Золотое сечение
<<  Задачи на построение сечений Тетраэдр и его сечения плоскостью  >>
Решение задач на построение сечений в многогранниках
Решение задач на построение сечений в многогранниках
Методы построения сечений
Методы построения сечений
Комментарий
Комментарий
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Использование свойств параллельных прямых и плоскостей
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод следов
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Метод внутреннего проектирования
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Применение методов построения сечений многогранников при решении
Источники информации
Источники информации

Презентация: «Решение задач на построение сечений в многогранниках». Автор: ион. Файл: «Решение задач на построение сечений в многогранниках.pptx». Размер zip-архива: 220 КБ.

Решение задач на построение сечений в многогранниках

содержание презентации «Решение задач на построение сечений в многогранниках.pptx»
СлайдТекст
1 Решение задач на построение сечений в многогранниках

Решение задач на построение сечений в многогранниках

Разработка учителя математики репкиной Е.А.

2 Методы построения сечений

Методы построения сечений

Использование свойств параллельных прямых и плоскостей Метод следов Метод внутреннего проектирования

3 Комментарий

Комментарий

В задачах на построение в стереометрии удобно использовать схему решения задач на построение, известную из курса планиметрии: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование. На этапе анализа предполагаем, что задача уже решена, выполняем соответствующий рисунок и, опираясь на известные свойства прямых и плоскостей, пробуем составить план построения. На этапе построения по составленному плану описываем построение, детализируя его до элементарных построений в изображённых плоскостях. На этапе доказательства обосновываем, что в результате построения действительно получили фигуру с заданными свойствами. На этапе исследования рассматриваем каждый шаг построения и отвечаем на два вопроса: 1) Всегда ли можно выполнить этот шаг? 2) Сколько фигур получим в результате?

4 Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

М

Задача 1. В пирамиде DABC через данную точку М на ребре AD проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC.

Анализ. Допустим, что задача решена и соответствующее сечение МКТ построено.

Т.к. (МКТ) || (DBC), то грани ADC, ADB и АВС пересекают параллельные плоскости по параллельным прямым. Значит, МК || DB, МТ || DC и ТК || ВС. Это даёт возможность выполнить построение.

5 Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

D

М

К

В

А

Т

С

Задача 1. В пирамиде DABC через данную точку М на ребре AD проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC.

Построение.

Проведём через точку М в плоскости ADC прямую МТ || DC (Т? АС),

а в плоскости ADB – прямую МК || DB (К? АВ)

и соединим точки Т и К.

Тогда МКТ - искомое сечение.

6 Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

М

Задача 1. В пирамиде DABC через данную точку М на ребре AD проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC.

Доказательство. По построению МТ || DC и MK || DB, тогда (MKT) || (DBC) по признаку параллельности плоскостей.

Исследование. Задача всегда имеет единственное решение, так как каждый шаг можно выполнить однозначно.

7 Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

Ориентир. Если данный многогранник содержит параллельные грани, которые пересекает плоскость сечения, то линии пересечения секущей плоскости с этими гранями параллельны. /Свойство параллельного проектирования/

Задача 2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, которая проходит через точки К, М, N, где М?АА1, N?ВВ1, К лежит в грани DCC1D1.

К

N

М

8 Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

Использование свойств параллельных прямых и плоскостей

Решение.

Задача 2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, которая проходит через точки К, М, N, где М?АА1, N?ВВ1, К лежит в грани DCC1D1.

К

N

М

Точки М и N принадлежат секущей плоскости и лежат в одной грани АВВ1А1, поэтому их можно соединить отрезком MN.

Т.к. DCC1D1||АВВ1А1, то секущая плоскость пересекает грань DCC1D1 по прямой ТЕ, проходящей через точку К параллельно MN.

Соединив точки М, Т, Е и N получим искомое сечение – четырёхугольник МТЕN.

9 Метод следов

Метод следов

Содержание метода Сначала строят прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани (след секущей плоскости на этой грани), а потом находят точки пересечения секущей плоскости с соответствующими рёбрами многогранника (или с их продолжениями). Иногда для этого необходимо рассматривать определённые вспомогательные плоскости, для которых также строят след секущей плоскости (или след этой вспомогательной плоскости на плоскости какой-либо грани).

10 Метод следов

Метод следов

?

Содержание метода Для получения следа (т.е. прямой b) плоскости ? на плоскости ? достаточно найти точки пересечения двух прямых плоскости ? с плоскостью ? (т.к. две точки, например А и С, однозначно определяют прямую b).

?

Необходимо помнить, что точка пересечения какой-либо прямой а плоскости ? с плоскостью ? всегда лежит на следе плоскости ? на плоскости ? (т.е. на прямой b).

11 Метод следов

Метод следов

Содержание метода Для получения следа (т.е. прямой b) плоскости ? на плоскости ? достаточно найти точки пересечения двух прямых плоскости ? с плоскостью ? (т.к. две точки, например А и С, однозначно определяют прямую b).

?

?

Если рассматривать параллельное (или центральное) проектирование, то, для того, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью проекции, достаточно найти точку пересечения прямой с её проекцией на эту плоскость.

12 Метод следов

Метод следов

Решение.

Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

L1

К

М

Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.

13 Метод следов

Метод следов

Решение.

Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

L1

К

М

Р

Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.

Построим точку Р пересечения LK и L1А.

14 Метод следов

Метод следов

Решение.

Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

L1

К

М

Р

Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.

Построим точку Р пересечения LK и L1А.

Прямая МР – след секущей плоскости на плоскости основания, а точка Н – точка пересечения МР и АD и ещё одна точка сечения куба.

15 Метод следов

Метод следов

Решение.

Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

L1

К

М

Р

Далее, используя параллельность противоположных граней куба, строим LF || МН.

Соединяем F и К.

Строим МЕ || FК.

Соединяем полученные точки сечения и получаем шестиугольник КНМЕLF – искомое сечение.

16 Метод внутреннего проектирования

Метод внутреннего проектирования

Содержание метода Имея три точки, которые определяют плоскость сечения, находят их проекции на какую-либо плоскость (наиболее часто на плоскость основания многогранника). Также находят проекцию какой-либо ещё не построенной точки сечения. (Эту неизвестную точку сечения, как правило, выбирают на боковом ребре многогранника таким образом, чтобы какие-то два отрезка, соединяющие четыре точки проекции, пересекались во внутренней точке этих отрезков). С помощью трёх данных точек и четырёх проекций находят четвёртую точку, принадлежащую плоскости сечения. Если необходимо, таким же образом получают пятую, шестую и т.д. точки, которые лежат на плоскости сечения и рёбрах многогранника, т.е. получают сечение.

17 Метод внутреннего проектирования

Метод внутреннего проектирования

Решение.

Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

К

М

Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.

Будем искать точку Е пресечения секущей плоскости с ребром СС1: проекцией точки Е на плоскость основания является точка С. Соединим четыре точки-проекции отрезками АС и L1М, обозначим точку пересечения Х1.

Х1

18 Метод внутреннего проектирования

Метод внутреннего проектирования

Решение.

Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

К

М

* Точка Х1 – проекция некоторой точки Х секущей плоскости, в которой пересекается прямая LM с пока ещё не определённой прямой КЕ. Проведём через Х1 прямую ХХ1 || LL1, в пересечении ХХ1 и ML получим точку Х.

Х

Х1

19 Метод внутреннего проектирования

Метод внутреннего проектирования

Решение.

Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

F

Е

К

М

Теперь проводим прямую КХ до пересечения с ребром СС1 и получаем точку Е.

Дальнейшие построения опираются на параллельность противоположных граней куба, которые секущая плоскость пересекает по параллельным прямым:

Х

Соединяем М и Е.

Х1

Строим КF ||МЕ.

Соединяем Е и L.

20 Метод внутреннего проектирования

Метод внутреннего проектирования

Решение.

Задача 3. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

F

Е

К

М

H

Теперь проводим прямую КХ до пересечения с ребром СС1 и получаем точку Е.

Дальнейшие построения опираются на параллельность противоположных граней куба, которые секущая плоскость пересекает по параллельным прямым:

Х

Строим MH || FL.

Х1

Соединяем К и Н, L и Е и получаем шестиугольник КНМЕLF – искомое сечение.

21 Применение методов построения сечений многогранников при решении

Применение методов построения сечений многогранников при решении

заданий С2

Решение.

Задача 4 (ЕГЭ, 2012). Точка Е – середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью C1DЕ, если рёбра куба равны 2.

К

Е

Т.к. точки Е, D и D, С1 попарно принадлежат одной грани, можем соединить их отрезками.

Т.к. DCC1D1||АВВ1А1, то секущая плоскость пересекает грань АВВ1А1 по прямой ЕК, параллельной DC1.

Соединяем К и С и получаем четырёхугольник ЕКC1D – искомое сечение.

Дальнейшее решение строится на рассмотрении вида четырёхугольника ЕКC1D.

Ответ: 4,5

22 Применение методов построения сечений многогранников при решении

Применение методов построения сечений многогранников при решении

заданий С2

Решение.

Задача 5 (№161, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Через сторону основания и середину оси (ось – отрезок, соединяющий центры оснований) проведена плоскость. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

А1

С1

В1

А

С

В

Применим метод внутреннего проектирования:

Проекцией точки S на плоскость основания является точка О.

Точки Е и Т сечения будут лежать на линиях LL1 и ММ1, параллельных АА1.

Точки Е и Т сечения будут результатом пересечения BS с LL1 и CS с ММ1 и лежать на соответственных гранях призмы.

S

O

Т

Е

23 Применение методов построения сечений многогранников при решении

Применение методов построения сечений многогранников при решении

заданий С2

Решение.

Задача 5 (№161, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Через сторону основания и середину оси (ось – отрезок, соединяющий центры оснований) проведена плоскость. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

А1

С1

В1

А

С

В

Через точки В и Е, С и Т проведём линии сечения на гранях призмы до пересечения с рёбрами верхнего основания и получим четырёхугольник ВКDС – искомое сечение.

Дальнейшее решение строится на рассмотрении вида четырёхугольника ВКDС.

S

O

Т

Е

24 Применение методов построения сечений многогранников при решении

Применение методов построения сечений многогранников при решении

заданий С2

Решение.

Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.

Для начала нужно построить секущую плоскость КDF.

Применим метод внутреннего проектирования:

25 Применение методов построения сечений многогранников при решении

Применение методов построения сечений многогранников при решении

заданий С2

Решение.

Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.

Проекцией точки К на плоскость основания является точка Р.

Проекция вспомогательной точки Х, принадлежащей секущей плоскости, будет результатом пересечения ОС и PD.

Проведём KD и линию, параллельную SO до пересечения с KD – получим вспомогательную точку Х.

М

О

Р

FX ? SC = М – искомая точка секущей плоскости.

Х

26 Применение методов построения сечений многогранников при решении

Применение методов построения сечений многогранников при решении

заданий С2

Решение.

Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.

Проекция вспомогательной точки Y, принадлежащей секущей плоскости, будет результатом пересечения ОA и PF.

L

Проведём KF и линию, параллельную SO до пересечения с KF – получим вспомогательную точку Y.

DY ? SA = L – искомая точка секущей плоскости.

О

Р

Y

27 Применение методов построения сечений многогранников при решении

Применение методов построения сечений многогранников при решении

заданий С2

Решение.

Задача 6 (№38, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.

Соединив полученные точки L и M с К, D и F, получим искомую плоскость КDF, (MКLDF – пятиугольник, изображающий искомую плоскость).

L

Дальнейшее решение строится на нахождении расстояния от точки А до плоскости пятиугольника MКLDF.

М

О

Р

28 Применение методов построения сечений многогранников при решении

Применение методов построения сечений многогранников при решении

заданий С2

Решение.

Задача 6 (Пример 52, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, найти угол между прямой АВ1 и плоскостью АСЕ1.

А1

А1

А1

Для начала нужно построить секущую плоскость АСЕ1.

А1

Применим метод внутреннего проектирования:

Проекцией точки Е1 на плоскость основания является точка Е.

С

D

Точки Е и Т сечения будут лежать на линиях LL1 и ММ1, параллельных АА1.

В

Точки Е и Т сечения будут результатом пересечения BS с LL1 и CS с ММ1 и лежать на соответственных гранях призмы.

Е

А

F

29 Источники информации

Источники информации

Нелин Е.П. Комплексная подготовка к ЕГЭ и ГИА. Геометрия. 7-11 классы. – 2-е изд., испр. – М.:ИЛЕКСА, 2012 www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики (Пособие для решения заданий С2, авт. Корянов А.Г., Прокофьев А.А.)

«Решение задач на построение сечений в многогранниках»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/reshenie-zadach-na-postroenie-sechenij-v-mnogogrannikakh-84185.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Золотое сечение > Решение задач на построение сечений в многогранниках