Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах

Открытый урок по математике 1 курс

Цель урока:

Облегчить учащимся понимание содержания теоремы. Пробудить в них интерес к исследовательской работе. Вызвать их на размышления

Математический диктант

Задание: Перечислите и запишите в тетради названия элементов (отрезков) чертежа, если АВ

Ответ:

АВ – перпендикуляр ВС – наклонная АС – проекция наклонной

Дополнительные вопросы:

Какой формулой связанны между собой перечисленные отрезки? Чему равно ВС, если АВ = 3 см, АС = 4 см.?

Постановка проблемы

Через конец А отрезка АВ длины b, проведена плоскость, перпендикулярная отрезку. И в этой же плоскости проведена прямая с. Найти расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой с равно а.

Дан отрезок АВ = в, он перпендикулярен плоскости:

В

b

А

В плоскости проводится прямая, назовем ее СD:

По условию задачи известно расстояние от точки А до прямой СD, оно равно а.

Расстояние от точки до прямой, есть перпендикуляр, проведенный из этой

точки на прямую!

Теперь нужно выяснить, сколько перпендикуляров на чертеже и чему равно

АА1 ?

В

b

D

А

А

С

A1

Куда пойдет перпендикуляр из точки В

Где будет находиться его основание на прямой CD?

Первое доказательство

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной

перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной

Дано: ; ,АС – наклонная, ВС – проекция. ВС , АВ . Доказать: АС Доказательство. 1.Проведем СА1 2.СА1||АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны). 3.Проведем через АВ и СА1 плоскость ?. 4.с СА, с ВС (по Теореме: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости».),с ?, значит с АС. Ч.Т.Д.

Второе доказательство

A

Доказательство. 1) СD ·CA = CD ·(CB+BA)=CD ·CB+CD ·BA 2) По условию CD CB. Значит,CD ·CB=0; CD BA, значит СD ·BA=0. Таким образом получаем: CD·CA=0,CD CA, c AC. Ч.Т.Д.

Дано: ;АС – наклонная, ВС – проекция. ВС , АВ . Доказать: АС .

Третье доказательство

Доказательство

1) Достроим рисунок так, что

17

29.10.2015

Продолжим решение предложенной в начале урока задачи

Дано: , Найти: Расстояние от точки В до прямой CD

Решение. 1) Расстояние от точки до прямой является

Перпендикуляр

19

29.10.2015

Практическое применение теоремы о трех перпендикулярах

Задача:

В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены под углом под углом ? . Изобразить этот угол (см. рисунок).

D

A

C

O

K

B

21

29.10.2015

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам

1. ABCD – квадрат BE ABCD

E

a

b

B

C

A

D

22

29.10.2015

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам

2. ABCD – квадрат BE ABCD

E

a

b

B

C

A

D

23

29.10.2015

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам

E

b

a

B

A

O

C

D

24

29.10.2015

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам

4. ABCD – POMB BE

ABCD

E

a

B

A

C

O

b

D

25

29.10.2015

Самостоятельная работа

А) АВ- перпендикуляр к плоскости, АС- наклонная, ВС- ее проекция на плоскость, СД- прямая на плоскости, перпендикулярная прямой ВС. Почему угол АСД-прямой? В) Угол С треугольника АВС- прямой. АД- перпендикуляр к плоскости ? АВС. Докажите, что ? ВСД- прямоугольный. С) Из вершины А прямоугольного ? АВС ( угол В - прямой) к плоскости ? АВС проведен перпендикуляр АК. Докажите, что прямые КВ и ВС взаимно перпендикулярны.

26

29.10.2015

Домашнее задание

Выучить наизусть любое из предложенных доказательств. Решить две задачи из учебника.

27

29.10.2015

Подведение итогов урока