Скрещивающиеся прямые

Прямые

Скрещивающиеся

Прямые

Л.С. Атанасян Геометрия 10 класс

Середины сторон пространственного четырехугольника

А

D

В

С

Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Определение

a

b

М

Определение

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Наглядное представление

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIi

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой.

a

b

Параллельные прямые

Найдите на рисунке параллельные прямые. Назовите параллельные прямые и плоскости. Найдите скрещивающиеся прямые.

Признак скрещивающихся прямых

?

D

В

C

А

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Три случая взаимного расположения

b

a

b

b

a

a

А II b

М

Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве

Скрещивающиеся прямые

?

В

a

C

А

D

№ 38. Через вершину А ромба АВСD проведена прямая а, параллельная диагонали ВD, а через вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) а и СD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые.

Положение прямых

B1

С1

А1

N

D1

В

С

M

D

А

Каково взаимное положение прямых 1) AD1 и МN; 2) AD1 и ВС1; 3) МN и DC?

Прямые

B1

С1

А1

N

D1

В

С

M

D

А

Докажите, что прямые 1) AD и C1D1; 2) A1D и D1C; 3) AB1 и D1C скрещивающиеся.

Трапеция

А1

D1

B1

С1

D

А

В

С

Основание призмы АВСDA1B1C1D1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися? 1) D1C и C1D; 2) C1D и AB1; 3) C1D и AB; 4) AB и CD.

Теорема о скрещивающихся прямых

A

B

С

D

Теорема о скрещивающихся прямых

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Плоскость

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.

Полуплоскость

Полуплоскость

Граница

А

Углы с сонаправленными сторонами

A3

A

О

A1

О1

О3

A2

О2

В2

Углы с сонаправленными сторонами

Теорема

Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

b

a

Угол между прямыми

Угол

m

n

b

a

1000

300

Угол между прямыми а и b 300.

Угол между прямыми m и n 800.

b

b

a

М

Угол между скрещивающимися прямыми

b

a

m

М

Угол между скрещивающимися прямыми

Точку М можно выбрать произвольным образом.

В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

Найдите угол

?

D

В

F

E

C

А

Прямая СD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. E и F – середины отрезков АВ и ВС. Найдите угол между прямыми СD и EF, если DCA = 600

Найдите угол между скрещивающимися прямыми

?

М

B

А

С

D

Прямая МА проходит через вершину квадрата АВСD и не лежит плоскости квадрата. Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между скрещивающимися прямыми МА и ВС, если МАD =450.

С

D

В

А

№ 46. Прямая m параллельна диагонали ВD ромба АВСD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что а) m и АС – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними; б) m и AD – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если АВС = 1280.

1280

1280

Способы

На рисунке АВСD – параллелограмм, АВС = 1300, АА1 II BB1 II CC1 II DD1 и АА1= BB1=CC1=DD1. Найдите угол между прямыми АВ и А1D1. Рассмотрите различные способы.

B1

С1

А1

D1

В

С

А

D

Параллелограмм

На рисунке АВСD – параллелограмм, ВСC1 = 1200, АА1 II BB1 II CC1 II DD1 и АА1= BB1=CC1=DD1. Найдите угол между прямыми ВВ1 и АD.

B1

С1

А1

D1

1200

В

С

А

D