Решение задач на построение треугольников 7 класс

Вариант решения задачи на построение в курсе планиметрии

Работу выполнила: учитель математики школы №625 Карлсон Е. С.

Решение задачи на построение включает в себя пять этапов

Задача:

Построить треугольник по трем сторонам

Этап работы с текстом задачи

Построить треугольник по трём сторонам

Дано: отрезок PQ отрезок P1Q1 отрезок P2Q2 Построить: треугольник ABC такой, что: AB= PQ AC= P1Q1 BC= P2Q2

Этап поиска решения задачи (этап анализа задачи)

1. Ученик предполагает, что данная задача решена и заданный объект построен.

2. Учащийся устанавливает в каком отношении находятся и каким свойством обладают элементы объекта (или сам объект), которые необходимо построить.

3.Ученик продумывает план решения задачи.

Анализ: Предположим, что треугольник построен…

Сторону AC можно построить так, чтобы она была равна длине отрезка P1Q1

2. Вершина B удалена от вершины A на расстояние, равное длине отрезка PQ, то есть она лежит на окружности с центром в точке A и радиусом PQ

3. Вершина B удалена от вершины C на расстояние равное длине отрезка P2Q2, то есть она лежит на окружности с центром в точке C и радиусом P2Q2

4. Таким образом точка В может быть получена в результате пересечения двух окружностей

Этап построения

Учащийся составляет и записывает в тетрадь план построения заданного объекта, при этом выполняя каждый шаг этапа построения

Построение:

B

A

C

1. Проведём прямую a;

2. Отложим на прямой a отрезок AC=P1Q1;

3. Построим окружность (т.А; PQ);

4. Построим окружность (т.С; P2Q2);

5. (т.А; PQ)?(т.С; P2Q2)=т.B;

6. Соединим точки B и C, A и B;

7. Треугольник ABC - искомый

Этап доказательства

Учащийся поэтапно доказывает, что построенная фигура полностью соответствует условию задачи и все данные использованы.

Доказательство:

Докажем, что все стороны треугольника равны соответственно длинам данных отрезков

1. AC=P1Q1 (по п.2 этапа построения);

2. AB=PQ (так как т.В принадлежит окружности (т.A, PQ), по построению);

3. ВС=P2Q2 (так как т.B принадлежит окружности (т.С; P2Q2 ), по построению).

Этап исследования

На этапе исследования необходимо ответить на два вопроса:

1. Всегда ли задача имеет решение, и если не всегда, то при каких условиях задача разрешима?

2. Сколько решений имеет данная задача, то есть сколько можно построить фигур, соответствующих условию задачи?

Исследование:

P2

Q2

P

Q

1. Всегда ли задача разрешима?

P1

Q1

Для любых ли трёх отрезков можно построить треугольник с заданными сторонами?

Нет!!! Для любого треугольника справедливо «неравенство треугольника», то есть каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, значит, для того чтобы можно было построить треугольник, длина каждого данного отрезка должна быть меньше суммы длин двух других сторон.

Нельзя построить треугольник, так как P1Q1 < PQ + P2Q2 (окружности не пересекаются – нет третьей вершины треугольника)

2.Сколько решений имеет задача?

Сколько можно построить треугольников с заданными сторонами?

Бесконечно много, но все они будут равны по трём сторонам

Использованная литература и ссылки

Задачи на построение 7-11 классы.

http://fantasyflash.ru

http://web-disard.narod.ru

http://briticat.ru/animashki1.html