Презентация на тему «Вычисление объёмов геометрических тел с помощью определённого интеграла»

Вычисление объёмов геометрических тел с помощью определённого

интеграла

1612 г. Австрия город Линц

«Новая стереометрия винных бочек», 1615 г

Иоганн Кеплер (1571 – 1630)

«Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе

Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде»

И привез гонец хмельной В тот же день приказ такой: «Царь велит своим боярам, Времени не тратя даром, И царицу и приплод Тайно бросить в бездну вод». Делать нечего: бояре, Потужив о государе И царице молодой, В спальню к ней пришли толпой. Объявили царску волю – Ей и сыну злую долю, Прочитали вслух указ, И царицу в тот же час В бочку с сыном посадили, Засмолили, покатили И пустили в окиян – Так велел-де царь Салтан.

Проблема:

Могли ли поместиться Царевна с сыном в бочке, если радиус её основания 30 см, максимальная ширина – 80 см, а высота бочки - 1 метр?

Если функция f(x) непрерывна на промежутке I числовой оси, содержащей

точки х=а и х=b, то разность значений F(b)-F(a) (где F(x) - первообразная f(x) на I) называется определенным интегралом от функции f(x) от a до b.

формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление объёмов тел

1. Заключаем тело Т между двумя параллельными плоскостями. 2. Вводим систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна плоскостям. 3. Проводим плоскость Ф(х) параллельно плоскостям через точку с абсциссой х. 4. Определяем вид сечения и выражаем площадь через функцию S(х). 5. Проверяем, является ли функция S(х) непрерывной на [a;b].

6. Разбиваем [a;b] на n - равных отрезков точками а = х0, х1, х2,

…хn=b и проводим через хi плоскости перпендикулярно ОХ. 7. Плоскости разбивают тело Т на n- тел Т1, Т2, Т3,... Тn с основаниями Ф(хi) и высотой ?xi= (b - a)/n

8. V?Vn= (S(x1) + S(x2) +…+ S(xn) )?xi= =(S(x1) + S(x2) +…+ S(xn))(b - a)/n. При n ??, Vn?V, поэтому но 9.

Задача 1.Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и

высотой h.

1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы. 2. (АВС)?OX=a, a=0, (A1B1C1) ? OX=b, b=h

3. Проведём плоскость перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х. А2В2С2-треугольник, равный основаниям. Площадь А2В2С2 равна S.

4. S(x) непрерывна на [0;h]

Ответ: V=Sh

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЁМОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО

ИНТЕГРАЛА. 1. Ввести систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна основанию геометрического тела. 2. Найти пределы интегрирования а и b. 3. Провести сечение плоскостью перпендикулярно оси ОХ через точку с абсциссой х. Определить вид сечения, задать формулой его площадь как функцию S(X). 4. Проверить непрерывность функции S(X) на [a;b]. 5.

Задания для групп

Группа № 1 Группа № 2 Группа № 3 Группа № 4 Группа № 5 Группа № 6

Задачи для самостоятельного решения

Металлический шар радиусом 100мм надо перелить в цилиндр, высота

которого равна 100мм. Найдите длину радиуса основания цилиндра. Стаканчик для мороженного конической формы имеет 12см глубину и 5см по диаметру верхней части. На него сверху положили две ложки мороженного в виде полушарий диаметра 5см. Переполнит ли мороженное стаканчик если позволить ему растаять. Инженер, рост которого 180см пришел рассмотреть новую сферическую цистерну для хранения воды. Он забрался в пустую цистерну, и, когда он поднялся на место, находящееся в 5м 40см над точкой, в которой цистерна упирается на землю, его голова коснулась верхнего края цистерны. Зная, что город потребляет в час 40тысяч литров воды, он немедленно рассчитал, на сколько часов может хватить полной цистерны. Как он это сделал и как он получил результат. На полке в магазине стоят две банки земляничного варенья одного и того же сорта. Одна банка в 2 раза выше другой, но зато её диаметр в 2 раза меньше. Высокая банка стоит 23 цента, а низкая 43 цента. Какую купить выгоднее? Основание прямого кругового конуса имеет диаметр 12 см, а высота конуса равна 12см. Конус наполнили водой, затем в конус опустили шар так, что он оперся на стенки конуса. над водой при этом оказалось ровно половина шара. Сколько воды осталось в конусе после того, как шар был вынут?

Проблема:

Могли ли поместиться Царевна с сыном в бочке, если радиус её основания 30 см, максимальная ширина – 80 см, а высота бочки - 1 метр?

Итоги урока

С помощью каких формул можно найти объёмы геометрических тел: