Геометрические тела
<<  Тела вращения и их сечения Решение задач на комбинации многогранников и тел вращения  >>
Сечения многогранников и тел вращения
Сечения многогранников и тел вращения
Главное меню
Главное меню
На главное меню
На главное меню
На главное меню
На главное меню
Основы геометрии
Основы геометрии
Аксиомы принадлежности
Аксиомы принадлежности
Аксиомы расстояния
Аксиомы расстояния
Аксиома 1. (аксиома плоскости)
Аксиома 1. (аксиома плоскости)
Аксиома 2. (аксиома прямой и плоскости)
Аксиома 2. (аксиома прямой и плоскости)
Аксиома 3. (аксиома пересечения плоскостей)
Аксиома 3. (аксиома пересечения плоскостей)
Аксиома 1. Для любых двух точек А и В пространства однозначно
Аксиома 1. Для любых двух точек А и В пространства однозначно
Аксиома 2. Любая плоскость разбивает пространство на два
Аксиома 2. Любая плоскость разбивает пространство на два
Сечения многогранников
Сечения многогранников
Общая классификация сечений
Общая классификация сечений
Способы построения сечений
Способы построения сечений
Дано: призма ABCA1B1C1, P є AA1, Q є B1C1, R є BCC1B1
Дано: призма ABCA1B1C1, P є AA1, Q є B1C1, R є BCC1B1
?3
?3
Дано: призма ABCDA1B1C1D1 PєBC, QєCC1 и RєCD
Дано: призма ABCDA1B1C1D1 PєBC, QєCC1 и RєCD
Дано: на ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно т. P и Q
Дано: на ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно т. P и Q
?
?
4. В итоге получаем многоугольник PQD1RB1 искомое сечение
4. В итоге получаем многоугольник PQD1RB1 искомое сечение
Рассмотрим данный способ построения сечения на примере конкретной
Рассмотрим данный способ построения сечения на примере конкретной
Используемая и рекомендуемая литература
Используемая и рекомендуемая литература
Основные математические понятия
Основные математические понятия
Тела вращения и их сечения
Тела вращения и их сечения
Цилиндр
Цилиндр
Цилиндр как геометрическое тело
Цилиндр как геометрическое тело
2. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с
2. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с
3. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из
3. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из
Сечения цилиндра
Сечения цилиндра
Случай 1. Если секущая плоскость пересекает цилиндр параллельно оси
Случай 1. Если секущая плоскость пересекает цилиндр параллельно оси
Случай 2. Если секущая плоскость пересекает цилиндр перпендикулярно
Случай 2. Если секущая плоскость пересекает цилиндр перпендикулярно
Случая 3. Пересекая круговой цилиндр плоскостью, наклоненными к его
Случая 3. Пересекая круговой цилиндр плоскостью, наклоненными к его
Шар
Шар
Сечения шара
Сечения шара
Случай 1. Пересечение шара и плоскости есть круг (если секущая
Случай 1. Пересечение шара и плоскости есть круг (если секущая
Случай 2. Пересечение шара и плоскости есть точка (если секущая
Случай 2. Пересечение шара и плоскости есть точка (если секущая
Случай 3. Плоскость может не пересекать шар (если секущая плоскость
Случай 3. Плоскость может не пересекать шар (если секущая плоскость
Шар как геометрическое тело
Шар как геометрическое тело
Конус как геометрическое тело Сечения конуса
Конус как геометрическое тело Сечения конуса
Конус как геометрическое тело
Конус как геометрическое тело
2. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L,
2. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L,
3. Конус может быть получен вращением прямого треугольника вокруг
3. Конус может быть получен вращением прямого треугольника вокруг
Сечения конуса
Сечения конуса
Случай 1. Если секущая плоскость пересекает конус параллельно его
Случай 1. Если секущая плоскость пересекает конус параллельно его
Случай 2. Если секущая плоскость пересекает конус, проходя через его
Случай 2. Если секущая плоскость пересекает конус, проходя через его
Случай 3. Если секущая плоскость пересекает все образующие конуса (не
Случай 3. Если секущая плоскость пересекает все образующие конуса (не
Случай 4. Если секущая плоскость параллельна одной образующей, то
Случай 4. Если секущая плоскость параллельна одной образующей, то
Случай 5. Если секущая плоскость параллельна двум образующим, то
Случай 5. Если секущая плоскость параллельна двум образующим, то
Об авторе
Об авторе

Презентация: «Сечения многогранников и тел вращения». Автор: Win98. Файл: «Сечения многогранников и тел вращения.ppt». Размер zip-архива: 3293 КБ.

Сечения многогранников и тел вращения

содержание презентации «Сечения многогранников и тел вращения.ppt»
СлайдТекст
1 Сечения многогранников и тел вращения

Сечения многогранников и тел вращения

Выход из презентации

2 Главное меню

Главное меню

Практическое применение сечений Определение сечения Основные математические понятия и аксиомы геометрии Сечения многогранников Тела вращения и их сечения Об авторе Список используемой и рекомендуемой литературы

3 На главное меню

На главное меню

Практическое применение графических методов начертательной геометрии при решении математических и технических задач. “Раньше говорили: язык инженера – чертеж. Язык нынешнего инженера – сочетание математики и чертежа. Для него чертеж – способ перехода от теоретических выводов к схемам и конструкциям. А источник теоретических выводов – исследование физики явлений и рабочих процессов аналитическими, математическими или графоаналитическими методами в сочетании с экспериментами и исследованиями”1. При решении всякой технической задачи приходиться производить различного рода расчеты. Они обычно заключаются в целом ряде сложных и утомительных математических выкладок и вычислений. Так как основная задача техники – добиваться наивыгоднейшего результата с наименьшей затратой труда, времени и средств, то, естественно, техника выработала особые приемы и способы так называемых “технических графических вычислений”, облегчающих и ускоряющих эти расчеты, иногда в ущерб их математической точности. Графический метод расчета довольно часто применяется в различных областях техники: при расчетах мостовых пролетов и ферм, пространственных механизмов, конструкций и т.д., вообще там, где можно заменить сложный расчет по формулам более простым графическим. Следует знать, что графическое решение так же важно, как и аналитическое, что оно в ряде случаев дает более быстрый путь решения. Иногда это единственный путь, а именно при ограниченном круге математических познаний. Графическое решение задачи дает практически достаточно точный ответ на поставленный вопрос.

1 Лазарев Л. Инженеры завтрашнего дня. “Известия” от 13 марта 1963 г.

4 На главное меню

На главное меню

Пусть пространственная фигура ? пересечена некоторой плоскостью ?. Тогда их пересечение есть плоская фигура F, которая называется сечением: F=????.

5 Основы геометрии

Основы геометрии

Аксиомы принадлежности Аксиомы расстояния Основные математические понятия

На главное меню

6 Аксиомы принадлежности

Аксиомы принадлежности

Аксиома 1 (плоскости) Аксиома 2 (прямой и плоскости) Аксиома 3 (пересечения плоскостей)

7 Аксиомы расстояния

Аксиомы расстояния

Аксиома 1 Аксиома 2

8 Аксиома 1. (аксиома плоскости)

Аксиома 1. (аксиома плоскости)

В пространстве существуют различные плоскости. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

9 Аксиома 2. (аксиома прямой и плоскости)

Аксиома 2. (аксиома прямой и плоскости)

Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости.

10 Аксиома 3. (аксиома пересечения плоскостей)

Аксиома 3. (аксиома пересечения плоскостей)

Если две различные плоскости имеют одну общую точку, то их пересечение - общая прямая

11 Аксиома 1. Для любых двух точек А и В пространства однозначно

Аксиома 1. Для любых двух точек А и В пространства однозначно

определено некоторое неотрицательное число ?АВ?, называемое расстоянием между ними и обладающее свойствами:

m

1. Расстояния ?АВ? = ?ВА?. 2. (?АВ? = 0) ? (А ? В) (точки совпадают). 3. Справедливое неравенство: ?АВ? + ?ВС? ? ?АС?.

12 Аксиома 2. Любая плоскость разбивает пространство на два

Аксиома 2. Любая плоскость разбивает пространство на два

полупространства.

Полупространство A

Полупространство B

13 Сечения многогранников

Сечения многогранников

Общая классификация сечений Способы построения сечений

На главное меню

14 Общая классификация сечений

Общая классификация сечений

Различные классификации сечений. · Аксиоматический - метод следов; - метод вспомогательных сечений; · Построение сечений, параллельных данной прямой; · Построение сечений, параллельных данной плоскости; · Построение сечений, параллельных двум данным скрещивающимся прямым; · Построение сечений, перпендикулярных данной плоскости; · Комбинированный метод;

15 Способы построения сечений

Способы построения сечений

· Метод следов; · Метод вспомогательных сечений; · Построение сечений, параллельных данной прямой; · Построение сечений, параллельных данной плоскости; · Построение сечений, параллельных двум данным скрещивающимся прямым; · Построение сечений, перпендикулярных данной плоскости; · Комбинированный метод;

Переход к следующему шагу задачи производится при нажатии левой клавиши мыши или Пробела

16 Дано: призма ABCA1B1C1, P є AA1, Q є B1C1, R є BCC1B1

Дано: призма ABCA1B1C1, P є AA1, Q є B1C1, R є BCC1B1

Построим сечение призмы плоскостью PQR.

Решение: 1. т.к. Q є BCC1, R є BCC1, то RQ є BCC1. Проведем ее. Это след плоскости PQR на BCC1.

2. Прямая QR?BB1=B2, QR?CC1. Это следы PQR на прямых BB1 и CC1.

3. Т.К. B2 є ABB1 и P є ABB1, B2P є ABB1. B2P – след плоскости PQR на ABB1A1.

4. т.к. C2 є AСС1 и P є AСС1, то С2P є AСС1. Проведем ее. PC2?A1C1=V. Это след плоскости PQR на ACC1.

5. т.к. Q є A1B1С1 и V є A1B1С1, то QV є A1B1С1. Проведем QV. QV - это след плоскости PQR на A1B1C1

6. Итак, B2QVP – это искомое сечение. Ответ. Искомое сечение B2QVP.

17 ?3

?3

?1

?2

Дано: призма ABCDEA1B1C1D1E1 т. P є BB1, т. Q є D1E1, т. R є AA1. Построим сечение призмы плоскостью PQR.

9. Проводим прямую RE2. Отрезок RE2 – это след плоскости PQR на грани АЕЕ1А1.

10. RR? || СС1. Ими определяется плоскость ?3. Строим сечение призмы плоскостью ?3. Это – третье вспомогательное сечение.

Решение: 1. Отрезок PR – это след плоскости PQR на грани АВВ1А1.

11. Находим линию пересечения плоскостей ?1 и ?3. Это прямая КК1, где К=R?С??P?Q? и точка К1=А1С1??B1Q. Находим точку К2= PQ??КК1. Проводим RК2. С2=RК2??СС1.

2. Примем плоскость АВС за основную. Построим проекции на ABC точек P, Q и R (в направлении, параллельном боковому ребру призмы). Получаем точку P?, R?, Q?.

12. Проводим прямые PC2 и C2D2. Получаем отрезки PC2, C2L и LQ – следы плоскости PQR соответственно на гранях ВСС1В1, CDD1C1 и A1B1C1D1E1.

3. Параллельными прямыми PP? и QQ? определяется плоскость ?1. Строим сечение призмы плоскостью ?1. Это – первое вспомогательное сечение.

13. Итак, совокупность построенных следов плоскости PQR на гранях призмы образует многоугольник PRE2QLC2, который и является искомым сечением. Ответ. PRE2QLC2 – искомое сечение.

4. Параллельными прямыми RR? и DD? определяется плоскость ?2. Строим сечение призмы плоскостью ?2. Это – второе вспомогательное сечение.

5. Строим линию пересечения плоскостей ?1 и ?2. F=P?Q???AD и точка F1=В1Q??А1D1. Это прямая FF1. Строим.

6. В плоскости ?1 проводим прямую PQ. Строим F2=PQ??FF1. Так как F2 є PQ, то F2 є PQR. Тогда прямая RF2 є PQR.

7. Проведем прямую RF2 и находим точку D2=RF2??DD1. Так как точка D2 є RF2, то D2 є PQR. D2 – это след плоскости PQR на прямой DD1.

8. Проводим прямую D2Q. Это след плоскости PQR на DEE1. На прямой EE1 получаем т. E2=RF2??ЕЕ1. Отрезок QE2 – это след плоскости PQR на грани DЕЕ1D1.

18 Дано: призма ABCDA1B1C1D1 PєBC, QєCC1 и RєCD

Дано: призма ABCDA1B1C1D1 PєBC, QєCC1 и RєCD

Построим сечение призмы плоскостью ?, параллельной плоскости PQR и проходящей через точку KєBC.

Решение: 1. Построим сечение призмы плоскостью PQR.

2. Так как ? - плоскость заданного сечения проходит через точку K, лежащую в плоскости BCC1, то она пересекает плоскость BCC1 по прямой, проходящей через точку K. И так как плоскость ? параллельна плоскости PQR, то следы плоскости ? и плоскости PQR на плоскости BCC1 параллельны между собой. Поэтому в плоскости BCC1 через точку K проведем прямую KE ??PQ.

3. Проведем в плоскости ABC через точку K прямую KF??PR и в плоскости DCC1 через точку F прямую FN ??RQ.

4. Соединим точку E с точкой N. Четырехугольник KENF – искомое сечение. Ответ. Искомое сечение - KENF.

19 Дано: на ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно т. P и Q

Дано: на ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно т. P и Q

Построим сечение пирамиды плоскостью ?, проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, т. Rє MB.

Решение: 1. Плоскость, проходящая через прямую AR и т. Q есть MAB. В плоскости MAB через т. Q проведем прямую QF ??AR.

2. Пересекающимися прямыми PQ и QF определяется плоскость ? ( PQF) - плоскость искомого сечения.

3. Построим проекции точек F и Q на плоскости ABC (в направлении параллельном ребрам). Это т.F'?B и т.Q'?A. Тогда точка S1=FQ??F?Q? лежат на основном следе секущей плоскости ?.

4. Так как точка P лежит на основном следе секущей плоскости ?, то прямая S1P – след плоскости ?, а отрезок S2P – след плоскости ? на грани ABC. Далее ясно, что точку P следует соединить с точкой F. В итоге четырехугольник PFQS2 – искомое сечение. Ответ. Искомое сечение PFQS2.

20 ?

?

Дано: пирамида MABCD PєMB, KєMA и QєAC (AC – отрезок). Построим сечение пирамиды плоскостью ?, проходящей через точку K параллельно прямой PQ и CD.

Решение: 1. В плоскости ABC через точку Q проведем прямую, параллельную прямой CD, и найдем точки S1, S2 и S3, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые BC, AD и AB.

2. Пересекающимися прямыми PQ и S1S2 определяется плоскость ? - плоскость вспомогательного сечения. Построим это сечение. Основным следом плоскости ? является прямая S1S2. Отрезок PS1– след плоскости ? на грани MBC, прямая PS3 – ее след на плоскости MAB, отрезок PA1 – на грани MAB, отрезок A1S2 – на грани MAD.

3. Строим далее сечение пирамиды плоскостью ?, проходящей через точку K параллельно плоскости ?. В итоге получаем многоугольник KB1C1D1 – искомое сечение. Ответ. KB1C1D1 – искомое сечение.

21 4. В итоге получаем многоугольник PQD1RB1 искомое сечение

4. В итоге получаем многоугольник PQD1RB1 искомое сечение

Ответ. PQD1RB1- искомое сечение.

Дано: пирамида MABCD точки P - середина AB и Q – середина AD, а точка RєMC зададим. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P,Q и R.

Решение: 1. Основным следом плоскости PQR является прямая PQ. Найдем точку K, в которой плоскость MAC пересекает прямую PQ. Точки K и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

2. Найдем точку N=AC??BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR??MN.

3. Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, т.е. эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ – средняя линия треугольника ABD, то PQ??BD, т.е. прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, т.е. параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.

22 Рассмотрим данный способ построения сечения на примере конкретной

Рассмотрим данный способ построения сечения на примере конкретной

задачи. Дано: правильная призмы ABCA1B1C1, AA1=AB, на ребре AC задана точка P – середина этого ребра. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точку P перпендикулярно прямой BC1.

4. Зная это отношение, построим точку H и проводим прямую PH, которая и является прямой, перпендикулярной BC1. Затем в плоскости BCC1B1 через точку H проведем прямую, параллельную прямой B1C. Пусть эта прямая пересекает прямые BB1 и BC соответственно в точках B2 и S1. Таким образом, прямая B2S1 перпендикулярна прямой BC1. Пересекающимися прямыми PH и B2S1 определяется плоскость ? - плоскость искомого сечения.

1. Если через какую-нибудь точку прямой BC1 провести две прямые, перпендикулярные прямой BC1, то этими пересекающимися прямыми определится плоскость, перпендикулярная прямой BC1.Проведем построение.

5. Построим сечение призмы плоскостью ?. Получаем последовательно: точку S2= PS1??AB, прямую B2S2, точку A2= B2S2??AA1 и, наконец, четырехугольник PA2B2S1 – искомое сечение. Ответ. PA2B2S1 – искомое сечение.

2. Так как четырехугольник BCC1B1 является квадратом, то B1C ? BC1.Проведя прямую B1C, мы получим первую прямую перпендикулярную прямой BC1.

23 Используемая и рекомендуемая литература

Используемая и рекомендуемая литература

На главное меню

Л.Н.Бескин “Стереометрия”, изд. “Просвещение”, Москва 1971. Приложение к журналу “Квант” № 2/2001, “Такая разная геометрия”. В,Н.Литвиненко “Решение типовых задач по геометрии”, изд. “Просвещение”, Москва 1999. С.А.Фролов “Сборник задач по начертательной геометрии” , изд. “Машиностроение”, Москва 1980.

24 Основные математические понятия

Основные математические понятия

Поверхность – это идеально тонкая пленка, которая имеет длину и ширину, но не имеет толщины. Поверхность двумерна. Замкнутая поверхность разбивает все пространство на две части: конечную или бесконечную – внутреннюю и всегда бесконечную – внешнюю; в этом случае , двигаясь по линии нельзя попасть из одной части пространства в другую, нигде не пересекая поверхность (рис.). Тело – внутренняя часть замкнутой поверхности, включая саму эту поверхность (граница тела). Тело, как и пространство, трехмерно, т.е. имеет длину, ширину и высоту.

На главное меню

Рис.

25 Тела вращения и их сечения

Тела вращения и их сечения

Шар Цилиндр Конус

На главное меню

26 Цилиндр

Цилиндр

Цилиндр как геометрическое тело Сечения цилиндра

27 Цилиндр как геометрическое тело

Цилиндр как геометрическое тело

1. Рассмотрим две параллельные плоскости ? и ? и окружность L с центром O радиуса r, расположенную в плоскости ? (рис.). Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную плоскости ?. Отрезки этих прямых, заключенных между плоскостями ? и ?, образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности.

По построению концы образующих, расположенные в плоскости ?, заполняют окружность L. Концы же образующих, расположенные в плоскости ?, заполняют окружность L1 с центром O1 радиуса r, где O1 – точка пересечения плоскости ? с прямой, проходящей через точку O перпендикулярно к плоскости ?. Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости ?, получается из окружности L параллельным переносом на вектор OO1. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор OO1 окружность L переходит в равную ей окружность L1 с центром O1 радиуса r.

28 2. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с

2. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с

границами L и L1, называется цилиндром (рис.).

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая OO1 – осью цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями ? и ?. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

29 3. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из

3. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из

его сторон. (рис.). При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания – вращением сторон BC и AD.

Любая плоскость, проходящая через ось, является плоскостью симметрии; середина оси является (единственным) центром симметрии; любая прямая проходящая через центр перпендикулярно оси вращения, является осью симметрии (осью второго порядка).

30 Сечения цилиндра

Сечения цилиндра

Прямоугольник Круг Эллипс

31 Случай 1. Если секущая плоскость пересекает цилиндр параллельно оси

Случай 1. Если секущая плоскость пересекает цилиндр параллельно оси

вращения и перпендикулярно оси симметрии второго порядка, то сечением является прямоугольник. Пример: цилиндр с осью вращения OO1 и осью симметрии второго порядка SS1 пересекает плоскость ???OO1 и ?? SS1. Сечением является прямоугольник ABCD.

32 Случай 2. Если секущая плоскость пересекает цилиндр перпендикулярно

Случай 2. Если секущая плоскость пересекает цилиндр перпендикулярно

оси вращения и параллельно оси симметрии второго порядка, то сечением является круг. Пример: цилиндр с осью вращения OO1 и осью симметрии второго порядка SS1 пересекает плоскость ??OO1 и ???SS1. Сечением является круг центр, которого принадлежит оси вращения цилиндра.

33 Случая 3. Пересекая круговой цилиндр плоскостью, наклоненными к его

Случая 3. Пересекая круговой цилиндр плоскостью, наклоненными к его

основанию под острым углом ?, я получаю овальные кривые, которые называются эллипсом. Пример: цилиндр с осью вращения OO1 и осью симметрии второго порядка KK1 пересекает плоскость ? под острым углом ? к нижнему основанию. Сечением является эллипс с центром в производной точке C на прямой OO1.

34 Шар

Шар

Шар как геометрическое тело Сечения шара

35 Сечения шара

Сечения шара

Круг Точка (касание) Не пересечение

36 Случай 1. Пересечение шара и плоскости есть круг (если секущая

Случай 1. Пересечение шара и плоскости есть круг (если секущая

плоскость находится на расстоянии меньшем, чем радиус шара от центра). Пример: дан шар с центром в точке O. Шар пересекают плоскости ? и ?. Сечением является шар, центр которого принадлежит оси вращения шара.

37 Случай 2. Пересечение шара и плоскости есть точка (если секущая

Случай 2. Пересечение шара и плоскости есть точка (если секущая

плоскость находится на расстоянии радиуса от центра шара). Пример: дан шар с центром в точке O. Шар пересекают плоскости ? на расстоянии радиуса данного шара. Сечением является точка. В этом случае плоскость является касательной и перпендикулярной к радиусу в точку касания O1.

38 Случай 3. Плоскость может не пересекать шар (если секущая плоскость

Случай 3. Плоскость может не пересекать шар (если секущая плоскость

находится на расстоянии большем, чем радиус шара от центра). Пример: дан шар с центром в точке O. Шар пересекают плоскости ? на расстоянии радиуса данного шара. Сечением является точка. В этом случае плоскость является касательной и перпендикулярной к радиусу в точку касания O1.

39 Шар как геометрическое тело

Шар как геометрическое тело

R

O

Свойства шара намного сложнее, чем свойства цилиндра и конуса. При изучении шара очень полезна его аналогия с кругом. Определение: геометрическое место точек пространства, удаленных на данное расстояние от одной точки, называется сферой. Указанное расстояние (R) называется радиусом сферы, а указанная точка (O) – ее центром. Тело, ограниченное сферой, называется шаром; все точки шара удалены от центра на расстояние, меньшее или равное R. Отрезок , соединяющий две точки сферы, называется хордой (шара или сферы); хорда проходящая через центр, называется диаметром.

40 Конус как геометрическое тело Сечения конуса

Конус как геометрическое тело Сечения конуса

Конус

41 Конус как геометрическое тело

Конус как геометрическое тело

1. Рассмотрим окружность L с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью (рис.), а сами отрезки – образующими конической поверхности.

42 2. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L,

2. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L,

называется конусом (рис.). Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие конуса равны друг другу. Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса.

43 3. Конус может быть получен вращением прямого треугольника вокруг

3. Конус может быть получен вращением прямого треугольника вокруг

одного из его катетов (рис.). При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы AC, а основание – вращением катета BC.

44 Сечения конуса

Сечения конуса

Круг Равнобедренный треугольник Эллипс Парабола Ветвь гиперболы

45 Случай 1. Если секущая плоскость пересекает конус параллельно его

Случай 1. Если секущая плоскость пересекает конус параллельно его

основанию, то сечением является круг. Пример: дан конус с основанием L и центром O. Секущая плоскость ???L. Сечение круг.

46 Случай 2. Если секущая плоскость пересекает конус, проходя через его

Случай 2. Если секущая плоскость пересекает конус, проходя через его

основание и вершину, то сечением является равнобедренный треугольник. Пример: дан конус с основанием L и центром O. Точка S ??, AB ??. Сечение равнобедренный треугольник.

47 Случай 3. Если секущая плоскость пересекает все образующие конуса (не

Случай 3. Если секущая плоскость пересекает все образующие конуса (не

параллельно основанию под некоторым углом), то плоскость пересечения образована эллипсом. Пример: дан конус с основанием L и центром O. Угол (L,?)=?. Сечение эллипс.

48 Случай 4. Если секущая плоскость параллельна одной образующей, то

Случай 4. Если секущая плоскость параллельна одной образующей, то

плоскость пересечения образована параболой. Пример: дан конус с основанием L и центром O. ?||AS. Сечение парабола.

49 Случай 5. Если секущая плоскость параллельна двум образующим, то

Случай 5. Если секущая плоскость параллельна двум образующим, то

плоскость пересечения образована одной ветвью гиперболы. Пример: дан конус с основанием L и центром O. Сечение ветвь гиперболы.

50 Об авторе

Об авторе

www.moi-mummi.ru Учитель математики Кошелева Ольга Германовна МБОУ СОШ №12 г. Саров

На главное меню

«Сечения многогранников и тел вращения»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/sechenija-mnogogrannikov-i-tel-vraschenija-211406.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Геометрические тела > Сечения многогранников и тел вращения