Вписанные и центральные углы

Вписанные и центральные углы

В6 2012г.

14.12.2015

1

Прототип задания B6 (№ 27884)

Угол ACO равен 240. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

?АСО –прямоугольный. ?С = 240 => ?АОС = 660

Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается. Следовательно меньшая дуга АВ = ?АОС = 660

Развернутый угол DОB = 1800

?Dоa = ?dob - ?aob = 1800 - 660

?Dоa = 1140

?DОA измеряется дугой АD, на которую опирается

Большая дуга АD окружности, заключенная внутри ?АСО равна 1140

Ответ 114

14.12.2015

2

Прототип задания B6 (№ 27869)

АС и BD— диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 38о. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

? ВОС равнобедренный. ОС = ОВ = R, следовательно…

?ВСО = ?СВО = 38о

? ОСВ : ?СОВ + ?ОСВ + ?СВО = 180о

?СОВ = 180о – 38о - 38 о

?СОВ = 104о

?AOD = ?COB - как вертикальные

?AOD =104о

Ответ: 104

38о

14.12.2015

3

Прототип задания B6 (№ 27871)

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58о. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Около четырехугольника окружность можно описать лишь в том случае, если сумма противоположных углов равна 180о

Следовательно ?А + ?С = 180о

?С = 180о - 58о = 122о

Ответ: 122

58о

14.12.2015

4

Прототип задания B6 (№ 27878)

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32о. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Угол, составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги заключенной внутри него

Следовательно: Искомая меньшая дуга, стягиваемой хордой АВ равна 32о · 2 = 64о

Ответ 64

32о

14.12.2015

5

Дополнительное задание

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 820 и 580. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

?А + ?с =?d + ?b = 1800

Следовательно 820 и 580 могут быть равны только соседние углы

Пусть ?С = 820 и ?В = 580

Так как ?А + ?С = 1800, то ?А = 980 и ?D + ?B = 1800, то ?D = 1220

Ответ 122

82о

58о

14.12.2015

6

Прототип задания B6 (№ 27872)

Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95о, 49о, 71о, 145о. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается

?АВС опирается на дугу АDC

Дуга АDC равна 145о + 71о = 216о

?АВС = 216о : 2=108о

?AВС = 108о

Ответ: 108

49о

95о

71о

145о

14.12.2015

7

Прототип задания B6 (№ 27863)

Центральный угол на 36о больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол АСВ составляет половину центрального АОВ, опирающегося на туже дугу АВ

Пусть ?АСВ = х

Тогда ?АОВ = х + 36о

Так как ?АОВ = 2?АСВ, то

Х

Х + 36о = 2х

Х = 36о

Ответ: 36

14.12.2015

8

Прототип задания B6 (№ 27857)

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

По условию задачи АС = R , Следовательно АС = АО = СО

? АОС равносторонний => ?АОС = 60о

Центральный угол АОС измеряется дугой АС, на которую опирается.

В

Вписанный угол АВС составляет половину центрального АОС, опирающегося на туже дугу АС

О

?Авс = ??аос

?АВС = 60о : 2 = 30о

А

С

Ответ: 30

14.12.2015

9

Задание B6 (№ 51031)

Найдите хорду, на которую опирается угол 30о , вписанный в окружность радиуса 28.

Вписанный угол АВС составляет половину центрального АОС, опирающегося на туже дугу АС

Дуга АС =2·30о = 60о

?АОС = 60о. Следовательно ?АОС - равносторонний

В

30о

Хорда АС = R = 28

О

R

R

Ответ: 28

А

С

R

14.12.2015

10

Задание B6 (№ 51081)

Радиус окружности равен 48. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 48?2 . Ответ дайте в градусах.

По условию R =48

Хордаа АВ = 48?2 .

Рассмотрим прямоугольный ? АОH, где ОH высота из вершины О на сторону АВ

? АОВ - равнобедренный

sin?AOH = 24?2:48 =

Аh = 24?2

?AOH = 45о , следовательно ? AОВ = 90о

О

48

48

Вписанный угол АСВ составляет половину центрального АОВ, опирающегося на туже дугу АВ

24?2

H

48?2

?АСВ = 90о : 2 = 45о

Ответ: 45

14.12.2015

11