Треугольник
<<  Треугольники Треугольники  >>
Треугольники
Треугольники
содержание что из себя представляет треугольник (3 -5) периметр
содержание что из себя представляет треугольник (3 -5) периметр
Треугольники
Треугольники
Стороны треугольника
Стороны треугольника
Углы треугольника
Углы треугольника
Ав
Ав
Какие треугольники называются равными
Какие треугольники называются равными
Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника( т. е
Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника( т. е
Равенство двух треугольников можно установить не только при помощи
Равенство двух треугольников можно установить не только при помощи
Первый признак равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников
Теорема
Теорема
Доказательство
Доказательство
Доказательство Рассмотрим АВС и АСД ВАD= DAC (по условию) АВ=АС (по
Доказательство Рассмотрим АВС и АСД ВАD= DAC (по условию) АВ=АС (по
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Перпендикуляр к прямой
Перпендикуляр к прямой
Теорема Из точки, не лежащий на прямой, можно провести перпендикуляр к
Теорема Из точки, не лежащий на прямой, можно провести перпендикуляр к
Доказательство
Доказательство
Медианы треугольника
Медианы треугольника
Любой треугольник имеет три медианы
Любой треугольник имеет три медианы
Биссектрисы треугольника
Биссектрисы треугольника
Все три биссектрисы пересекаются в одной точке
Все три биссектрисы пересекаются в одной точке
Высоты треугольника
Высоты треугольника
Любой треугольник имеет три высоты
Любой треугольник имеет три высоты
Свойства равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника
Теорема
Теорема
Доказательство
Доказательство
Теорема
Теорема
Доказательство
Доказательство
Утверждения о равнобедренном треугольнике
Утверждения о равнобедренном треугольнике
По стороне и двум прилежащим к ней углам
По стороне и двум прилежащим к ней углам
Теорема
Теорема
Доказательство
Доказательство
По трем сторонам
По трем сторонам
Теорема
Теорема
Доказательство
Доказательство
1 случай
1 случай
2 случай
2 случай
3 случай
3 случай
Конец =)
Конец =)

Презентация на тему: «Треугольники». Автор: Admin. Файл: «Треугольники.pptx». Размер zip-архива: 452 КБ.

Треугольники

содержание презентации «Треугольники.pptx»
СлайдТекст
1 Треугольники

Треугольники

2 содержание что из себя представляет треугольник (3 -5) периметр

содержание что из себя представляет треугольник (3 -5) периметр

треугольника(6) какие треугольники называют равными(7 – 9) первый признак равенства треугольников(10 – 13) Перпендикуляр к прямой(15 – 17) медиана треугольника(18 – 19) биссектриса треугольника(20 – 21) высота треугольника(22 – 23) свойство равнобедренного треугольника(24 -28) утверждения о равнобедренном треугольнике(29) второй признак равенства треугольников(30 – 32) третий признак равенства треугольников(33 – 38) конец(39)

3 Треугольники

Треугольники

Треугольник - это геометрическая фигура состоящая из трех вершин и трех отрезков соединяющих эти вершины. Например в треугольнике АВС вершины будут А, В и С. Треугольники записываются так: АВС

4 Стороны треугольника

Стороны треугольника

У треугольника есть три стороны. Например в АВС сторонами будут являться: АВ, Они так и записываются.

Вс

и СА

А

В

5 Углы треугольника

Углы треугольника

Так же у треугольников есть углы. Например у АВС углами будут являться: А, Записываются они так: А, В, и С. Но их можно записать и так: АВС,

В

и С

Вас

и ВСА

В

А

6 Ав

Ав

+Вс

+Са

Периметр треугольника

Периметр треугольника записывается так: Р Периметр равен сумме длин всех сторон т. е. Р АВС=

В

А

7 Какие треугольники называются равными

Какие треугольники называются равными

Фигуры называются равными если при наложении одной фигуры на другую все стороны и вершины совпадают как у АВС и А1В1С1.

8 Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника( т. е

Если два треугольника равны, то элементы одного треугольника( т. е

стороны и углы) соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников АВС и А1В1С1 записывается так: АВС= А1В1С1

9 Равенство двух треугольников можно установить не только при помощи

Равенство двух треугольников можно установить не только при помощи

наложения одной фигуры на другую, а сравнивая только некоторые их элементы. Существует три признака равенства треугольников.

10 Первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

11 Теорема

Теорема

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

12 Доказательство

Доказательство

3признак

1признак

2признак

Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1 У которых А= А1. Можно наложить вершину А на вершину А1. Стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. поскольку АВ=А1В1, АС=А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1 В1, а сторона АС со стороной А1С1. в частности совместятся точки В и В1, С и С1. Следовательно совместятся стороны ВС и В1С1. итак треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, значит они равны. Теорема доказана.

А1

Равнобедр. треугольник

13 Доказательство Рассмотрим АВС и АСД ВАD= DAC (по условию) АВ=АС (по

Доказательство Рассмотрим АВС и АСД ВАD= DAC (по условию) АВ=АС (по

условию) ? АD – общая ?АВС= АСД (по двум сторонам и углу между ними) Значит все соответствующие элементы треугольников равны

Пример

Дано: АВ=АС, ВАD= DAC Доказать: АВС= АСD

14 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

15 Перпендикуляр к прямой

Перпендикуляр к прямой

Отрезок AH – перпендикуляр к прямой a. Точка H называется основанием перпендикуляра.

a

16 Теорема Из точки, не лежащий на прямой, можно провести перпендикуляр к

Теорема Из точки, не лежащий на прямой, можно провести перпендикуляр к

этой прямой, и притом только один

17 Доказательство

Доказательство

Точка А – это точка не лежащая на прямой. отложим от луча ВС угол МВС равный углу АВС Один угол можно наложить на другой так что стороны углов совместятся Мы получим точку А1 лежащую на луче ВМ равную точке А Обозначим буквой Н точку пересечения прямых АА1 и ВС Отрезок АН это перпендикуляр к прямой ВС Если предположить что к прямой ВС можно провести еще один перпендикуляр АН1 то он будет пересекаться с перпендикуляром АН а это не возможно. Теорема доказана

М

18 Медианы треугольника

Медианы треугольника

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. AM – медиана треугольника.

19 Любой треугольник имеет три медианы

Любой треугольник имеет три медианы

Например в треугольнике АВС медианами будут являться: СМ1 – проведенная к стороне АВ ВМ2 - проведенная к стороне АС АМ3 – проведенная к стороне ВС

Мы можем видеть что все три медианы пересеклись в одной точке.

А

М1

М2

В

М3

С

20 Биссектрисы треугольника

Биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. AA1 – биссектриса треугольника ABC.

A

B

A1

C

21 Все три биссектрисы пересекаются в одной точке

Все три биссектрисы пересекаются в одной точке

Любой треугольник имеет три биссектрисы Например в треугольнике ЕСД биссектрисами являются: ЕЕ1 – биссектриса соединяющаяся со стороной ДС СС1 – биссектриса соединяющаяся со стороной ЕД ДД1 – биссектриса соединяющаяся со стороной ЕС

Е

D1

C1

C

E1

D

22 Высоты треугольника

Высоты треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противолежащий прямой. AH – высота треугольника ABC.

H

23 Любой треугольник имеет три высоты

Любой треугольник имеет три высоты

Например в треугольнике АВС высотами будут: АН1 – проведенная к стороне ВС ВН2 – Проведенная к стороне АС СН3 – проведенная к стороне АВ

Мы можем увидеть что все тори высоты пересеклись в одной точке

A

H3

H2

B

C

H1

24 Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами. третья сторона называется основанием равнобедренного треугольника.

25 Теорема

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

26 Доказательство

Доказательство

1признак

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем что угол В равен углу С. АД – биссектриса треугольника АВС Треугольники АВД и АСД равны по первому признаку равенства треугольников. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы Теорема доказана

А

В д с

27 Теорема

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

28 Доказательство

Доказательство

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС где ВС основание, а АД – биссектриса. Из равенства треугольников АВД и АСД следует что ВД=ДС угол ВДА равен углу АДС Равенство ВД=ДС означает что Д середина отрезка ВС и по этому АД – медиана треугольника Так как углы ВДА и АДС смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно отрезок АД является так же высотой треугольника. Теорема доказана

А

В д с

29 Утверждения о равнобедренном треугольнике

Утверждения о равнобедренном треугольнике

Высота равнобедренного треугольника, проведнная к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

30 По стороне и двум прилежащим к ней углам

По стороне и двум прилежащим к ней углам

Второй признак равенства треугольника

31 Теорема

Теорема

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то эти треугольники равны.

32 Доказательство

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1 у которых АВ=А1В1, А= А1, В= В1. Докажем что треугольники равны. Наложим треугольник АВС на треугольникА1В1С1. Вершину А совместим с вершиной А1 Наложим сторону АВ на равную ейА1В1. так чтоб вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой. Вершина В наложится на вершину В1 В следствие сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС на луч В1С1 По этому вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей как на луче А1С1, так и на луче В1С1 и, следовательно совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С1. Значит совместятся стороны АС и А1С1, ВС и В1С1. Треугольники полностью совместились значит они равны. Теорема доказана

33 По трем сторонам

По трем сторонам

Третий признак равенства треугольников

34 Теорема

Теорема

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника то такие треугольники считаются равными.

35 Доказательство

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1. У которых АВ=А1В1, АС=А1С1 и ВС=В1С1. докажем что треугольники равны. Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1. так чтоб вершина А совместилась с вершиной А1. Вершина В с вершинойВ1 Вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1. возможны три случая

36 1 случай

1 случай

Так как по условиям теоремы АС и А1С1, ВС и В1С1 равны Тогда треугольники АС1С и В1С1С – равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника углы 1 и 2, 3 и 4 – равны. Поэтому угол А1СВ1 равен углу А1С1В1. Итак АС=А1С1, ВС=В1С1, угол С равен углу С1. Следовательно треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана

А1(а)

С1

С

В1(в)

37 2 случай

2 случай

Так как по условиям теоремы АС и А1С1 равны значит треугольник СА1С1 – равнобедренный. Значит угол С равен углу С1 как углы при основании равнобедренного треугольника Так как по теореме СВ равно С1В1 значит В1А1 высота треугольника СА1С1. она же медиана и биссектриса. Из этого следует что угол СА1В1 равен углуВ1А1С1. Так как СА равно А1С1, угол С равен углу С1 и угол СА1В1 равен углуВ1А1С1 то треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана

С

А1(а)

В1(в)

С1

38 3 случай

3 случай

По условию теоремы АС равно А1С1, а ВС равно В1С1. Значит треугольники СА1С1 и СВ1С1 – равнобедренные. Значит углы А1СС1 и А1С1С равны. И углы В1СС1 и В1С1С тоже равны. Из этих двух условий следует что углы В1СА1 и В1С1А1 тоже равны. Так как СВ равно С1В1, АС равно А1С1 и углы В1СА1 и В1С1А1 равны то треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана

С1

С

А1(а)

В1(в)

39 Конец =)

Конец =)

«Треугольники»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/treugolniki-230881.html
cсылка на страницу

Треугольник

42 презентации о треугольнике
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды