Параллельность
<<  Планиметрия Планиметрия  >>
Справочник планиметрии
Справочник планиметрии
Использованные ресурсы
Использованные ресурсы
Как пользоваться справочником
Как пользоваться справочником
Основные темы
Основные темы
Углы и параллельные прямые
Углы и параллельные прямые
1.Угол
1.Угол
5.Угол между прямыми
5.Угол между прямыми
9.Аксиома параллельных прямых
9.Аксиома параллельных прямых
12
12
Треугольники
Треугольники
1. Треугольник
1. Треугольник
5.Признаки равенства треугольников
5.Признаки равенства треугольников
Подобие треугольников
Подобие треугольников
6.Признаки подобия треугольников
6.Признаки подобия треугольников
7. Примеры и свойства подобных треугольников
7. Примеры и свойства подобных треугольников
Линейные элементы
Линейные элементы
8. Медиана треугольника
8. Медиана треугольника
9. Высота треугольника
9. Высота треугольника
10
10
12
12
13
13
15
15
Виды треугольников
Виды треугольников
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник
17
17
18
18
20
20
22
22
24
24
Параллелограммы
Параллелограммы
Параллелограмм
Параллелограмм
26
26
29
29
30
30
32
32
35
35
38
38
Трапеции
Трапеции
39
39
~
~
41
41
42
42
Окружность
Окружность
Отрезки и дуги
Отрезки и дуги
43
43
44
44
Прямая и окружность
Прямая и окружность
44
44
46
46
48
48
50
50
52
52
53
53
54
54
55
55
Если две окружности касаются внутренним образом, то у них одна общая
Если две окружности касаются внутренним образом, то у них одна общая
56
56
Площади
Площади
R - радиус вписанной окружности, р - полупериметр
R - радиус вписанной окружности, р - полупериметр
58
58
~
~
62
62
64
64
67
67
70
70
72
72
R - радиус вписанной окружности, P – периметр
R - радиус вписанной окружности, P – периметр
R - радиус oписанной окружности
R - радиус oписанной окружности
75
75
76
76
Закрыть
Закрыть

Презентация: «Справочник планиметрии». Автор: АТС. Файл: «Справочник планиметрии.ppt». Размер zip-архива: 4103 КБ.

Справочник планиметрии

содержание презентации «Справочник планиметрии.ppt»
СлайдТекст
1 Справочник планиметрии

Справочник планиметрии

Основные факты курса планиметрии. 7-9 класс. Создатель презентации учитель математики анкина т.с. Г. Екатеринбург маоу-гимназия №13

2 Использованные ресурсы

Использованные ресурсы

1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7-9. М. :Просвещение, 2008.

2. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский Геометрия в таблицах, 7-11кл. : Справочное пособие/М. :Дрофа, 2002.

3 Как пользоваться справочником

Как пользоваться справочником

После прочтения инструкции перейдите на следующий слайд «Основные темы». Выбрав тему, «кликните» по её названию. Для продолжения просмотра выбранной темы «кликните» по стрелке «Далее». Для возвращения к списку тем «кликните» по кнопке «Вернуться»

4 Основные темы

Основные темы

Закрыть справочник.

1.Углы и параллельность.

2.Треугольник.

3.Параллелограммы.

4. Трапеции.

5. Окружность.

6. Площади.

7. Правильные многоугольники.

5 Углы и параллельные прямые

Углы и параллельные прямые

1.Углы и их виды.

2.Углы и параллельные прямые.

3. Аксиома параллельных. Свойства.

4.Теорема Фалеса.

Вернуться

6 1.Угол

1.Угол

В

2.Развёрнутый угол.

С

А

А

В

М

3.Виды углов.

С

D

H

С

А

В

4. Смежные углы.

С

5. Вертикальные углы равны.

С

D

А

В

А

H

В

D

Сторона

Биссектриса

Вас=180?

Вершина

BAD=90?- прямой

Вас

АМ - биссектриса

СAВ<90?- острый

Вам= сам

НAВ>90?- тупой

СAD и ВАС- смежные

Сad + вас=180?

Вернуться

7 5.Угол между прямыми

5.Угол между прямыми

6.Углы при секущей.

С

c

А

В

А

H

D

b

7.Параллельные прямые.

А

А||b

b

8.Признаки и свойства параллельных прямых.

А

А

А||b

А||b

b

b

c

c

А

А||b

b

c

<90?

Пары углов: (2;8); (3;5)-накрест лежащие, (1;5); (4;8); (3;7); (2;6)- соответственные, (3;8); (2;5)- односторонние.

<2+<5=180?

Вернуться

1

4

2

3

5

8

6

7

1

3

5

5

2

5

8 9.Аксиома параллельных прямых

9.Аксиома параллельных прямых

А

А

b

10.Транзитивность параллельных прямых.

А

С

b

11.Связь перпендикулярности с параллельностью.

А

b

С

Через точку А, не лежащую на прямой b, в плоскости можно провести прямую а, параллельную данной прямой b, и притом только одну.

Если две различные прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Если две различные прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

Вернуться

9 12

12

Теорема Фалеса.

13. Расширенная теорема Фалеса.

А?

А?

А?

А?

А?

А?

А?

А?

А?

В?

В?

В?

В?

В?

В?

В?

В?

В?

Если на одной из двух прямых отложить несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые до пересечения с другой прямой, то и на ней отложатся отрезки, пропорциональные данным .

Если на одной из двух прямых отложить несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые до пересечения с другой прямой, то и на ней отложатся равные отрезки .

А?а?:а?а?:а?а?=в?в?:в?в?:в?в?

Вернуться

10 Треугольники

Треугольники

1.Треугольник, его элементы.

2.Признаки равенства.

3.Подобие.

5. Площадь.

4. Линейные элементы.

6. Теоремы синусов и косинусов.

7. Вписанная и описанная окружности.

8. Виды.

Вернуться

11 1. Треугольник

1. Треугольник

А

М

В

С

2. Неравенство треугольника.

3. Внешний угол треугольника и его свойство.

4.Сумма углов треугольника.

Вершина

Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно их соединяющих, называется треугольником.

Сторона

Сторона

Сторона

Вершина

Вершина

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности. В противном случае треугольник не существует: ВС-АС<АВ<ВС+АС…

Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника, называется внешним углом треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним: АВМ= С+ А

А+ в+ с=180?.

Вернуться

12 5.Признаки равенства треугольников

5.Признаки равенства треугольников

А?

А

В

С

В?

А?

С?

А

В

С

В?

С?

А?

А

В

С

В?

С?

По двум сторонам и углу между ними.

По стороне и двум углам, прилежащим к ней.

По трём сторонам.

Вернуться

13 Подобие треугольников

Подобие треугольников

1.Признаки подобия.

2.Примеры и свойства.

Вернуться

14 6.Признаки подобия треугольников

6.Признаки подобия треугольников

В?

В

А?

С

А

С?

В?

В

А?

С

А

С?

В?

В

С

А

С?

А?

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны пропорциональны: А= А?; В= В?; С= С?; АВ:А?В?=АС:А?С?=ВС:В?С?=k.

По двум углам .

ka

По двум сторонам и углу между ними.

a

b

kb

ka

kc

a

c

По трём сторонам.

b

kb

Вернуться

15 7. Примеры и свойства подобных треугольников

7. Примеры и свойства подобных треугольников

А

В?

С?

В

С

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Сходственные биссектрисы, медианы и высоты треугольников пропорциональны сходственным сторонам.

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению cходственных сторон (коэффициенту подобия k) .

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения cходственных сторон (квадрату коэффициента подобия k?) .

Вернуться

16 Линейные элементы

Линейные элементы

1.Медиана.

2.Высота.

3.Биссектриса.

4.Средняя линия.

Вернуться

17 8. Медиана треугольника

8. Медиана треугольника

А

С?

В?

В

А?

С

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины: АМ:МА?=ВМ:МВ?=СМ:МС?=2:1.

Медиана треугольника делит его на два равновеликих (с равными площадями) треугольника. Все медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

М

Вернуться

18 9. Высота треугольника

9. Высота треугольника

А

С?

В?

В

С

А?

А

В?

А?

С

В

С?

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону .

Н

Все высоты треугольника или прямые, их содержащие, пересекаются в одной точке – ортоцентре треугольника.

Н

R- радиус вписанной окружности.

Вернуться

19 10

10

Биссектриса треугольника.

А

С?

В?

В

С

А?

11. Средняя линия треугольника.

А

N

В

С

М

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, расположенный внутри него.

О

Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам .

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Вернуться

20 12

12

Площадь треугольника.

А

О?

О?

В

С

R- радиус вписанной окружности.

R- радиус oписанной окружности.

c

ha

b

R

r

a

- формула Герона .

Вернуться

21 13

13

Теорема синусов.

А

В

С

14. Теорема косинусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов с коэффициентом пропорциональности, равным диаметру описанной окружности.

c

b

a

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Вернуться

22 15

15

Описанная окружность.

А

С?

В?

В

А?

С

16. Вписанная окружность.

А

С?

В?

С

В

А?

Около каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

О

Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендику- ляров к сторонам треугольника .

В каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

О

r

r

Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

r

Вернуться

R

23 Виды треугольников

Виды треугольников

1.Прямоугольный.

2.Равнобедренный.

3.Равностороний (правильный).

Вернуться

24 Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

1.Определение и свойства.

2.Соотношения.

3.Вписанная и описанная окружности.

4.Площадь.

Вернуться

25 17

17

Прямоугольный треугольник.

А

С

В

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

С гипотенуза

B катет

Теорема Пифагора. Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Тс

О

А катет

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине: тс=с:2.

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный, и эта сторона является гипотенузой.

Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.

Вернуться

26 18

18

Тригонометрические функции острых углов в прямоугольном треугольнике.

А

Н

С

В

19. Средние пропорциональные отрезки.

С

b

А

Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным отрезком гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла является средним пропорциональным отрезком проекций катетов на гипотенузу:

Вернуться

27 20

20

Вписанная и описанная окружности.

А

Н

С

В

21.Площадь.

R

О?

С

О?

r

b

r

R

R

r

А

Вернуться

28 22

22

Равнобедренный треугольник.

А

В

А?

С

23.Признаки равнобедренного треугольника.

Вершина

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Углы при основании равны.

Боковая сторона

Высота, проведённая из вершины, является биссектрисой и медианой.

Боковая сторона

Высоты (биссектрисы, медианы), проведённые к боковым сторонам равны .

Основание

1.Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2.Если в треугольнике высота является биссектрисой или медианой, то этот треугольник равнобедренный.

3.Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный.

4.Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный.

5.Если в треугольнике 2 высоты (биссектрисы, медианы) равны, то этот треугольник равнобедренный. .

Вернуться

С?

В?

29 24

24

Равносторонний (правильный) треугольник.

А

25. Свойства.

В

С

Правильным (равносторонним) называется треугольник, у которого все стороны равны.

О

1.Все углы равны 60?.

2. Точки пересечения медиан, биссектрис, высот, серединных перпендикуляров совпадают. Эта точка называется центром треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей.

3. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении 2:1, считая от вершины .

4. Формулы.

5. Площадь.

В?

С?

А?

Вернуться

30 Параллелограммы

Параллелограммы

1.Параллелограмм.

2.Ромб.

3. Прямоугольник.

4.Квадрат.

Вернуться

31 Параллелограмм

Параллелограмм

1.Определение и свойства.

2.Признаки.

3.Свойства биссектрис и высот.

4. Метрические соотношения. Площадь.

Вернуться

32 26

26

Определение.

В

С

27. Свойства.

А

D

28. Признаки.

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

О

1.Противоположные углы равны.

2.Односторонние углы в сумме составляют 180?.

3.Противоположные стороны равны.

4.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам .

1.Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом

2.Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

3.Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник -параллелограмм.

Вернуться

33 29

29

Свойства биссектрис и высот.

А?

В

С

К

М

D

А

С

В

А

D

1.Биссектриса угла (АА?)отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник ( АВ=ВА?).

2.Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны (АА? и ВМ), а биссектрисы противоположных углов параллельны (ВМ и DК) или лежат на одной прямой (в ромбе)

3. Высоты параллелограмма обратно пропорциональны соответственным сторонам:

4.Высоты, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу при соседней вершине:

Вернуться

34 30

30

Периметр. Площадь.

С

В

А

D

С

В

D

А

31. Соотношения.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырёх его сторон:

Вернуться

35 32

32

Ромб.

В

С

А

D

33. Признаки ромба.

34. Площадь ромба.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

1.Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы его пополам.

О

2.Высоты ромба равны.

3. В ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине высоты.

4. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

5.Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

6.Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам, то это ромб.

7.Если в четырёхугольнике все стороны равны, то это ромб.

Вернуться

36 35

35

Прямоугольник.

В

С

А

D

36. Признаки прямоугольника.

37. Периметр и площадь прямоугольника.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

1.Диагонали прямоугольника равны.

2.Около прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине диагонали.

О

3. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

1. Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

2. Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник.

3. Если в четырёхугольнике есть три прямых угла, то это прямоугольник.

Вернуться

37 38

38

Квадрат.

В

С

А

D

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат обладает всеми свойствами ромба, прямоугольника и параллелограмма.

Квадрат является правильным четырёхугольником.

D-диагональ, r-радиус описанной окружности r- радиус вписанной окружности a- сторона

45?

Вернуться

38 Трапеции

Трапеции

1.Трапеция.

2.Свойства трапеции.

3. Вписанная окружность.

4.Равнобедренная и прямоугольная трапеции.

Вернуться

39 39

39

Трапеция.

В

С

N

M

Н

А

D

Трапецией называется четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие нет.

BC и AD - верхнее и нижнее основания.

АB и СD –боковые стороны.

АС и ВD –диагонали.

МN – средняя линия.

ВН – высота трапеции, расстояние между основаниями.

Площадь трапеции:

Вернуться

40 ~

~

40. Свойства трапеции.

М

В

L

С

Q

P

А

T

D

1.Середины оснований , точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

О

2. Треугольники , образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей, подобны.

3. Треугольники , образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики.

4. Отрезок , параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится ею пополам и

Вернуться

41 41

41

Вписанная окружность.

В

С

А

D

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

BC+AD=AB+CD.

Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис углов трапеции и радиус этой окружности

О

Вернуться

42 42

42

Равнобедренная трапеция.

В

С

А

D

В

С

А

D

В?

С?

Равнобедренной называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

1.Углы, прилежащие к одному основанию, равны.

2.Диагонали, равнобедренной трапеции равны.

О

3.Около равнобедренной трапеции можно описать окружность, центр которой, является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон.

4. Высоты трапеции, проведённые из вершин верхнего основания, отсекают от неё равные прямоугольные треугольники.

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основанию.

Вернуться

43 Окружность

Окружность

1.Отрезки и дуги.

2.Прямая и окружность.

3. Углы в окружности.

4.Две окружности.

5.Вписанная окружность.

6.Описанная окружность.

7.Общие касательные двух окружностей.

8. Круг и его части.

Вернуться

44 Отрезки и дуги

Отрезки и дуги

1.Отрезки и дуги.

2.Свойства отрезков и дуг.

Вернуться

45 43

43

Отрезки и дуги.

N

Q

P

В

А

М

Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки О (центра окружности).

О

Радиусом называется отрезок (ОМ), соединяющий точку окружности с центром.

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности (PQ и AB).

Диаметром называется хорда, проходящая через центр (АВ).

Дугой называется часть окружности, заключённая между двумя её точками.

Две точки на окружности образуют на ней две дуги: PNQ и PMQ Любую из них стягивает хорда PQ .

Длина окружности С=2?R.

Длина дуги окружности l=?R?/180.

?-градусная мера дуги

L=r?, ?- радианная мера дуги.

Вернуться

46 44

44

Свойства отрезков и дуг.

N

Q

Т

Диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам тогда и только тогда, когда он перпендикулярен к этой хорде.

О

P

М

N

Q

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: MT?TN=PT?TQ

Т

P

О

М

Вернуться

47 Прямая и окружность

Прямая и окружность

1.Прямая и окружность.

2. Окружность и две прямые.

Вернуться

48 44

44

Прямая и окружность.

Q

М

P

М

М

45. Признак касательной.

ОМ- расстояние от центра окружности до прямой.

Если ОМ<R, то окружность и прямая имеют две общие точки: P и Q. И прямая называется секущей окружности.

О

Если ОМ=R, то окружность и прямая имеют одну общую точку: М. И прямая называется касательной к окружности, а точка М – точкой касания.

Если ОМ>R, то окружность и прямая не имеют общих точек, не пересекаются.

Прямая является касательной к окружности, тогда и только тогда, когда радиус, проведённый в их общую точку, перпендикулярен прямой

Вернуться

49 46

46

Две прямые и окружность.

P

М

Q

47. Касательные и секущие из одной точки.

Если окружность касается сторон угла, то: 1)центр окружности лежит на биссектрисе этого угла; МО-биссектриса, 2)отрезки касательных, заключённых между вершиной угла и точками касания, равны; МР=МQ

О

A

T

Если из точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть: АТ?=АВ?АС=АХ?АУ. Произведения длин отрезков секущих, проведённых из одной точки, равны.

B

X

О

Y

C

Вернуться

50 48

48

Цнтральный угол.

А

К

P

??

М

В

С

??

49.Вписанный угол.

Если вершина угла находится в центре окружности, а стороны его пересекают окружность, то этот угол называется центральным (ВОС).

О

Градусная мера дуги (ВС), заключённой внутри центрального угла, равна градусной мере этого центрального угла.

Если вершина угла находится на окружности, а стороны его пересекают окружность, то этот угол называется вписанным в окружность (ВАС).

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри его (на которую он опирается).

Вписанный угол (РКМ), опирающийся на полуокружность (диаметр) равен 90? (прямой).

Вернуться

Далее

??/2

51 50

50

Свойства вписанных углов.

51.Другие углы.

К

А

D

С?

М

В?

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду или равны (ВАС и ВМС), или их сумма равна 180? (ВРС и ВМС).

Т

В

С

Р

Градусная мера угла (ВКС), стороны которого пересекают окружность, а вершина находится вне её, равна полу разности градусных мер дуг, заключённых внутри этого угла (В?С? и ВРС).

Градусная мера угла (СAD), между хордой и касательной равна половине дуги, заключённой внутри этого угла (дуги АМС).

Градусная мера угла (ВТС), вершина которого лежит внутри окружности , а стороны пересекают её равна полу сумме градусных мер дуг, заключённых внутри этого угла и внутри вертикального ему угла (дуг ВРС и С?АМ).

Вернуться

52 52

52

Две окружности.

R?и r?-радиусы окружностей, d- расстояние между их центрами.

d

О?

d

О?

Нет общих точек.

О?

О?

R?

R?

R?+R?<

d

R?-R?>

d

d

d

О?

О?

О?

Касаются

О?

R?

R?

R?+R?=d

R?-R?=d

А

А

Пересекаются

d

О?

d

О?

О?

О?

M

N

M

N

В

В

MN=R?-R?+d

MN=R?+R?-d

Вернуться

53 53

53

Описанная окружность.

А

С?

В?

В

А?

С

А

D

В

С

Около каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

О

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов этого четырёхугольника равны 180?.

Около прямоугольника (квадрата)всегда можно описать окружность, центр которой лежит в точке пересечения его диагоналей.

О

Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендику- ляров к сторонам многоугольника.

Вернуться

54 54

54

Вписанная окружность.

А

С?

В?

С

В

А?

В

В?

С

А?

С?

А

D

D?

В каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

О

r

r

r

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны.

О

Ав+cd=dc+ad.

Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис многоугольника.

Вернуться

55 55

55

Общие касательные двух окружностей.

Если одна окружность лежит вне другой, то у них 4 общих касательных.

S

О?

О?

d=O?O?>R?+R?

Если две окружности касаются внешним образом, то у них 3 общих касательных.

О?

О?

d=O?O?=R?+R?

Далее

Вернуться

Две внутренние касательные

Две внешние

Касательные

Одна внутренняя касательная

Две внешние

Касательные

56 Если две окружности касаются внутренним образом, то у них одна общая

Если две окружности касаются внутренним образом, то у них одна общая

касательная.

Если две окружности пересекаются, то у них есть две общие касательные.

Если одна окружность лежит внутри другой, то общих касательных нет.

M

О?

О?

d

О?

О?

О?

О?

Вернуться

Две внешние

Касательные

57 56

56

Круг и его части.

С - длина окружности, D=2R - диаметр

? –градусная мера дуги сектора

О

О

Т

В

А

О

П

Вернуться

Сектор

Сектор

Сегмент

Сегмент

58 Площади

Площади

1.Площадь треугольника.

2.Отношения площадей.

3.Площадь четырёхугольника.

4.Площадь круга и его частей.

5.Площади правильных многоугольников.

Вернуться

59 R - радиус вписанной окружности, р - полупериметр

R - радиус вписанной окружности, р - полупериметр

R - радиус oписанной окружности

57.Площадь треугольника.

В

А

c

С

b

А

Вернуться

Далее

60 58

58

Площадь прямоугольного треугольника.

В

c

h

А

С

А

b

59. Площадь правильного треугольника.

В

60?

А

А

А

С

А

Вернуться

61 ~

~

60.Подобные треугольники.

В

М

N

А

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

С

61. Треугольники с равными высотами.

В

Отношение площадей треугольников с равными высотами (общей высотой) равно отношению сторон, соответственных этим высотам

h

А

С

М

N

Далее

Вернуться

62 62

62

Треугольники с равными сторонами.

В

Отношение площадей треугольников с равными сторонами ( с общей стороной) равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

А

С

Е

63.Треугольники с равными углами.

В

М

Отношение площадей треугольников с равными углами( с общим углом ) равно отношению произведений сторон, заключающих эти углы.

С

N

А

В?

Е?

Вернуться

63 64

64

Площадь прямоугольника.

В

С

d?

O

?

a

d?

D

А

b

65.Площадь параллелограмма.

В

С

d?

b

h

?

d?

А

D

a

66.Площадь ромба.

В

С

d?

a

h

R - радиус вписанной окружности, р – полупериметр ромба.

d?

А

D

a

Вернуться

Далее

64 67

67

Площадь квадрата.

В

С

d

a

d

А

D

a

68. Площадь трапеции.

a

В

С

d?

?

M

h

N

d?

А

D

b

69. Соотношения площадей в трапеции .

a

В

С

А

D

b

S?

O

S?

Вернуться

Далее

65 70

70

Площадь произвольного четырёхугольника.

В

С

d?

?

d?

D

А

71. Площадь ромбоида. Ромбоидом называется четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны

В

d?

А

С

d?

D

Вернуться

66 72

72

Круг и его части.

С - длина окружности, D=2R - диаметр

? –градусная мера дуги сектора

О

О

Т

В

А

О

П

Вернуться

Сектор

Сектор

Сегмент

Сегмент

67 R - радиус вписанной окружности, P – периметр

R - радиус вписанной окружности, P – периметр

73. Площадь правильного п-угольника через радиус вписанной окружности.

a

А?

А?

Аn

А?

. . .

r

А?

О

. . .

R

. . .

. . .

Аk+1

Аk

?=2?|n

Далее

Вернуться

68 R - радиус oписанной окружности

R - радиус oписанной окружности

74. Площадь правильного п-угольника через радиус oписанной окружности.

a

А?

А?

Аn

А?

. . .

r

А?

О

. . .

R

. . .

. . .

Аk+1

Аk

?=2?|n

Вернуться

69 75

75

Правильный п-угольник.

Правильным называется п-угольник, стороны и углы которого равны .

a

В правильный п-угольник можно вписать и около него можно описать окружность с центром в точке пересечения биссектрис его углов.

А?

А?

Аn

А?

. . .

r

А?

О

. . .

R

. . .

. . .

Аk+1

Аk

R - радиус oписанной окружности, r-радиус вписанной окружности, а-сторона.

?=2?|n

Далее

Вернуться

70 76

76

Частные случаи правильных п-угольников.

a

a

a

О

r

R

О

О

r

R

r

R

Вернуться

71 Закрыть

Закрыть

«Справочник планиметрии»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/spravochnik-planimetrii-258559.html
cсылка на страницу

Параллельность

17 презентаций о параллельности
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды