Учимся решать задачи по планиметрии

Учимся решать задачи по планиметрии

Проект национальной образовательной инициативы «Наша новая школа»

Первое направление

Второе направление

Третье направление

В школе дети должны получить возможность раскрыть свои способности, подготовиться к жизни в высокотехнологичном конкурентном мире

Должна быть выстроена разветвлённая система поиска и поддержки талантливых детей, а также их сопровождение в течение всего периода становления личности

Ключевая роль в школе принадлежит учителю

Обучение решению задач по планиметрии

1) Знание теории(теоремы) 2) Знание формул 3) Изучение базовых задач 4) Изучение методов решений задач 5) Постоянная тренировка по трем уровням сложности.

Теория

1) Углы(смежные, вертикальные и др.) 2) Треугольник(нахождение углов, отрезков, площадей) 3) Четырехугольники (свойства, площади) 4) Окружность (касательные, секущие углы) 5) Комбинации окружности и многоугольников(рисунки и свойства) 6) Трапеция и окружность 7) Правильные многоугольники 8) Векторы на плоскости

Мастер-класс «Решение задач по планиметрии

План занятия

1. Роль геометрии в математическом образовании учащихся. 2. Основные методы решения задач 3. Базисные задачи. 4. Творческие задачи(c4). 5. Практическое занятие (проверьте себя).

Эпиграф

«Вдохновение нужно в поэзии так же, как в геометрии». А.С.Пушкин

На протяжении веков геометрия служила источником развития не только

математики, но и других наук. С помощью геометрии формировались законы математического мышления. Многие геометрические задачи способствовали появлению новых научных направлений(геометрия Н.И.Лобачевского) и наоборот. Вспомним картину Рафаэля «Афинская школа». На ней изображены Пифагор, Евклид, Платон и другие основоположники геометрии, а вокруг них- любознательная молодежь, которой интересны научные открытия.

Современная геометрия включает много новых направлений: топология,

дифгеометрия, теория графов, компьютерная. Огромна роль геометрии в развитии логического мышления учащихся и пространственного воображения. Именно геометрия дает представление об истине, учит ее доказывать. Карл Бенц с помощью равнобокой трапеции изобрел поворот передних колес автомобиля. Почему наши ученики боятся геометрию? Почему не умеют решать задачи? В 1972г. Е.А. Радченко и И.С. Тюремских так написали в своем пособии по математике: «При решении геометрических задач, выпускники средних школ проявляют полную беспомощность, которая свидетельствует не о слабых знаниях, а просто об их отсутствии. Причины этого очевидны: 1. Геометрия значительно сложнее алгебры 2. Не знание теории 3. Не умение решать базисные задачи 4. Не отработаны все методы решения задач 5. Не умение строить рисунок, а готовый «читать»

Существует 3 основных метода решения задач: геометрический,

алгебраический, комбинированный. Особо остановимся на алгебраическом. Метод опорного элемента- главный при составления уравнения(один и тот же элемент выражается двумя способами). При решении сложных задач применяют метод вспомогательного параметра ,то есть через данные выражают какую то величину, а через нее искомую. Все эти методы будут работать только в одном случае: правильно сделан рисунок, найдены свойства фигур, правильно выбран путь к решению задач. Данную теорию знать, и уметь применять на практике.

Геометрия

I. Углы и их свойства

?

?

Угол между биссектрисами смежных углов

Углы со взаимно-перпендикулярными сторонами

?

?

?=2?

Вписанный, центральный

II

Медианы в треугольники

S1 = S2 - медиана mc = R

S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6

Биссектрисы в треугольнике

В

В

?

?

С

А1

А

L

О

С

У

А

A

С

В1

А

Х

Во/в1о = (ав + вс) /ас

С/х = а/у L = (ас – ху)1/2

Высоты в треугольнике

А1ВС1 подобен АВС ВС1 / ВС = ВА1 / ВА = А1С1 / АС

cosB

Расположение трёх отрезков

В

h

m

L

С

А

Подобие треугольников

B

A1

B1

M

N

O

A

C

B

A

Вписанная и вневписанная окружность

т. О1 – пересечение биссектрис внутреннего и внешних углов. Вневписанная окружность касается одной стороны и продолжений двух других (их три) Ча = S/(p-a) касается стороны а

О1

А

О

Четыре построения в трапеции

S=MN*H, x=mn(средняя линия)

x

Теорема о четырёх точках: середины оснований, пересечение диагоналей, пересечение боковых сторон (продолжений) – на одной прямой

Формулы в трапеции

В

s1

М

s2

s3

Х

s4

С

У

Sтрапеции = 2sмвс

S2 = S3 S1 / S4 = K2 S1 / S2 = K

Sтр = х * h

h

h

Х

r

Правильные многоугольники

C

D

S DEF = 1/6 S S ADF = 1/3 S S BDF = ? S

Знать формулы квадрата, правильного треугольника, шестиугольника: два радиуса, площадь, высота.

B

E

F

A

R

r

R

r

Многоугольники и окружность

r

B

NC = p – AB BN = p – AC AM = p - BC

M

N

r

A

C

K

R

r

Два случая в задачах по геометрии

1. Три точки А, В, С – лежат на одной прямой( 7 кл.) 2. Биссектрисы углов параллелограмма делят сторону на три равных отрезка Р = 40, найти стороны(8 кл.)

В равнобедренный треугольник вписана окружность

Боковая сторона делится на отрезки 3 и 4(8 кл.) Острый угол и тупой угол в треугольнике В окружность радиуса 10 см вписана трапеция а = 12, в = 18. S = ? (ЕГЭ)

Нахождение биссектрисы угла треугольника

BC = 8, AC = 6, CD =? AB = 6, BC = 8, угол B = a Тр. DBK подобен тр. ABC CD-биссектриса BK - ? Метод площадей S = S1 + S2 BK- биссектриса

B

B

S2

D

S1

K

A

C

K

A

M

C

Полезные формулы

sin 2 x = 2sinx cosx

B

a

b

C

MN = 2 ( ab / a+ b) X / b = bk / ( ak + bk) X = y

B

y

N

C

A

x

M

O

AC2 = AB2 + BC2 – 2 AB * BC * cosa AC2 = ( AB + BC)2 – 4sтр * ctg a / 2

D

B

C

A

a

S=AD*BC

r

A

D