Тела вращения вокруг нас

Тела вращения вокруг нас

Работу выполнила учащаяся 11 класса Б МАОУ СОШ № 28 г. Балаково Саратовской области Романычева Анна Учитель:Серединская Наталья Ивановна

Цель: - углубить свои знания о телах вращения и получить новые

сведения о них из разных сфер жизни человека. Задачи: - определить связь математики с реальной жизнью; -решить задачи с применением круглых тел ; -поработать с Интернет-ресурсами.

Методы исследования

Объект исследования : тела вращения Методы исследования: изучение литературы и отбор материала; анализ и обобщение данных.

Главное меню

Определение тел вращения

Прямой круговой цилиндр

Прямой круговой конус

Усеченный конус

Шар (сфера)

Шаровой сектор

Тор

Задача

Проверим свои знания

Задачи на комбинацию тел вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской фигуры

ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Определение

Образование поверхности вращения

Главное меню

1) Прямой круговой цилиндр

Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны. Отрезок оси вращения, заключенный внутри цилиндра, называется осью цилиндра.

Цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB

Площадь основания цилиндра:

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра:

Объем цилиндра:

R

h

R

Цилиндры вокруг нас

Шляпа - цилиндр

Цветочные горшки

Погремушка

Урна

Барабаны

Главное меню

2) Прямой круговой конус

Прямым круговым конусом называется тело, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащий его катет. Отрезок оси вращения, заключенный внутри конуса, называется осью конуса.

Конус получен вращением треугольника АВС вокруг катета АВ

Площадь основания конуса:

Площадь боковой поверхности конуса:

Площадь полной поверхности конуса:

Объем конуса:

Конусы вокруг нас

Пирамидка

Дорожный конус

Мороженое

Подсвечник

Главное меню

3) Усеченный конус

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям, а осевое сечение усеченного конуса есть равнобедренная трапеция. Отрезок оси вращения, заключенный внутри усеченного конуса, называется осью усеченного конуса.

А

D

B

C

Усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны AB

Площадь оснований усеченного конуса:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

Площадь полной поверхности усеченного конуса:

Объем усеченного конуса:

Усеченные конусы вокруг нас

Приспособление для маникюра

Объектив для модульной видеокамеры

Главное меню

4) Шар (сфера)

Шаром называется тело, образованное вращением круга вокруг своего диаметра.

А

О

В

Шар получен вращением круга вокруг диаметра AB

Площадь поверхности шара:

Объем шара:

R

Шары вокруг нас

Шар новогодний

Бильярдные шары

Футбольный мяч

Кончик шариковой ручки

Главное меню

Глобус

5) Шаровой сектор

Шаровой сектор – геометрическое тело, возникающее при вращении сектора вокруг одного из его радиусов; или вокруг диаметра, не пересекающего его дуги.

Вращение сектора вокруг оси, содержащей радиус сектора

Шаровой сектор вокруг нас

Зонт

Грибы

Разрезанный киви или другой шарообразный фрукт

Купол беседки

Вращение сектора вокруг оси, проходящей через вершину сектора

Шаровой сектор вокруг нас

Цветочный горшок

Клубок ниток

Вращение сектора вокруг оси, содержащей биссектрису угла сектора

Шаровой сектор вокруг нас

Воздушный шар

Мороженое

Капля воды

Главное меню

6) Тор

Тор — геометрическое тело, образуемое вращением круга вокруг не пересекающей его и лежащей в одной с ним плоскости прямой.

Площадь полной поверхности тора:

Объем тора:

Тороидальная форма вокруг нас

Руль

Спасательный круг

Баранки

Главное меню

Задача

Прочитаем фрагмент старинной легенды восточных народов, рассказанной А.С. Пушкиным в “Скупом рыцаре”. “...Читал я где-то, Что царь однажды воинам своим Велел снести земли по горсти в кучу. И гордый холм возвысился, И царь мог с высоты с весельем озирать И дол, покрытый белыми шатрами, И море, где бежали корабли”.

Это одна из немногих легенд, в которой, при кажущемся правдоподобии, нет и зерна правды. Докажем геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный “гордый холм”.

Решение:

Итак, войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным. Следовательно, общий объём всех горстей будет равен

Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45°, а иначе земля начнет осыпаться.

Дано: конус, Найти: H конуса. Решение:

Главное меню

Проверим свои знания

1) Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве

А) Планиметрия

Б) Стереометрия

В) Астрономия

Г) Аналитическая геометрия

Неверно

Еще попытка

Верно

Следующий вопрос

2) Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг

катета:

А) Цилиндр

Б) Пирамида

В) Конус

Г) Усеченный конус

Неверно

Еще попытка

Верно

Следующий вопрос

3) Тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны:

А) Цилиндр

Б) Пирамида

В) Конус

Г) Усеченный конус

Неверно

Еще попытка

Верно

Следующий вопрос

4) Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая – 10 см

Вычислить площадь боковой поверхности конуса:

А) 15п см2

Б) 5п см2

В) 50п см2

Г) 10п см2

Неверно

Еще попытка

Верно

Следующий вопрос

Главное меню

5) Для расчета полной поверхности какого тела используют формулу

А) усеченного конуса

Б) цилиндра

В) прямоугольного параллелепипеда

Г) шара

Неверно

Еще попытка

Верно

1

Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100?. Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6?. Найдите радиус основания конуса.

Решение.

2) sсферы = 4?R2 =100?, тогда R = O1P = 5.

3) Из ?O1O2P по теореме Пифагора находим:

4) В ?O1PS отрезок РО2 высота, проведенная из вершины прямого угла, значит

5) Найдем высоту конуса SO= SO2 +O2O1+O1O = 2,25 + 4 + 5 = 11,25.

15

6) ? SО2Р??SOВ (?О2=?О=90?, ?S – общий),

Откуда

Ответ: 15.

S

О2

Р

О1

B

A

O

2,25

3

4

2

Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 10.

Решение.

1) Обозначим радиус шара r, а радиус основания конуса R.

Т.Е.

2) По условию

3) ? SP1O1??SOP (?Р1=?О=90?, ?S – общий),

Откуда SO1 = 5 ,

Коэффициент подобия треугольников k = ?.

2r

4) Заметим, что РР1= 2r, SP1= 10 – 2r, SO = 5+r.

Откуда r = 3.

5) Тогда

Ответ: 3.

S

5

Р1

О1

Р

O

1

2

Ответ:

96

Ответ:

6

Высота конуса равна 6, а объём равен 144?. Найдите площадь полной поверхности куба, вписанного в конус.

Шар объём которого равен 32?/3, вписан в конус. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен 2?3.

Реши самостоятельно

Желаю удачи!

ВВо время работы над проектом я изучила теорию круглых тел, их

применение в различных сферах деятельности человека. Мой кругозор расширился, я приобрела новые знания. Рассмотрела ряд задач, встречающиеся в ЕГЭ по математике. Круглые тела были, есть и будут использоваться в нашей жизни. Всё то, о чем я написала в работе, лишь малая доля того, где их используют.

Использованная литература и интернет-ресурсы www.shedevrs.ru www.bymath.net www.n-t.ru www.iskysstvo.ucoz.ru www.bodycays.ru www.abc-people.com