Треугольник

Треугольник

Геометрия - 9 Васильева И. В. Г.Великий Новгород

Содержание

Определение треугольника Элементы треугольника Виды треугольников Равенство треугольников Подобие треугольников Соотношения между сторонами и углами Это интересно Математический диктант Как такое может быть?

Треугольник

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Элементы треугольника

Вершина Угол Сторона Внешний угол Медиана Биссектриса Высота

Углы, вершины, стороны

?

?

?

А

Вершины А,В,С Углы ?, ?, ? Стороны АВ, ВС, АС a, b, c

b

А

В

С

c

Внешний угол треугольника

2

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом этого треугольника.

3

1

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Медиана

Медиана треугольника (лат. medi?na — средняя) ? отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В

А

С

М

ВМ - медиана

Свойства медианы

Каждый треугольник имеет три медианы. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана

Треугольник делится тремя медианами на шесть треугольников одинаковой площади. Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Мнемоническое правило

Медиана - это такая обезьяна, которая опускается на сторону и делит ее поровну Медиана – обезьяна У которой зоркий глаз, Прыгнет точно в середину Стороны против вершины, Где находится сейчас.

Вычисление длины медианы

a

С

b

A,b,c – стороны треугольника

- Медиана к стороне с

Биссектриса

В

F

А

С

AF - биссектриса

Биссектриса треугольника (от лат. bis — дважды и seco — рассекаю) – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны

Свойства биссектрисы

Х

А

У

С

Каждый треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности.

Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Мнемоническое правило

Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Вычисление длины биссектрисы

С

А

b

A,b,c – стороны треугольника

- Биссектриса к стороне с

Высота

D

Высота треугольника – перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

С

H

F

DH - высота

Свойства высот треугольника

Каждый треугольник имеет три высоты. В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке

Высоты прямоугольного треугольника

Высоты тупоугольного треугольника

О

О – точка пересечения продолжения высот треугольника

Мнемоническое правило

Высота похожа на кота, Который, выгнув спину, Под прямым углом Соединит вершину И сторону хвостом.

Вычисление длины высоты

b

А

c

- Высота, проведённая к стороне с

A, b, c – стороны треугольника р - полупериметр

Виды треугольников

Тупоугольный

Остроугольный

Прямоугольный

Виды треугольников

Равносторонний

Равнобедренный

Разносторонний

Боковые стороны

Основание

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

В равнобедренном треугольнике проведённая к основанию, является и

Медиана

Высота

Биссектриса

Медианой

Высотой

Медианой

Биссектрисой

Биссектрисой

Высотой

Равенство треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить при наложении.

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

По стороне и двум прилежащим к ней углам

По трём сторонам

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Признаки подобия

По двум углам

По двум сторонам и углу между ними

По трём сторонам

Соотношения между сторонами и углами

?

?

?

А

c

b

В

С

А

В треугольнике : 1) против большей стороны лежит больший угол; против большего угла лежит большая сторона.

Каждая сторона треугольника больше разности и меньше суммы двух других сторон.

Прямоугольный треугольник

А

c

b

В

С

А

теорема Пифагора

Н

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы.

Площадь треугольника

А

c

b

В

С

А

R – радиус вписанной окружности

R– радиус вписанной окружности

Треугольник

Треугольник в широком смысле — объект треугольной формы, либо тройка объектов, попарно связанных какими-либо отношениями.

Галактика треугольника

Галактика Треугольника -спиральная галактика, третья по величине после Галактики Андромеды и Млечного Пути . Её диаметр — около 50 тыс. св. лет.

Письмо - треугольник

Во время Великой Отечественной Войны письма с фронта складывались простым треугольником, и отправлялись без конвертов. Письмо не заклеивалось, почтовая марка была не нужна, адрес писался на наружной стороне листа.

Транспортный треугольник

Поворотный треугольник — соединение железнодорожных или трамвайных путей в виде треугольника, с помощью которого можно развернуть на 180° единицу подвижного состава.

Бермудский треугольник

Бермудский треугольник — район в Атлантическом океане, в котором якобы происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами. Скептики утверждают, однако, что исчезновения судов в бермудском треугольнике происходят не чаще, чем в других районах мирового океана, и объясняются естественными причинами.

Треугольник в физике

Треугольник — вид соединения электрических цепей в физике.

Треугольники, которые не существуют

Медиана в статистике

2,6,4,9,12,7,3,8,17 2,3,4,6,7,8,9,12,17

Величина, находящаяся в середине ряда величин, расположенных в возрастающем или убывающем порядке.

Математический диктант

Готовимся к ГИА - 2012

Верны ли следующие утверждения?

1. Треугольник является остроугольным, если хотя бы один из его углов острый.

2.Треугольник называется тупоугольным, если все его углы тупые.

3. В равнобедренном треугольнике равные углы должны быть острыми.

4. Медианой треугольника называется отрезок, делящий треугольник на два равных треугольника

5.В тупоугольном треугольнике нельзя построить три высоты.

6. Если одна сторона равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то такие треугольники равны.

7.В равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой и высотой.

Математический диктант

Готовимся к ГИА - 2012

Верны ли следующие утверждения?

8. Если в равнобедренном треугольнике один угол равен , то остальные обязательно и .

9. Любые три точки могут быть вершинами треугольника.

10. Существует треугольник со сторонами 10 см, 5 см, 4 см.

11. В прямоугольном треугольнике катет всегда меньше гипотенузы.

12. Треугольник со сторонами 10 см, 8 см, 6 см – прямоугольный.

13. Все равносторонние треугольники подобны.

14. Если увеличить стороны треугольника в 2 раза, то его площадь тоже увеличится в 2 раза.

15. Если два угла треугольника равны то треугольник является равнобедренным.

Математический диктант

Готовимся к ГИА - 2012

Верны ли следующие утверждения?

1. Сумма углов тупоугольного треугольника больше .

2. Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон .

3. Если все стороны треугольника меньше 1, то и его высота меньше 1.

4. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.

5. Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.

Математический диктант

Готовимся к ГИА - 2012

Верны ли следующие утверждения?

1. Любые два прямоугольных треугольника подобны.

2. Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту.

4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны .

5. Угол, противолежащий большей стороне треугольника – тупой.

Как такое может быть

Литература

1.Учебник «Геометрия 7-9», авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. 2.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%F0%E5%F3%E3%EE%EB%FC%ED%E8%EA 3.http://www.edudic.ru/sim/886 4.Открытый банк заданий ГИА по математике