Сечения многогранников и тел вращения

Сечения многогранников и тел вращения

Выход из презентации

Главное меню

Практическое применение сечений Определение сечения Основные математические понятия и аксиомы геометрии Сечения многогранников Тела вращения и их сечения Об авторе Список используемой и рекомендуемой литературы

На главное меню

Практическое применение графических методов начертательной геометрии при решении математических и технических задач. “Раньше говорили: язык инженера – чертеж. Язык нынешнего инженера – сочетание математики и чертежа. Для него чертеж – способ перехода от теоретических выводов к схемам и конструкциям. А источник теоретических выводов – исследование физики явлений и рабочих процессов аналитическими, математическими или графоаналитическими методами в сочетании с экспериментами и исследованиями”1. При решении всякой технической задачи приходиться производить различного рода расчеты. Они обычно заключаются в целом ряде сложных и утомительных математических выкладок и вычислений. Так как основная задача техники – добиваться наивыгоднейшего результата с наименьшей затратой труда, времени и средств, то, естественно, техника выработала особые приемы и способы так называемых “технических графических вычислений”, облегчающих и ускоряющих эти расчеты, иногда в ущерб их математической точности. Графический метод расчета довольно часто применяется в различных областях техники: при расчетах мостовых пролетов и ферм, пространственных механизмов, конструкций и т.д., вообще там, где можно заменить сложный расчет по формулам более простым графическим. Следует знать, что графическое решение так же важно, как и аналитическое, что оно в ряде случаев дает более быстрый путь решения. Иногда это единственный путь, а именно при ограниченном круге математических познаний. Графическое решение задачи дает практически достаточно точный ответ на поставленный вопрос.

1 Лазарев Л. Инженеры завтрашнего дня. “Известия” от 13 марта 1963 г.

На главное меню

Пусть пространственная фигура ? пересечена некоторой плоскостью ?. Тогда их пересечение есть плоская фигура F, которая называется сечением: F=????.

Основы геометрии

Аксиомы принадлежности Аксиомы расстояния Основные математические понятия

На главное меню

Аксиомы принадлежности

Аксиома 1 (плоскости) Аксиома 2 (прямой и плоскости) Аксиома 3 (пересечения плоскостей)

Аксиомы расстояния

Аксиома 1 Аксиома 2

Аксиома 1. (аксиома плоскости)

В пространстве существуют различные плоскости. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Аксиома 2. (аксиома прямой и плоскости)

Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой принадлежат этой плоскости.

Аксиома 3. (аксиома пересечения плоскостей)

Если две различные плоскости имеют одну общую точку, то их пересечение - общая прямая

Аксиома 1. Для любых двух точек А и В пространства однозначно

определено некоторое неотрицательное число ?АВ?, называемое расстоянием между ними и обладающее свойствами:

m

1. Расстояния ?АВ? = ?ВА?. 2. (?АВ? = 0) ? (А ? В) (точки совпадают). 3. Справедливое неравенство: ?АВ? + ?ВС? ? ?АС?.

Аксиома 2. Любая плоскость разбивает пространство на два

полупространства.

Полупространство A

Полупространство B

Сечения многогранников

Общая классификация сечений Способы построения сечений

На главное меню

Общая классификация сечений

Различные классификации сечений. · Аксиоматический - метод следов; - метод вспомогательных сечений; · Построение сечений, параллельных данной прямой; · Построение сечений, параллельных данной плоскости; · Построение сечений, параллельных двум данным скрещивающимся прямым; · Построение сечений, перпендикулярных данной плоскости; · Комбинированный метод;

Способы построения сечений

· Метод следов; · Метод вспомогательных сечений; · Построение сечений, параллельных данной прямой; · Построение сечений, параллельных данной плоскости; · Построение сечений, параллельных двум данным скрещивающимся прямым; · Построение сечений, перпендикулярных данной плоскости; · Комбинированный метод;

Переход к следующему шагу задачи производится при нажатии левой клавиши мыши или Пробела

Дано: призма ABCA1B1C1, P є AA1, Q є B1C1, R є BCC1B1

Построим сечение призмы плоскостью PQR.

Решение: 1. т.к. Q є BCC1, R є BCC1, то RQ є BCC1. Проведем ее. Это след плоскости PQR на BCC1.

2. Прямая QR?BB1=B2, QR?CC1. Это следы PQR на прямых BB1 и CC1.

3. Т.К. B2 є ABB1 и P є ABB1, B2P є ABB1. B2P – след плоскости PQR на ABB1A1.

4. т.к. C2 є AСС1 и P є AСС1, то С2P є AСС1. Проведем ее. PC2?A1C1=V. Это след плоскости PQR на ACC1.

5. т.к. Q є A1B1С1 и V є A1B1С1, то QV є A1B1С1. Проведем QV. QV - это след плоскости PQR на A1B1C1

6. Итак, B2QVP – это искомое сечение. Ответ. Искомое сечение B2QVP.

?3

?1

?2

Дано: призма ABCDEA1B1C1D1E1 т. P є BB1, т. Q є D1E1, т. R є AA1. Построим сечение призмы плоскостью PQR.

9. Проводим прямую RE2. Отрезок RE2 – это след плоскости PQR на грани АЕЕ1А1.

10. RR? || СС1. Ими определяется плоскость ?3. Строим сечение призмы плоскостью ?3. Это – третье вспомогательное сечение.

Решение: 1. Отрезок PR – это след плоскости PQR на грани АВВ1А1.

11. Находим линию пересечения плоскостей ?1 и ?3. Это прямая КК1, где К=R?С??P?Q? и точка К1=А1С1??B1Q. Находим точку К2= PQ??КК1. Проводим RК2. С2=RК2??СС1.

2. Примем плоскость АВС за основную. Построим проекции на ABC точек P, Q и R (в направлении, параллельном боковому ребру призмы). Получаем точку P?, R?, Q?.

12. Проводим прямые PC2 и C2D2. Получаем отрезки PC2, C2L и LQ – следы плоскости PQR соответственно на гранях ВСС1В1, CDD1C1 и A1B1C1D1E1.

3. Параллельными прямыми PP? и QQ? определяется плоскость ?1. Строим сечение призмы плоскостью ?1. Это – первое вспомогательное сечение.

13. Итак, совокупность построенных следов плоскости PQR на гранях призмы образует многоугольник PRE2QLC2, который и является искомым сечением. Ответ. PRE2QLC2 – искомое сечение.

4. Параллельными прямыми RR? и DD? определяется плоскость ?2. Строим сечение призмы плоскостью ?2. Это – второе вспомогательное сечение.

5. Строим линию пересечения плоскостей ?1 и ?2. F=P?Q???AD и точка F1=В1Q??А1D1. Это прямая FF1. Строим.

6. В плоскости ?1 проводим прямую PQ. Строим F2=PQ??FF1. Так как F2 є PQ, то F2 є PQR. Тогда прямая RF2 є PQR.

7. Проведем прямую RF2 и находим точку D2=RF2??DD1. Так как точка D2 є RF2, то D2 є PQR. D2 – это след плоскости PQR на прямой DD1.

8. Проводим прямую D2Q. Это след плоскости PQR на DEE1. На прямой EE1 получаем т. E2=RF2??ЕЕ1. Отрезок QE2 – это след плоскости PQR на грани DЕЕ1D1.

Дано: призма ABCDA1B1C1D1 PєBC, QєCC1 и RєCD

Построим сечение призмы плоскостью ?, параллельной плоскости PQR и проходящей через точку KєBC.

Решение: 1. Построим сечение призмы плоскостью PQR.

2. Так как ? - плоскость заданного сечения проходит через точку K, лежащую в плоскости BCC1, то она пересекает плоскость BCC1 по прямой, проходящей через точку K. И так как плоскость ? параллельна плоскости PQR, то следы плоскости ? и плоскости PQR на плоскости BCC1 параллельны между собой. Поэтому в плоскости BCC1 через точку K проведем прямую KE ??PQ.

3. Проведем в плоскости ABC через точку K прямую KF??PR и в плоскости DCC1 через точку F прямую FN ??RQ.

4. Соединим точку E с точкой N. Четырехугольник KENF – искомое сечение. Ответ. Искомое сечение - KENF.

Дано: на ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно т. P и Q

Построим сечение пирамиды плоскостью ?, проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, т. Rє MB.

Решение: 1. Плоскость, проходящая через прямую AR и т. Q есть MAB. В плоскости MAB через т. Q проведем прямую QF ??AR.

2. Пересекающимися прямыми PQ и QF определяется плоскость ? ( PQF) - плоскость искомого сечения.

3. Построим проекции точек F и Q на плоскости ABC (в направлении параллельном ребрам). Это т.F'?B и т.Q'?A. Тогда точка S1=FQ??F?Q? лежат на основном следе секущей плоскости ?.

4. Так как точка P лежит на основном следе секущей плоскости ?, то прямая S1P – след плоскости ?, а отрезок S2P – след плоскости ? на грани ABC. Далее ясно, что точку P следует соединить с точкой F. В итоге четырехугольник PFQS2 – искомое сечение. Ответ. Искомое сечение PFQS2.

?

Дано: пирамида MABCD PєMB, KєMA и QєAC (AC – отрезок). Построим сечение пирамиды плоскостью ?, проходящей через точку K параллельно прямой PQ и CD.

Решение: 1. В плоскости ABC через точку Q проведем прямую, параллельную прямой CD, и найдем точки S1, S2 и S3, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые BC, AD и AB.

2. Пересекающимися прямыми PQ и S1S2 определяется плоскость ? - плоскость вспомогательного сечения. Построим это сечение. Основным следом плоскости ? является прямая S1S2. Отрезок PS1– след плоскости ? на грани MBC, прямая PS3 – ее след на плоскости MAB, отрезок PA1 – на грани MAB, отрезок A1S2 – на грани MAD.

3. Строим далее сечение пирамиды плоскостью ?, проходящей через точку K параллельно плоскости ?. В итоге получаем многоугольник KB1C1D1 – искомое сечение. Ответ. KB1C1D1 – искомое сечение.

4. В итоге получаем многоугольник PQD1RB1 искомое сечение

Ответ. PQD1RB1- искомое сечение.

Дано: пирамида MABCD точки P - середина AB и Q – середина AD, а точка RєMC зададим. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P,Q и R.

Решение: 1. Основным следом плоскости PQR является прямая PQ. Найдем точку K, в которой плоскость MAC пересекает прямую PQ. Точки K и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

2. Найдем точку N=AC??BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR??MN.

3. Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, т.е. эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ – средняя линия треугольника ABD, то PQ??BD, т.е. прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, т.е. параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.

Рассмотрим данный способ построения сечения на примере конкретной

задачи. Дано: правильная призмы ABCA1B1C1, AA1=AB, на ребре AC задана точка P – середина этого ребра. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точку P перпендикулярно прямой BC1.

4. Зная это отношение, построим точку H и проводим прямую PH, которая и является прямой, перпендикулярной BC1. Затем в плоскости BCC1B1 через точку H проведем прямую, параллельную прямой B1C. Пусть эта прямая пересекает прямые BB1 и BC соответственно в точках B2 и S1. Таким образом, прямая B2S1 перпендикулярна прямой BC1. Пересекающимися прямыми PH и B2S1 определяется плоскость ? - плоскость искомого сечения.

1. Если через какую-нибудь точку прямой BC1 провести две прямые, перпендикулярные прямой BC1, то этими пересекающимися прямыми определится плоскость, перпендикулярная прямой BC1.Проведем построение.

5. Построим сечение призмы плоскостью ?. Получаем последовательно: точку S2= PS1??AB, прямую B2S2, точку A2= B2S2??AA1 и, наконец, четырехугольник PA2B2S1 – искомое сечение. Ответ. PA2B2S1 – искомое сечение.

2. Так как четырехугольник BCC1B1 является квадратом, то B1C ? BC1.Проведя прямую B1C, мы получим первую прямую перпендикулярную прямой BC1.

Используемая и рекомендуемая литература

На главное меню

Л.Н.Бескин “Стереометрия”, изд. “Просвещение”, Москва 1971. Приложение к журналу “Квант” № 2/2001, “Такая разная геометрия”. В,Н.Литвиненко “Решение типовых задач по геометрии”, изд. “Просвещение”, Москва 1999. С.А.Фролов “Сборник задач по начертательной геометрии” , изд. “Машиностроение”, Москва 1980.

Основные математические понятия

Поверхность – это идеально тонкая пленка, которая имеет длину и ширину, но не имеет толщины. Поверхность двумерна. Замкнутая поверхность разбивает все пространство на две части: конечную или бесконечную – внутреннюю и всегда бесконечную – внешнюю; в этом случае , двигаясь по линии нельзя попасть из одной части пространства в другую, нигде не пересекая поверхность (рис.). Тело – внутренняя часть замкнутой поверхности, включая саму эту поверхность (граница тела). Тело, как и пространство, трехмерно, т.е. имеет длину, ширину и высоту.

На главное меню

Рис.

Тела вращения и их сечения

Шар Цилиндр Конус

На главное меню

Цилиндр

Цилиндр как геометрическое тело Сечения цилиндра

Цилиндр как геометрическое тело

1. Рассмотрим две параллельные плоскости ? и ? и окружность L с центром O радиуса r, расположенную в плоскости ? (рис.). Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную плоскости ?. Отрезки этих прямых, заключенных между плоскостями ? и ?, образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности.

По построению концы образующих, расположенные в плоскости ?, заполняют окружность L. Концы же образующих, расположенные в плоскости ?, заполняют окружность L1 с центром O1 радиуса r, где O1 – точка пересечения плоскости ? с прямой, проходящей через точку O перпендикулярно к плоскости ?. Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости ?, получается из окружности L параллельным переносом на вектор OO1. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор OO1 окружность L переходит в равную ей окружность L1 с центром O1 радиуса r.

2. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с

границами L и L1, называется цилиндром (рис.).

Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая OO1 – осью цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями ? и ?. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

3. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из

его сторон. (рис.). При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания – вращением сторон BC и AD.

Любая плоскость, проходящая через ось, является плоскостью симметрии; середина оси является (единственным) центром симметрии; любая прямая проходящая через центр перпендикулярно оси вращения, является осью симметрии (осью второго порядка).

Сечения цилиндра

Прямоугольник Круг Эллипс

Случай 1. Если секущая плоскость пересекает цилиндр параллельно оси

вращения и перпендикулярно оси симметрии второго порядка, то сечением является прямоугольник. Пример: цилиндр с осью вращения OO1 и осью симметрии второго порядка SS1 пересекает плоскость ???OO1 и ?? SS1. Сечением является прямоугольник ABCD.

Случай 2. Если секущая плоскость пересекает цилиндр перпендикулярно

оси вращения и параллельно оси симметрии второго порядка, то сечением является круг. Пример: цилиндр с осью вращения OO1 и осью симметрии второго порядка SS1 пересекает плоскость ??OO1 и ???SS1. Сечением является круг центр, которого принадлежит оси вращения цилиндра.

Случая 3. Пересекая круговой цилиндр плоскостью, наклоненными к его

основанию под острым углом ?, я получаю овальные кривые, которые называются эллипсом. Пример: цилиндр с осью вращения OO1 и осью симметрии второго порядка KK1 пересекает плоскость ? под острым углом ? к нижнему основанию. Сечением является эллипс с центром в производной точке C на прямой OO1.

Шар

Шар как геометрическое тело Сечения шара

Сечения шара

Круг Точка (касание) Не пересечение

Случай 1. Пересечение шара и плоскости есть круг (если секущая

плоскость находится на расстоянии меньшем, чем радиус шара от центра). Пример: дан шар с центром в точке O. Шар пересекают плоскости ? и ?. Сечением является шар, центр которого принадлежит оси вращения шара.

Случай 2. Пересечение шара и плоскости есть точка (если секущая

плоскость находится на расстоянии радиуса от центра шара). Пример: дан шар с центром в точке O. Шар пересекают плоскости ? на расстоянии радиуса данного шара. Сечением является точка. В этом случае плоскость является касательной и перпендикулярной к радиусу в точку касания O1.

Случай 3. Плоскость может не пересекать шар (если секущая плоскость

находится на расстоянии большем, чем радиус шара от центра). Пример: дан шар с центром в точке O. Шар пересекают плоскости ? на расстоянии радиуса данного шара. Сечением является точка. В этом случае плоскость является касательной и перпендикулярной к радиусу в точку касания O1.

Шар как геометрическое тело

R

O

Свойства шара намного сложнее, чем свойства цилиндра и конуса. При изучении шара очень полезна его аналогия с кругом. Определение: геометрическое место точек пространства, удаленных на данное расстояние от одной точки, называется сферой. Указанное расстояние (R) называется радиусом сферы, а указанная точка (O) – ее центром. Тело, ограниченное сферой, называется шаром; все точки шара удалены от центра на расстояние, меньшее или равное R. Отрезок , соединяющий две точки сферы, называется хордой (шара или сферы); хорда проходящая через центр, называется диаметром.

Конус как геометрическое тело Сечения конуса

Конус

Конус как геометрическое тело

1. Рассмотрим окружность L с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью (рис.), а сами отрезки – образующими конической поверхности.

2. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L,

называется конусом (рис.). Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие конуса равны друг другу. Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса.

3. Конус может быть получен вращением прямого треугольника вокруг

одного из его катетов (рис.). При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы AC, а основание – вращением катета BC.

Сечения конуса

Круг Равнобедренный треугольник Эллипс Парабола Ветвь гиперболы

Случай 1. Если секущая плоскость пересекает конус параллельно его

основанию, то сечением является круг. Пример: дан конус с основанием L и центром O. Секущая плоскость ???L. Сечение круг.

Случай 2. Если секущая плоскость пересекает конус, проходя через его

основание и вершину, то сечением является равнобедренный треугольник. Пример: дан конус с основанием L и центром O. Точка S ??, AB ??. Сечение равнобедренный треугольник.

Случай 3. Если секущая плоскость пересекает все образующие конуса (не

параллельно основанию под некоторым углом), то плоскость пересечения образована эллипсом. Пример: дан конус с основанием L и центром O. Угол (L,?)=?. Сечение эллипс.

Случай 4. Если секущая плоскость параллельна одной образующей, то

плоскость пересечения образована параболой. Пример: дан конус с основанием L и центром O. ?||AS. Сечение парабола.

Случай 5. Если секущая плоскость параллельна двум образующим, то

плоскость пересечения образована одной ветвью гиперболы. Пример: дан конус с основанием L и центром O. Сечение ветвь гиперболы.

Об авторе

www.moi-mummi.ru Учитель математики Кошелева Ольга Германовна МБОУ СОШ №12 г. Саров

На главное меню