Углы в пространстве
<<  Угол между прямой и плоскостью Угол между двумя прямыми в пространстве  >>
Кобзев Дмитрий Александрович учитель математики Идентификатор:
Кобзев Дмитрий Александрович учитель математики Идентификатор:
Мастерство - это то, чего можно добиться
Мастерство - это то, чего можно добиться
Цели и задачи урока:
Цели и задачи урока:
Теоретический материал
Теоретический материал
b
b
Углом между прямой и плоскостью, пересе-кающей эту прямую и не
Углом между прямой и плоскостью, пересе-кающей эту прямую и не
Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего
Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего
В
В
А - ?
А - ?
Уравнение плоскости в пространстве:
Уравнение плоскости в пространстве:
B
B
- Направляющий вектор прямой
- Направляющий вектор прямой
- Нормаль к плоскости
- Нормаль к плоскости
600
600
Задачи на готовых чертежах
Задачи на готовых чертежах
Задачи на готовых чертежах
Задачи на готовых чертежах
Из ? MKL:
Из ? MKL:
Решение геометрических задач
Решение геометрических задач
1
1
1
1
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Самостоятельная работа
Самостоятельная работа
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дано:
Дополнительные задачи
Дополнительные задачи
Решение
Решение
Решение
Решение
Итог урока:
Итог урока:
§ 12 (конспект), тренировочные работы ЕГЭ 2013 (МИОО) № 6, 7,11
§ 12 (конспект), тренировочные работы ЕГЭ 2013 (МИОО) № 6, 7,11
Притча
Притча

Презентация на тему: «Углы в пространстве». Автор: Admin. Файл: «Углы в пространстве.ppt». Размер zip-архива: 1062 КБ.

Углы в пространстве

содержание презентации «Углы в пространстве.ppt»
СлайдТекст
1 Кобзев Дмитрий Александрович учитель математики Идентификатор:

Кобзев Дмитрий Александрович учитель математики Идентификатор:

239-590-075

"Углы в пространстве"

11 класс

Л. С. Атанасян,"Геометрия 10-11"

2 Мастерство - это то, чего можно добиться

Мастерство - это то, чего можно добиться

quot;"

А.С. Макаренко

3 Цели и задачи урока:

Цели и задачи урока:

Образовательные :

Развивающие:

Воспитательные:

Рассмотрение всех возможных комбинаций углов в пространстве (угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями), решение геометрических задач классическим и координатно-векторным методами; формирование навыков чтения чертежей, умений проводить дополнительные построения и вычисления;

Формирование умения выполнять обобщение и конкретизацию, развитие качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность, критичность с учетом индивидуальных особенностей;

Развитие взаимовыручки и взаимопомощи, умение вести культурную дискуссию, умение четко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу.

4 Теоретический материал

Теоретический материал

Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра.

Сенека

1. Угол между скрещивающимися прямыми.

Классический

Координатно-векторный

2. Угол между прямой и плоскостью.

Классический

Координатно-векторный

3. Угол между двумя плоскостями.

Классический

Координатно-векторный

4. Теорема о трех перпендикулярах

5. Теорема косинусов

6. Нормаль к плоскости

5 b

b

a

M

m

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися.

Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

6 Углом между прямой и плоскостью, пересе-кающей эту прямую и не

Углом между прямой и плоскостью, пересе-кающей эту прямую и не

перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Наклонная

Перпендикуляр

Проекция

7 Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего

двугранного угла.

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

8 В

В

А

С

А

Наклонная

Перпендикуляр

Проекция

9 А - ?

А - ?

В

С

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

10 Уравнение плоскости в пространстве:

Уравнение плоскости в пространстве:

Для нахождения координат нормали:

Направляющие векторы плоскости

Нормаль к плоскости

11 B

B

C

A

D

12 - Направляющий вектор прямой

- Направляющий вектор прямой

- Нормаль к плоскости

13 - Нормаль к плоскости

- Нормаль к плоскости

- Нормаль к плоскости

14 600

600

Задачи на готовых чертежах

Дано:

Найти:

Ответ:

1

ABCA1B1C1 – прямая призма

ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник

AB =

Сс1 = 8

B1

C1

A1

8

B

C

8

A

15 Задачи на готовых чертежах

Задачи на готовых чертежах

Дано:

Найти:

Ответ:

2

ABCDA1B1C1D1 - куб

D1

С1

А1

В1

K

D

С

А

В

Проекция

Наклонная

16 Задачи на готовых чертежах

Задачи на готовых чертежах

Дано:

Найти:

3

ABCDA1B1C1D1 – прямоуг. Парал-д

М – середина B1C1

Ав = 3, вс = 4, сс1 = 2

2

3

4

D1

A1

C1

M

B1

A

C

B

Н-я

D

П-р

П-я

17 Из ? MKL:

Из ? MKL:

Ответ:

?BDC ~ ?BKL ( по двум углам)

D1

A1

2

M

B1

2

A

3

B

D

18 Решение геометрических задач

Решение геометрических задач

Классический

Координатно-векторный

Классический

Координатно-векторный

Классический

Координатно-векторный

Точка Е – середина ребра ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1. Найти угол между прямыми АЕ и СА1.

1

Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС. АВ = АС = 5, ВС = 8. Высота призмы равна 3. Найти угол между прямой А1В и плоскостью ВСС1.

2

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 2 : 3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

3

19 1

1

1

Дано:

Найти:

Решение:

Ответ:

F

ABCDA1B1C1D1 – куб, BE = EB1.

C1

B1

D1

A1

Е

Из ? ACA1 найдем СА1:

Проведем через А1 прямую А1F ll AE.

C

B

Из ? A1B1F (?B1 = 900) найдем А1F:

D

A

Из ? CBF (?B = 900) найдем CF:

Из ? CA1F найдем

20 1

1

1

Дано:

Найти:

Решение:

Ответ:

z

ABCDA1B1C1D1 – куб, BE = EB1.

B1

C1

D1

A1

Е

Введем систему координат.

Определим координаты точек А, Е, С, А1

B

x

C

D

Направляющие векторы прямых:

A

y

(1;1;1)

(1;0;1/2)

(0;0;0)

(1;1;0)

21 Дано:

Дано:

2

А1

С1

Найти:

М

В1

Решение:

А

В

С

Ответ:

ABCA1B1C1 – прямая призма, ?АВС – равнобедренный АB = АС = 5, ВС = 8, СС1 = 3.

3

5

Из ?A1В1С1 :

А1м ? ( всс1 )

ВМ – проекция А1В на ( ВСС1 )

Т.к. В1М = 4, ВВ1 = 3, то ВМ = 5

Из ?А1ВМ:

22 Дано:

Дано:

2

А1

Найти:

С1

В1

Решение:

А

В

С

Ответ:

z

У

3

Х

ABCA1B1C1 – прямая призма, ?АВС – равнобедренный, АB = АС = 5, ВС = 8, СС1 = 3.

(0;3;3)

(- 4;0;3)

Введем систему координат.

Определим координаты точек А1 , B, С, C1

Направляющий вектор А1В:

Направляющие векторы (ВСС1):

Найдем координаты нормали

(4;0;0)

(- 4;0;0)

23 Дано:

Дано:

3

Найти:

Решение:

Ответ:

С1

D1

А1

В1

F

5

Е

С

D

1

В

K

А

H

ABCDA1B1C1D1 – призма, BC = 1, BB1 = 5, AE : EA1 = 2:3

Проведем ЕН ? КВ, тогда АН ? КВ (АН – проекция ЕН)

Найдем АК:

Из ? АКВ (?А=900) найдем ВК:

Найдем высоту АН:

Из ? АНЕ :

24 Дано:

Дано:

3

Найти:

Решение:

Ответ:

z

С1

D1

А1

В1

F

x

5

Е

D

С

1

y

В

А

ABCDA1B1C1D1 – призма, BC = 1, BB1 = 5, AE : EA1 = 2:3

(1;1;5)

Введем систему координат.

(0;1;2)

Определим координаты точек A, B, С, E, D1

(1;0;0)

Направляющие векторы плоскостей:

(0;0;0)

(0;1;0)

Найдем координаты нормалей:

1)

2)

Таким образом

25 Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

1

2

3

Сущность геометрии в ее методе, где строгость вывода соединяется с наглядными представлениями.

Кл

К - в

Кл

К - в

Кл

К - в

А.Д. Александров

26 Дано:

Дано:

1

Найти:

Решение:

Ответ:

ABCDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная призма, BC = 1, BB1 = 1.

Е1

D1

О1

F1

С1

1

В1

А1

1

Построим ( AA1D ) || ( BB1C ),

AO1 || BC1

Е

D

О

F

С

1

1

В

А

Из ? АВВ1:

Из ? АА1О1:

Из ? АА1О1:

27 Дано:

Дано:

1

Найти:

Решение:

Ответ:

Направляющие векторы прямых:

ABCDEFA1B1C1D1E1F1 – правильная призма, BC = 1, BB1 = 1.

Е1

D1

z

О1

F1

С1

(1;0;1)

В1

А1

y

Введем систему координат.

1

Определим координаты точек А, B, B1 , C1

Е

D

О

F

С

x

1

1

В

А

(0;0;0)

(1;0;0)

28 Дано:

Дано:

2

Найти:

Решение:

Ответ:

ABCA1B1C1 – правильная призма, BC = 1, BB1 = 1.

С1

М

А1

В1

В ? А1В1С1 проведем В1М ? А1С1

1

1

АМ – проекция АВ1

С

1

В

А

1

Из ? АВВ1:

Из ? АА1М:

Из ? АМВ1 :

29 Дано:

Дано:

2

Найти:

Решение:

Ответ:

ABCA1B1C1 – правильная призма, BC = 1, BB1 = 1.

С1

z

(0;1/2;1)

А1

В1

Введем систему координат.

Определим координаты точек А, B1 , A1 , C

1

1

С

Направляющий вектор АВ1:

(0;-1/2;0)

1

y

Направляющие векторы (AA1C):

В

1

А

(0;1/2;0)

x

Найдем координаты нормали

30 Дано:

Дано:

3

Найти:

Решение:

Ответ:

ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, АВ = BC = 6, АА1 = 4.

D1

6

С1

6

А1

В1

4

( Авс ) || ( а1в1с1 )

4

( Авс ) ? ( а1в1с1 ) = ас

D

С

О

6

D1O ? AC

В

А

6

DO ? AC

Из ? ABD :

Из ? DOD1 :

31 Дано:

Дано:

3

Найти:

Решение:

Ответ:

ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, АВ = BC = 6, АА1 = 4.

z

D1

(0;0;4)

С1

Введем систему координат.

А1

В1

Определим координаты точек: А, D, C, D1

4

Направляющие векторы (ADC)и (AD1 C):

4

(6;0;0)

(0;0;0)

С

D

x

О

6

Найдем координаты нормалей :

y

В

6

А

(0;6;0)

1)

2)

Таким образом

32 Дополнительные задачи

Дополнительные задачи

Геометрия приближает разум к истине

Платон

Решение

Решение

1.

2.

33 Решение

Решение

?

12

12

1. Искомый угол найдем из

С1

В1

2. МК найдем из

А1

М

3. МВ1 найдем из

С

В

Наклонная

К

4. Таким образом:

А

Проекция

Ответ:

34 Решение

Решение

Пусть SN – медиана

H, K – проекции точек S и M на основание АBC

1. Искомый угол найдем из

2. Из

Найдем AN:

Затем высоту SH:

3. По свойству медианы и из подобия

найдем МК, а затем АК:

4. Таким образом:

Ответ:

S

17

М

С

N

K

А

H

В

35 Итог урока:

Итог урока:

Ответьте на вопросы

1) Как определить угол между скрещивающимися прямыми классическим или координатно-векторным методом ?

2) Как определить угол между прямой и плоскостью классическим или координатно-векторным методом ?

3) Как определить угол между двумя плоскостями классическим или координатно-векторным методом ?

36 § 12 (конспект), тренировочные работы ЕГЭ 2013 (МИОО) № 6, 7,11

§ 12 (конспект), тренировочные работы ЕГЭ 2013 (МИОО) № 6, 7,11

Домашее задание:

Дополнительная задача:

На шаровой поверхности лежат все вершины треугольника АВС. Точка О – центр шара. Найти угол между прямой АО и плоскостью треугольника, если АВ = АС = 10, ВС = 12, АО = 12,5.

37 Притча

Притча

Что ты делал целый день?

Первый с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни.

Второй ответил, что добросовестно выполнял свою работу.

Третий ответил, что принимал участие в строительстве храма.

«Углы в пространстве»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/ugly-v-prostranstve-134964.html
cсылка на страницу

Углы в пространстве

9 презентаций об углах в пространстве
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды