, D. Тогда A= B= C. Достаточно вычислить A и затем утроить его. D вычисляется самостоятельно.

Выпишем внешние единичные нормали

-Основание.

Не имеет геометрического смысла.

Корень

При

Функция убывает

И возрастает при

Знак определяется величиной

,

,

И

Тогда:

Решим уравнение:

20 Рассмотрим пирамиду АBCO

Рассмотрим пирамиду АBCO

(0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0),

Будем варьировать три вершины. Вычислим углы:

Данная сумма углов инвариантна относительно круговой подстановке переменных a, b, c:

Найдем производные :

Обозначим тогда:

21 Данная система инвариантна относительно круговой подстановки

Данная система инвариантна относительно круговой подстановки

переменных. Следовательно, она имеет решение с одинаковыми координатами, т.е. A=B=C=t, тогда для переменной t получается одно тождество, справедливое при всех значениях t:

Общее решение нашей задачи будет (t >0) и, окончательно, получаем a=b=c=

Вывод: сумма внутренних углов пирамиды с тремя вершинами на осях координат и четвертой- в начале координат, минимальна только тогда, когда вершины, лежащие на осях, равноудалены от начала координат.

Тогда:

.

.

22 Сравнительный анализ

Сравнительный анализ

Аналогично и для n-угольника:

Внешние углы сферического треугольника.

, Где

, Где

Внутренние углы сферического треугольника.

23 Заключение

Заключение

В ходе работы мы рассматриваем вспомогательные задачи, формулируем и доказываем ряд лемм о вычислении телесных углов; получаем новые формулы, выражающие телесные углы через внешние перпендикуляры граней; вычисляем сумму телесных углов при вершинах треугольной пирамиды, а также получаем формулу для вычисления суммы всех телесных углов выпуклого n-гранника с m-вершинами. Вводим ряд новых обозначений. Показываем применение нашего подхода к решению вариационных задач

«Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/reshenie-problemy-a.-k.-tsikha-o-summe-vnutrennikh-telesnykh-uglov-pri-vershinakh-vypuklogo-mnogogrannika-v-trjokhmernom-prostranstve-s-primeneniem-v-variatsionnykh-zadachakh-173977.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Углы в пространстве > Решение проблемы А. К. Циха о сумме внутренних телесных углов при вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве с применением в вариационных задачах